专题02 解三角形（期末真题汇编，云南专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形专题，汇编云南多地高一高二期末真题，覆盖11个核心考点，从基础应用到综合拓展，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约20题|正余弦定理应用（如考点01）、形状判断（考点03）|结合充分必要条件等逻辑考查（第1题）| |填空题|约5题|面积计算（考点02）、中线问题（考点06）|设置开放型计算（如考点02第5题）| |解答题|约15题|实际应用（考点05，如超然楼测量）、范围问题（考点09-11，如三角函数最值）|分层设计，从单一三角形到多三角形/四边形综合（考点08）|

专题02 解三角形 解三角形高考中常以解答题的形式考查，在云南省高一期末统测试题中重点考查正、余弦定理，面积公式，中线，角平分线和范围问题. 高频考点概览 考点01正余弦定理的简单应用 考点02三角形面积的应用 考点03正余弦定理判断三角形形状 考点04 三角形多解问题 考点05 三角形的实际应用 考点06 三角形中线或等分点问题 考点07 三角形角平分线和张角定理 考点08 解多个三角形或四边形 考点09 对边对角的范围问题 考点10 邻边邻角的范围问题 考点11 转化为三角函数和二次函数最值问题 ( 考点01 正余弦定理的简单应用 ) 1．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则B的大小为（ ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高三上·云南曲靖·期末）在中，内角，的对边分别为，且，，则（ ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·云南昆明·期末）在中，，则（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·云南·期末）在中，角的对边分别是，已知，且，则（ ） A．9 B．6 C．3 D．18 ( 考点0 2 三角形面积的应用 ) 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知中，内角所对的边分别为，且满足，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·云南曲靖·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为，则为（ ） A．2 B． C． D．4 3．（21-22高一下·云南昆明·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，，，则A=（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）在中，内角所对的边分别为，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25高二下·云南昭通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 6．（22-23高一下·云南曲靖·期末）在中，，，，则的面积为______________. 7．（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 8．（24-25高二上·云南文山·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)在中，角的对边分别为，且，求的面积. ( 考点0 3 正余弦定理判断三角形形状 ) 1．（20-21高一下·云南大理·期末）的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）记内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高二下·云南玉溪·期中）（多选）已知中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若是锐角三角形，则 D．若是锐角三角形，则 4．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）在中，对应的边分别为，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 5．（25-26高二上·云南昭通·期末）（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若的面积，则 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 ( 考点0 4 三角形多解问题 ) 1．（23-24高一下·云南昭通·期中）（多选）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 2．（20-21高一下·云南昆明·期中）（多选）已知中，，，，则的面积S的值可以为（ ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一下·云南玉溪·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A．若，则有两解 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则的外接圆半径是4 4．（24-25高一下·云南文山·期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若△ABC为锐角三角形，则 C．若，，，则满足条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形 ( 考点0 5 三角形的实际应用 ) 1．（22-23高一下·云南楚雄·期末）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·云南保山·期末）一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场，两地相距，因雷雨天气影响，飞机起飞后沿与原来飞行方向成角的方向飞行，飞行一段时间后，再沿与原来飞行方向成角的方向继续飞行至终点，则本架飞机的飞行路程比原来的大约多飞了（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·云南文山·期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米. 4．（23-24高一下·云南大理·期末）周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点和千寻塔塔底在同一水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100米到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角，则可求得塔高为__________米（参考数据0.68）；若塔顶端包含一个塔尖，且约8米，小华在线段间走动到点时，他直立看塔尖的视角最大（即最大），则此时他距离塔身的距离（即）为__________米. 5．（19-20高一下·云南昭通·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为nmile，与小岛相距为nmile，小岛对小岛与的视角为钝角，且. （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值. ( 考点0 6 三角形中线或等分点问题 ) 1．（22-23高一下·云南·期末）记的内角的对边分别为，点为边三等分点（靠近C）.若，，则的面积为__________. 2．（22-23高二上·云南·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线，且，求的周长． 3．（2023·云南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，D为边BC的中点，的面积且，求AD的长度. 4．（2023·云南曲靖·模拟预测）在，角，，的对边分别为，，.且. (1)求B； (2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长度. 5．（2026·云南红河·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，设为的中点，且，求的面积． 6．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在中，角所对的边分别是，的面积为，若. (1)求角； (2)若，点是边的中点，求的最大值. ( 考点0 7 三角形角平分线和张角定理 ) 1．．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（ ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高一下·云南昆明·期中）（多选）在中，是边上的一点，则（ ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 4．（2023·云南曲靖·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，． (1)求角B的大小； (2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长． 5．（24-25高二下·云南·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知为边上一点，若，求的长. 6．（20-21高二下·云南昆明·期末）已知△是边长为8的等边三角形，点在边上（异于，）. （1）若线段长度为整数，求； （2）若，求. 7．（22-23高三上·云南楚雄·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求C； (2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值. ( 考点0 8 解多个三角形或四边形 ) 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C； (2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． (1)求A； (2)设D为BC边上一点且，求的面积． 3．（22-23高二上·云南大理·期末）如图，在四边形中，，，. (1)求的值； (2)若，，求CD的长. 4．（20-21高一下·云南曲靖·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，已知在平面四边形中，． (1)设，若，求； (2)是否存在，使得平分，若存在，求的长；若不存在，说明理由. ( 考点0 9 对边对角的范围问题 ) 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)求周长的最大值． 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)已知，求面积的最大值． 3．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 4．（23-24高二上·云南红河·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知： (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 5．（22-23高一下·云南保山·期中）已知在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)求的取值范围. 6．（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. ( 考点 10 邻边邻角的范围问题 ) 1．（21-22高一下·云南昆明·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围． 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 3．（24-25高二下·云南临沧·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． ( 考点 11 转化为三角函数 和二次函数 最值问题 ) 1．（22-23高一上·云南楚雄·期末）某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，，及区域为展览区． (1)若的周长为，求的大小； (2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值． 2．（21-22高一下·云南昆明·期末）如图，一块扇形绿地中，，半径为米，平行四边形顶点在扇形的弧上，且不与、重合，在半径上，、在半径上，记．现需在平行四边形上种植花卉，美化绿地． (1)用表示线段的长度，求； (2)当角取何值时，可使种植花卉的平行四边形面积最大，并求出最大面积． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，． (1)证明：； (2)求当面积取得最大值时，的周长． 4．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 5．（24-25高三上·云南楚雄·期末）已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 6．（2023·云南昆明·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 解三角形高考中常以解答题的形式考查，在云南省高一期末统测试题中重点考查正、余弦定理，面积公式，中线，角平分线和范围问题. 高频考点概览 考点01正余弦定理的简单应用 考点02三角形面积的应用 考点03正余弦定理判断三角形形状 考点04 三角形多解问题 考点05 三角形的实际应用 考点06 三角形中线或等分点问题 考点07 三角形角平分线和张角定理 考点08 解多个三角形或四边形 考点09 对边对角的范围问题 考点10 邻边邻角的范围问题 考点11 转化为三角函数和二次函数最值问题 ( 考点01 正余弦定理的简单应用 ) 1．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则B的大小为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又B为三角形内角，所以或，又因为，所以，即. 故选：C. 3．（25-26高三上·云南曲靖·期末）在中，内角，的对边分别为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合余弦定理求得. 【详解】由余弦定理，得； 由，得. 所以，所以. 因为，所以. 故选：C. 4．（22-23高二上·云南昆明·期末）在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理可得， 因为， 所以， 所以. 故选：A. 5．（22-23高一下·云南·期末）在中，角的对边分别是，已知，且，则（ ） A．9 B．6 C．3 D．18 【答案】A 【分析】根据正弦定理和余弦定理角化边，结合已知等式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得：，， 因为， 所以， 即， 即， 又因为， 所以， 因为，所以. 故选：A ( 考点0 2 三角形面积的应用 ) 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知中，内角所对的边分别为，且满足，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式即可求解. 【详解】在中，，，， 由三角形的面积公式得. 故选：A. 2．（20-21高二下·云南曲靖·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为，则为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式，结合已知求边长c即可. 【详解】由题设，，又b=2，A=120°， ∴. 故选：A 3．（21-22高一下·云南昆明·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，，，则A=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理边角关系可得，由正弦定理及三角形内角关系求角A. 【详解】由题设，而， 所以，则，即， 由，故， 由正弦定理知：，可得且， 所以. 故选：C 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）在中，内角所对的边分别为，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】结合三角形面积公式和正弦定理对已知条件进行处理，再利用切化弦和正弦和角公式化简要求的式子，从而可得答案． 【详解】，得， 又 ∴． 故选：C． 5．（24-25高二下·云南昭通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 【答案】 【分析】利用周长求出，再结合余弦定理求出，最后代入三角形面积公式即可得解. 【详解】因为且，所以， 由余弦定理：，， 又，所以， 所以. 故答案为： 6．（22-23高一下·云南曲靖·期末）在中，，，，则的面积为______________. 【答案】 【分析】求出的值，利用正弦定理求出的长，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的值. 【详解】因为，且，故为锐角， 所以，， 由正弦定理可得，则， ， 由三角形的面积公式可得. 故答案为：. 7．（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由三角恒等变换和正弦定理得到，求出； （2）根据，由余弦定理得到方程，求出，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】（1）由，得， 即， 由正弦定理可得， 即， 因为，，所以得， 即，又因为，所以； （2）由（1）知，，又， 由余弦定理得，得， 解得或（舍）， 所以的面积． 8．（24-25高二上·云南文山·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)在中，角的对边分别为，且，求的面积. 【答案】(1)单调递增区间是，， 单调递减区间是，. (2) 【分析】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简可得，结合正弦函数的单调性可得结果； （2）由（1）结合条件得，由余弦定理解得，进而可得的面积. 【详解】（1） ， 由得，， 由得，， 所以的单调递增区间是，， 单调递减区间是，. （2）由，得， 因为，所以， 所以，所以. 由及余弦定理得，所以， 因为，所以. 所以. ( 考点0 3 正余弦定理判断三角形形状 ) 1．（20-21高一下·云南大理·期末）的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理进行边角互化化简，即可判断. 【详解】解：，整理得，，即， ， 由正弦定理得，， 即， 由正弦定理得，故，故为等腰直角三角形. 故选：D. 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）记内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于， 又因三角形中大边对大角，故等价于，故A正确； 对于B，因为，所以或， 即或，故错误； 对于C，由正弦定理，结合条件得， 所以，所以. 又，则，即，故C正确； 对于D，由正弦定理，结合条件得， 所以，即，又，， 所以或（舍去），所以，故D正确. 3．（23-24高二下·云南玉溪·期中）（多选）已知中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若是锐角三角形，则 D．若是锐角三角形，则 【答案】ABD 【分析】根据大角对大边判断A，根据正弦定理及余弦函数的性质判断B，根据余弦定理判断C，根据正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，由正弦定理可得，所以， 又在上单调递减，且，所以，故B正确； 对于C：若是锐角三角形，则为锐角，所以， 则，故C错误； 对于D：若是锐角三角形，则，所以， 又在上单调递增，所以，则，故D正确. 故选：ABD 4．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）在中，对应的边分别为，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用正弦边角关系判断A；应用三角恒等变换可得，结合三角形内角和性质得或，判断B；由三角形内角和，结合即可判断C；由锐角三角形，结合诱导公式判断D. 【详解】对于A：由，则， 结合，（为外接圆的半径），可得，故A错误； 对于B：由，则， 整理得，而，， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故B正确； 对于C：由，而， 若中有一个为钝角，不妨令为钝角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 若中有一个为直角，不妨令为直角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 所以均为锐角，则为锐角三角形，故C正确； 对于D：锐角三角形中，所以， 又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD 5．（25-26高二上·云南昭通·期末）（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若的面积，则 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据大角对大边判断即可；根据三角形面积公式和数量积的表达式可判断选项B，对于C和D，只要利用余弦定理判断角余弦值的正负即可. 【详解】在中，，则，故A正确； 的面积， ，即，又，所以，故B正确； 由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 由，得，则是钝角，是钝角三角形，故D正确． 故选：ABD ( 考点0 4 三角形 多解 问题 ) 1．（23-24高一下·云南昭通·期中）（多选）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 2．（20-21高一下·云南昆明·期中）（多选）已知中，，，，则的面积S的值可以为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】AC 【分析】根据正弦定理得出进而求出角C，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，在中， ， 由正弦定理，得， ，所以，所以或， 当时，，； 当时，，. 故选：AC 3．（25-26高一下·云南玉溪·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A．若，则有两解 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则的外接圆半径是4 【答案】AB 【分析】比较三者的大小，判断A；由大角对大边及正弦定理可判断B；由三角恒等变换及正弦定理判断C；由正弦定理求得，可判断D. 【详解】对于A,因为，所以， 所以有两解，故A正确； 对于B，因为，所以（大角对大边）， 所以（正弦定理），故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，而为三角形内角，所以或， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为， 由正弦定理可得（为的外接圆半径）， 解得，故D错误. 4．（24-25高一下·云南文山·期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若△ABC为锐角三角形，则 C．若，，，则满足条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形 【答案】BC 【分析】根据余弦函数的单调性及三角形中大角对大边可判断选项A；先根据△ABC为锐角三角形得出，再根据正弦函数的单调性和诱导公式可判断选项B；先利用正弦定理得出，再根据大边对大角及正弦函数的性质可判断选项C；先根据正弦定理得出，再根据二倍角正弦公式及正弦函数的性质即可判断选项D. 【详解】对于选项A：∵在上单调递减且， ∴， 则，故选项A不正确； 对于选项B：∵△ABC为锐角三角形， ∴，且，， 即. 又∵函数在上单调递增， ∴， ∴，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 所以由正弦定理：可得. 又因为， 则，且， 所以满足条件的角C有两个，故选项C正确； 对于选项D，∵， 则由正弦定理可得， ∴，即， ∴或，即或， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选项D不正确， 故选：BC． ( 考点0 5 三角形的实际应用 ) 1．（22-23高一下·云南楚雄·期末）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，得到，在中，由正弦定理得到，进而求得的长. 【详解】过作，交于点， 因为在点处测得点的仰角为，可得为等腰直角三角形，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又由， 所以， 则. 故选：D 2．（21-22高二下·云南保山·期末）一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场，两地相距，因雷雨天气影响，飞机起飞后沿与原来飞行方向成角的方向飞行，飞行一段时间后，再沿与原来飞行方向成角的方向继续飞行至终点，则本架飞机的飞行路程比原来的大约多飞了（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，可得，，由正弦定理求出即可. 【详解】如图，由示意图可知, ，, 中，由正弦定理得 则 所以， 故选： 3．（21-22高一下·云南文山·期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米. 【答案】 【分析】在中根据求出，在中根据求出，在中由余弦定理得：求解. 【详解】在中，， 所以， 在中，，， 所以， 在中，，，， 由余弦定理得： 所以(米). 故答案为：. 4．（23-24高一下·云南大理·期末）周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点和千寻塔塔底在同一水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100米到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角，则可求得塔高为__________米（参考数据0.68）；若塔顶端包含一个塔尖，且约8米，小华在线段间走动到点时，他直立看塔尖的视角最大（即最大），则此时他距离塔身的距离（即）为__________米. 【答案】； 【分析】根据题意在中，由正弦定理可求的值，进而求解的值，即可根据即可计算；设，利用两角差的正切公式，基本不等式可求的最大值，即可求解. 【详解】因为，，所以，在中，，由正弦定理得，， 所以，， 所以. 因为，所以， 设，，， 所以 ，当且仅当，即时，最大，所以. 故答案为：；. 5．（19-20高一下·云南昭通·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为nmile，与小岛相距为nmile，小岛对小岛与的视角为钝角，且. （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果； （2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果. 【详解】（1）因为，且角为钝角，所以. 在中，由余弦定理得，， 所以，即， 解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为 （2）在中，由正弦定理，，即， 解得又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，所以，又因为，， 所以. ( 考点0 6 三角形 中线或等分点问题 ) 1．（22-23高一下·云南·期末）记的内角的对边分别为，点为边三等分点（靠近C）.若，，则的面积为__________. 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理求出的关系，再在和中，利用双余弦定理求出的关系，从而求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 由点为边三等分点（靠近C）， 得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，所以， 所以，所以， 则，所以， 所以. 故答案为：. 2．（22-23高二上·云南·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线，且，求的周长． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据已知，利用正弦定理、两角和公式求解即可. （2）利用三角函数的性质、面积公式以及余弦定理建立方程组求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，即， 又由正弦定理得， 所以， 因为在中，因为，所以. （2）如图，由(1)有：，所以，得，① 由余弦定理知，即，② 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以③ 由①②③，得， 所以， 所以的周长． 3．（2023·云南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，D为边BC的中点，的面积且，求AD的长度. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）首先根据正弦定理，将等式中的边转化成角，然后通过三角函数恒等变换求出角的正切值，进而求出角. （2）首先由面积可得，利用面积公式可得，再利用余弦定理得，通过联立方程可求出，最后在中使用余弦定理即可求出的长度. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 即，又，所以； （2）由面积可得， 则，即，得①， 又，所以②， 联立①②得或，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以. 4．（2023·云南曲靖·模拟预测）在，角，，的对边分别为，，.且. (1)求B； (2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长度. 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由两角和的正弦定理化简可得，结合辅助角公式求得B； （2）法一：由可得，对两边同时平方化简即可得出答案； 法二：由已知得，设，.因为，由余弦定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理， 可得， 即， 所以. 因为，所以，即. 因为，所以， 所以，即 （2）法一：因为点D在AC边上，满足， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 即，解得，即. 法二：由已知得，设，. ∵ ∴ ∴，即① 又∵∴， 即② 由方程①②解得，即. 5．（2026·云南红河·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）由诱导公式以及余弦定理计算可得，可证明是等腰三角形； （2）结合中线长度以及余弦定理得出方程组可解得，再由三角形面积公式计算可得的面积为8. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 则，化简得，故， 因此是等腰三角形． （2）因为，为的中点，且，所以， 由余弦定理得， 由（1）得，所以， 化简得，，所以． 在中，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以的面积为． 6．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在中，角所对的边分别是，的面积为，若. (1)求角； (2)若，点是边的中点，求的最大值. 【答案】(1)；(2)3 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由余弦定理结合不等式可得，点是边的中点，所以，两边同时平方即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，因为， 所以； （2）由（1），根据余弦定理可得， 所以，所以， 又点是边的中点，所以， ， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. ( 考点0 7 三角形角平分线和张角定理 ) 1．．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再由，代入三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， ， 则， 可得：. 故选：B. 2．（23-24高一下·云南昆明·期中）（多选）在中，是边上的一点，则（ ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积公式，判断A，根据余弦定理求，判断B，根据向量的转化，判断C，根据三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：由余弦定理，得，解得，故选项B正确； 对于选项C：因为，所以，所以，故选项C正确； 对于选项D：由等面积法，得， 即，解得，故选项D错误； 故选：BC 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量的模长公式即可求解， （2）利用等面积法即可结合面积公式求解. 【详解】（1）在中，，因为为的中点， 所以， 两边平方得， 则，解得 （2）因为平分， 所以， 又， 即 所以， 解得， 4．（2023·云南曲靖·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，． (1)求角B的大小； (2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B. （2）由余弦定理与重要不等式可得△ABC面积最大时a、c的值，在△ABD中应用正弦定理可解得AD的值. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理可得， ∴由余弦定理得， 又∵，∴． （2）在△ABC中，由余弦定理得， 即． ∵，， ∴，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当a＝c＝2时，， 又∵△ABC面积为， ∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大． 当a＝c＝2时，． 又∵为的角平分线，∴ ∴在△ABD中，， ∴在△ABD中，由正弦定理得． 5．（24-25高二下·云南·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知为边上一点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，继而即可求解； （2）利用等面积法，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以， 即， 由余弦定理得，， 所以， 因为，所以； （2）由， 得， 因为，，所以， 所以， 解得. 6．（20-21高二下·云南昆明·期末）已知△是边长为8的等边三角形，点在边上（异于，）. （1）若线段长度为整数，求； （2）若，求. 【答案】（1）或3；（2）. 【分析】（1）由等边三角形的性质知，结合已知即可知的长度，再在△中由余弦定理求即可. （2）法一：由正弦定理可得，由求出，在△中应用余弦定理求，进而求；法二：设则，结合已知，应用两角差正弦公式可得，再由同角三角函数的平方关系求即可. 【详解】（1）由题意，到的距离为， ∴，又的长度为整数， ∴， 在△中，由余弦定理：，即，解得或3. （2）解法一：在△中，由正弦定理：， 在△中，由正弦定理：， ∴，即， 又，则， 在△中，由余弦定理：， ∴，则. 解法二：设，则，由题意有：， ∴，即， 由，可得，又是锐角， ∴. 7．（22-23高三上·云南楚雄·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求C； (2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值. 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为，再用余弦定理求得角； （2）由△BCD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积求出，利用基本不等式求出故的最小值. 【详解】（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理得： ， 则可化为， 整理得. 由余弦定理得， 又，所以. （2）由和的面积之和等于的面积，得， 可得，即. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为18. ( 考点0 8 解多个三角形或四边形 ) 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C； (2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解； （2）利用面积公式求出，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得，可得周长. 【详解】（1）由余弦定理角化边得，，整理得， 所以， 因为，所以. （2）由题知，，即， 由三角形面积公式得，所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． (1)求A； (2)设D为BC边上一点且，求的面积． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求得. （2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理及三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. （2）由（1）知， 由余弦定理得， 由正弦定理得，而为锐角，则， 由，得，又， 所以的面积为. 3．（22-23高二上·云南大理·期末）如图，在四边形中，，，. (1)求的值； (2)若，，求CD的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）在中由余弦定理可求出，再由正弦定理求出答案； （2）设，，则在中有，在中由余弦定理有，联立方程组，即可解出答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理，有， 得， ∵，∴. 由正弦定理，有. （2）∵，∴. 设，，在中，有①， 在中，由余弦定理，有②， 联立①②，可解得，. 所以CD的长为. 4．（20-21高一下·云南曲靖·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得； (2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】(1)由AB∥CD可得，则， 即，而，即有， 在中，， 所以； (2)由(1)知，， 在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即，解得或(舍去)， 所以的长为. 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，已知在平面四边形中，． (1)设，若，求； (2)是否存在，使得平分，若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，即可求解； （2）由平分，可得，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得， 可得， 在中，因为，可得， 因为，所以． （2）假设存在，因为平分，可得， 由余弦定理，可得，解得， 所以， 但此时，所以假设不成立，不存在BD符合题意. ( 考点0 9 对边对角的范围问题 ) 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)求周长的最大值． 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）结合条件和两角和差的正弦公式化简得，由知，根据角A的范围求解即可. （2）根据余弦定理得，然后利用完全平方和及基本不等式求得，即可求解周长的最大值. 【详解】（1）由题意可得 ，即， 因为，故，故，所以． （2）由余弦定理可得，即， 所以，所以， 所以的周长，当且仅当时取等号， 故周长的最大值为6． 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)已知，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦定理得，再由得即可求解； （2）由余弦定理知，再由重要不等式知，最后通过三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 又， 所以， 所以， 即． 因为，所以， 所以，即， 又， 所以． （2）由余弦定理可知， 即． 因为， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立， 则的面积为， 即面积的最大值为． 3．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得 ， 因为、，则，可得， 所以，，故. （2）解：由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 故， 因此，面积的最大值为. 4．（23-24高二上·云南红河·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知： (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得的值，结合范围，可得的值． （2）由（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而根据正弦函数的性质即可求解的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理及，得， 所以， 因为，所以． （2）由（1）知，则，， 因为，所以，即， 所以 ， 为锐角三角形，， 因为，所以， 则，所以． 的取值范围为. 5．（22-23高一下·云南保山·期中）已知在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由已知变形为后结合余弦定理即可求得答案； （2）由正弦定理求得，即可得的表达式，结合三角恒等变换化简以及正弦函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由，得， 即， 又由余弦定理， ∴， 由于； （2）由（1）知， ， 由正弦定理， ， ， ， ， 的取值范围为. 6．（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. （2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. ( 考点 10 邻边邻角的范围问题 ) 1．（21-22高一下·云南昆明·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A； (2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由正弦定理及已知有，应用差角余弦公式化简求得，即可确定A的大小. （2）根据所选的条件，应用正余弦定理、三角恒等变换及基本不等式、三角函数的范围求周长的取值范围． 【详解】（1）在中，由得：，又， ，即， ，又， ． （2）选择①：因为，则，得， 由余弦定理得， 即的周长， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即的周长的取值范围是． 选择②：，因为，， 由正弦定理得，， 即的周长， 因为，则，故， 所以，即的周长的取值范围是． 选择③：．因为，， 由正弦定理得， 即的周长 ， 因为，所以，则， 即的周长的取值范围是. 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； （2）因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； （3）在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 3．（24-25高二下·云南临沧·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到； （2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，，所以，，． ，解得； （2）的面积． 由正弦定理得 ， 因为为钝角三角形，所以或， 即或，故， 所以， 所以． 故面积的取值范围是． ( 考点 11 转化为三角函数 和二次函数 最值问题 ) 1．（22-23高一上·云南楚雄·期末）某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，，及区域为展览区． (1)若的周长为，求的大小； (2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，展览区的面积最大，最大值为 【分析】（1）设，，根据的周长为可得满足的关系式，利用两角和差正切公式可求得，进而确定的值； （2）设，利用表示出，并结合三角恒等变换知识将化简为，根据正弦型函数的最值可确定及此时的取值，由此可得展览区面积最大值. 【详解】（1）设，，则，， 又的周长为，， 则，整理可得：， ， 因为 ，． （2）设，则，，， 在中，边上的高为， ， 则当，即时，取得最大值， 此时取得最小值， 则当时，展览区的面积最大，最大值为. 2．（21-22高一下·云南昆明·期末）如图，一块扇形绿地中，，半径为米，平行四边形顶点在扇形的弧上，且不与、重合，在半径上，、在半径上，记．现需在平行四边形上种植花卉，美化绿地． (1)用表示线段的长度，求； (2)当角取何值时，可使种植花卉的平行四边形面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)，其中 (2)当时，种植花卉的平行四边形面积最大，且最大面积为平方米 【分析】（1）过点作，垂足为点，在中，利用正弦定理可求得的长度； （2）利用三角恒等变换化简平行四边形的面积为，利用正弦型函数可求得的最大值及其对应的值. 【详解】（1）解：过点作，垂足为点，如下图所示： 在中，， 在中，，， 由正弦定理，则， 所以，，其中. （2）解：种植花卉的平行四边形面积为 ， 因为，， 故当时，即当时，平行四边形面积取最大值平方米. 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，． (1)证明：； (2)求当面积取得最大值时，的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由已知条件可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可证得结论成立； （2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系得出，再利用二次函数的基本性质可求得面积的最大值及其对应的的值，可得出的值，由此可得出的周长. 【详解】（1）证明：由，得：， 由正弦定理得：，所以． （2）解：由余弦定理得：， 所以， 所以， 当且仅当，即时，面积取得最大值，此时， 所以的周长为． 4．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.， （2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积. （3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得: ，则． 因为是等边三角形，所以的面积． （2）在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， （3）设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，取得最大值，即的面积的最大值为． 5．（24-25高三上·云南楚雄·期末）已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 【答案】(1)直角三角形；(2) 【分析】（1）先应用正弦定理边角转化再结合余弦定理得出勾股定理计算即可； （2）先设，再应用正弦定理边角转化,表示面积为，最后结合三角恒等变换结合正弦函数的最值计算面积最大值即可. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. 因为，所以，整理得， 则，故为直角三角形. （2）设.因为，所以. 在中，由正弦定理得. 因为，所以， 则. 设的面积为，则 . 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 6．（2023·云南昆明·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可. （2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域. 【详解】（1）∵， ∴， ∴由余弦定理得：，即：， 由正弦定理得：， ∴， 整理得：，即：， 又∵， ∴，即：. （2）∵， ∴， 又∵，，， ∴由正弦定理得： ， 又∵， ∴， 令，则，， ∵对称轴为， ∴在上单调递增， 当时，；当时，， ∴，即：的范围为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $