专题10：数学广角——找次品（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（人教版）

**基本信息** 聚焦找次品问题，构建"原理-策略-规律-步骤"四层方法体系，通过分级训练培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|4个核心知识点|天平平衡原理/三分法/3ⁿ规律/五步解题法|从次品概念到最优分组策略，形成完整认知链| |应用训练|15填空+8选择|最坏情况分析/分组优化/次数推算|覆盖8-800+物品数量，体现方法迁移性| |综合拓展|7解答题|非常规天平应用/逆向推理/极限值计算|从操作到建模，发展数学思维与应用意识|

五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题10：数学广角——找次品 知识点01：找次品的基本思路 1.次品：外观一样，但轻一些或重一些的物品。 2.核心思想：利用天平平衡原理，通过分组称量，尽量平均分成3份，缩小次品范围，用最少次数找到次品。 3.称量判断： （1）平衡→次品在剩下的一组里； （2）不平衡→次品在轻（或重）的一边。 知识点02：分组方法 1.最优策略：把物品尽量平均分成3份。 2.关键点：能平均分就平均分；不能平均分，使多的一份与少的一份只相差1。 知识点 03：保证找到次品的最少称量次数规律 规律：每多称1次，最多能辨别的数量扩大到原来的3倍。n次最多可从3ⁿ个物品中找到次品。 知识点04：解题步骤 1.把物品分成3份（尽量平均分）。 2.把数量相同的两份放在天平两端称量。 3.根据平衡情况，确定次品所在的那一份。 4.对含有次品的那一份重复上面步骤，直到找到次品。 5.统计至少需要几次保证能找到。 【易错点】 （1）题目问“保证找到”，要按最坏情况算次数。 （2）必须平均分3份，次数才最少。 （3）已知次品“轻”还是“重”，判断方向要一致。 （4）分成2份，次数会变多，不是最优。 一、填空题 1．有8枚外观一样的金币，其中1枚是假币，比真币轻一些。假如用天平称，下面的两种方案中，能找到假币且称的次数最少的是方案（ ），至少要称（ ）次。 方案①：      方案②： 【答案】 ② 2 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【详解】将8枚金币分成三组，分别是三枚、三枚和两枚，如方案②，将两个三枚的组放在天平的两端进行第一次称重。 如果天平平衡，那么假币在剩下的两枚金币中，这时，我们可以将这两枚金币分别放在天平的两端进行第二次称重，较轻的一枚就是假币。 如果天平不平衡，假币在较轻的三枚金币组中，我们再将这三枚金币中任意两枚分别放在天平两端进行第二次称重，如果天平平衡，那么假币是未被称的那枚；如果天平不平衡，那么较轻的一枚就是假币，因此，无论天平第一次称重的结果如何，我们都能在第二次称重后确定假币，至少需要称2次。 能找到假币且称的次数最少的是方案②，至少要称2次。 2．绵阳米粉厂抽样了80袋米粉进行检查，其中79袋质量相同，另有1袋少了几克。如果用天平称，找到这袋米粉至少称的次数是（ ）次。 【答案】4 【分析】把80袋分成27、27、26袋三组。称27袋的两组，若平衡，次品在26袋组；若不平衡，次品在轻的27袋组。若在27袋组：再把27分为9、9、9，称两组9袋，确定次品在哪组9袋。接着把9分为3、3、3，称两组3袋，确定次品在哪组3袋。最后把3分为1、1、1，称一次找出次品。 若在26袋组：分26为9、9、8，称两组9袋，若平衡，次品在8袋组。若在8袋组：分8为3、3、2，称两组3袋，若平衡则按照上述称法继续称。若不平衡，次品则在轻的9袋组，也是按照上述方法继续称。 【详解】把80袋分成27、27、26袋三组称： 第一次称：80＝27＋27＋26 次品若在27袋组： 第二次称：27＝9＋9＋9，称重9与9，缩小范围到9袋。 第三次称：9＝3＋3＋3，称重3与3，缩小范围到3袋。 第四次称：3＝1＋1＋1，称重1与1，找出次品。 次品若在26袋组： 第二次称：26＝9＋9＋8 次品若在9袋组： 第三次称：9＝3＋3＋3，称重3与3，缩小范围到3袋。 第四次称：3＝1＋1＋1，称重1与1，找出次品。 次品若在8袋组： 第三次称：8＝3＋3＋2 次品若在3袋组： 第四次称：3＝1＋1＋1，称重1与1，找出次品。 次品若在2袋组： 第四次称：2＝1＋1，称重1与1，找出次品。 找到这袋米粉至少称的次数是4次。 3．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用（ ）的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放（ ）包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是（ ）；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称（ ）次。 【答案】 天平称 2 轻的那包 2 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有5包奶糖，其中有一包是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（2，2，1），天平两边各放2包，①若天平平衡，则次品就是剩下的1包；②若天平不平衡，次品就在较轻的那2包中； 第二次称重：把2包分成（1，1），天平两边各放1包，次品就是较轻的那1包。 有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用天平称的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放2包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是轻的那包；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称2次。 4．一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称（     ）次能保证找出这袋橙子来。（质量不足的这袋为次品）（请补全图表示称的过程） 【答案】见详解 【分析】先将 15 袋平均分成 3 份，每份 5 袋，在天平两端各放 5 袋， 若天平平衡，则次品在“没上称”的那 5 袋中；若不平衡，则次品在“较轻”的那 5 袋中。 再将这 5 袋分成 2、2、1 三份，在天平两端各放 2 袋，若天平平衡，则次品就是“剩下”的那 1 袋；若不平衡，则次品在“较轻”的那 2 袋中。 最后把这 2 袋中的 1 袋对 1 袋称，若天平不平衡，轻的一方就是次品；若天平平衡，未上称的那一袋就是次品。 【详解】一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称3次能保证找出这袋橙子来。 5．一堆药丸有35颗，不小心丢进了一颗不合格的药丸（要轻一些），为了尽快找出这颗不合格药丸，如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找到。 【答案】4 【分析】把35颗药丸分成（12，12，11）。 第一次称：把两个12颗的分别放在天平秤两端，若平衡，次品在11颗那组；若不平衡，次品在较轻的12颗那组。 情况一：若在11颗组，分成（4，4，3）。 第二次称：把两个4颗的称，平衡则次品在3颗组，不平衡在较轻4颗组。 若在3颗组，第三次称：任取2颗称，平衡则剩下1颗是次品，不平衡较轻的是次品。 若在4颗组，分成（2，2），第三次称，次品在较轻2颗组，第四次称这2颗，较轻的是次品。 情况二：若在12颗组，分成（4，4，4）。 第二次称：任取两个4颗称，平衡则次品在剩下4颗组，不平衡在较轻4颗组。 第三次称：把有次品的4颗分成（2，2），称后次品在较轻2颗组。 第四次称：这2颗称，较轻的是次品。 据此解答。 【详解】综上分析所述，至少称4次才能保证找到。 6．学校运动会前，体育老师采购了16个实心球，其中有一个质量不达标，比合格的实心球轻。如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找出这个不达标实心球。 【答案】3 【分析】将16个实心球分成5个、5个、6个，将5、5放到天平两边，平衡则次品在6个这一组；不平衡则次品在较轻的一组。考虑最不利因素，则6个这一组。将6个分成2个、2个、2个，任取两组放到天平两边，平衡则次品在剩余的一组；不平衡则次品在较轻的一组。最后将存在次品的一组分成1个、1个，放到天平两边即可得次品；据此解答。 【详解】根据分析作图如下： 由图可知：至少要称3次才能保证找出这个不达标实心球。 7．有80盒饼干，其中79盒质量相同，另有1盒少了几块。用天平称，至少称（ ）次能保证找出这盒饼干。 【答案】4 【分析】把80盒饼干分成3份，即（27，27，26），第一次称，天平两边各放27盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的27盒中；如果天平平衡，次品在剩下的26盒中； 考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的27盒饼干平均分成3份，即（9，9，9），第二次称，天平两边各放9盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的9盒中；如果天平平衡，次品在剩下的9盒中； 再把有次品的9盒饼干平均分成3份，即（3，3，3），第三次称，天平两边各放3盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的3盒中；如果天平平衡，次品就在剩下的3盒中； 最后把有次品的3盒饼干平均分成3份，即（1，1，1），第四次称，天平两边各放1盒，天平不平衡，次品就是较轻的那盒；如果天平平衡，次品就是剩下的那盒。 所以至少称4次能保证找出这盒饼干。 【详解】 用天平称，至少称4次能保证找出这盒饼干。 8．有9袋盐，其中1袋较轻，用天平至少称（ ）次能保证找出这袋较轻的盐。 【答案】2 【分析】已知次品比正品轻，把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数。 【详解】分析可知： 所以，用天平至少称2次能保证找出这袋较轻的盐。 9．某工厂制作了12个“泥咕咕”（安阳市国家级非遗项目），其中1个烧制火候不足，质量略轻一些，用天平最少称（ ）次能保证把它找出来。 【答案】3 【分析】在处理寻找次品的问题时，采用三分法是最有效的策略。三分法指的是将待检物品分为三组，其中两组放置在天平的两端进行称量，根据天平的倾斜方向确定次品所在的组别，然后继续对含有次品的组别进行同样的操作，直至找到次品。 【详解】第一次称：把12个分成4个、4个、4个三份，把两份放天平两端，能确定较轻的次品在哪一份的4个中； 第二次称：把4个分成1个、1个、2个三份，称两个1份，如果平衡，次品在剩下的2个中； 第三次称：把2个放天平两端，较轻的就是要找的次品。 10．有9袋外包装相同的食盐，其中8袋质量相同，另有1袋质量不足。用天平称，至少称几次能保证找出这袋食盐？下面是小明的操作过程，请你补充完整。 【答案】分组：3；3；3；3 称量：3；轻；1 结论：2 【分析】根据9袋食盐，有1袋质量不足，其它8袋质量相等，可以将这9袋平均分成3份，取两份放到天平两端，看是否平衡，从而找到质量不足的那袋所在的一份；接着从这一份里任意取两袋放在天平两端，看天平是否平衡从而找到质量不足的那1袋。 【详解】 11．有26瓶水，其中一瓶是盐水（略重），用天平至少称（ ）次能保证找到盐水。 【答案】3 【分析】用天平称重找次品，要把物品尽量平均分成3份。 个物品，至少要称n次。 【详解】＝3×3＝9，＝3×3×3＝27，因为9＜26＜27，即＜26＜，所以至少要称3次。 12．有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称2次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【分析】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边是几号，几号就是次品。 【详解】据分析完成填空，如下： 13．有8个大小、材质相同的小球，其中一个是次品（次品轻一些）。明明先给小球编上号，再借助天平称了两次找到这个次品（如下图所示）。由此可知。（ ）号小球是次品。 【答案】③ 【分析】把8个小球平均分成3组（即3、3、2），第一次取其中的2组（3，3）放到天平的两端，如果天平不平衡，则次品在天平上浮的一端中，在天平上浮一端中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的即是次品，天平如果不平衡，天平上浮一端的即为次品，据此解答。 【详解】第一次称重时，天平不平衡，则次品在天平上浮一端的1组之中，是在①②③三个球中； 在天平上浮一端的1组中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的是次品，即③号小球是次品。 14．下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在◯里。 【答案】见详解 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】如图所示： 15．小屯距离黔西南州贞仁县城西北方向25km，以古法造纸闻名于全国。贞丰小屯古法造纸严格按照《天工开物》一书中描述的流程生产，经72道工序，以刀、捆为单位计量，80张为一刀、70刀为一捆。如果每张纸的重量相同，在24捆纸中，有一捆张数不足，用天平至少称（ ）次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成（ ）份来称。 【答案】 3 3 【分析】张数不足的这一捆，质量会较轻。要使得称的次数最少，则应尽可能地平均分成3份。第一次将24捆平均分成3份，将前两份放在天平的两端，推断出次品所在的一份。以此类推，不断缩小次品所在范围，直到找出次品。 【详解】第一次：将24捆纸分成（8，8，8），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则第三份含有次品； 第二次：将8捆纸分成（3，3，2），将数量相同的两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则第三份含有次品； 第三次：①将3捆纸分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边是次品。如果平衡，则第三份是次品； ②将2捆纸分成（1，1），放在天平两端，哪边轻哪边是次品。 所以，用天平至少称3次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成3份来称。 二、选择题 16．有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（     ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 【答案】C 【分析】已知有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（即次品），说明次品比正常的要轻。把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，说明①和②的质量相同，那么少了3片的次品就是③。 【详解】①②分别放在天平的两端，天平平衡，那么少了3片的次品就是③。 所以判断正确的是选项C中的“③是次品”。 故答案为：C 17．有6盒钙片，其中一盒稍轻，用天平称要想2次保证找到次品，第一次称时有三个方案：①按（3，3）分成两份，②按（2，2，2）分成三份，③按（1，1，4）分成三份。三种方案可行的是（     ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查找次品的最优策略。根据分组原则，尽可能将物品均分三组，使每次称量能最大限度缩小范围。需验证每个方案是否能在两次内确保找到次品。据此解答。 【详解】①（3，3）分组：第一次称量两组各3盒。若不平衡，次品在较轻的3盒中；第二次将3盒分成（1，1，1），称量两盒即可确定次品。可行。 ②（2，2，2）分组：第一次称量两组各2盒。若平衡，次品在剩余2盒中；若不平衡，次品在较轻的2盒中。第二次称量各1盒即可确定次品。可行。 ③（1，1，4）分组：第一次称量两组各1盒。若平衡，次品在剩余4盒中，需两次才能找出，但只剩一次称量，无法完成。不可行。 综上所述，可行方案为①②。 故答案为：A 18．有5瓶钙片，其中1瓶少3片，看作次品，用天平称一次（如图）。（     ）号钙片一定是正品。 A．①② B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】根据题意：次品少3片，因此次品比正品更轻，且5瓶里只有1瓶次品。由此分析。 【详解】观察天平：左盘放①②，右盘放③④，左重右轻，说明次品在更轻的右盘，也就是次品只可能是③、④中的一瓶。 因此剩下的①、②、⑤都不可能是次品，一定是正品。 19．有8箱核桃，其中有一箱的质量不足，用天平称，要保证2次一定能找出质量不足的那箱，比较合适的分法是（     ）。 A．分成3份，分别是2，2，4 B．分成4份，分别是2，2，2，2 C．分成3份，分别是3，3，2 D．分成2份分别是4，4 【答案】C 【分析】利用天平找次品时，为了保证称量次数最少，最优策略是将待测物品分成3份，且每份的数量尽量平均。对于8箱核桃，应分成3箱、3箱、2箱，这样能保证在次内找出次品。据此逐项分析各选项的分法是否能在最坏情况下保证2次找出。 【详解】A．分成3份，分别是2，2，4。第一次称量2箱和2箱，若天平平衡，次品在剩下的4箱中，从4箱中找出次品至少还需要称2次，共需3次，不能保证2次找出。此选项错误。 B．分成4份，分别是2，2，2，2。天平每次只能比较2份，第一次称量2箱和2箱，若天平平衡，次品在剩下的2组4箱中，从4箱中找出次品至少还需要称2次，共需3次，不能保证2次找出。此选项错误。 C．分成3份，分别是3，3，2。第一次称量3箱和3箱。若天平平衡，次品在剩下的2箱中，再称1次即可找出；若天平不平衡，次品在较轻的3箱中，从3箱中找出次品再称1次即可找出。无论哪种情况，都能保证2次找出。此选项正确。 D．分成2份，分别是4，4。第一次称量4箱和4箱，次品在较轻的4箱中，从4箱中找出次品至少还需要称2次，共需3次，不能保证2次找出。此选项错误。 要保证2次一定能找出质量不足的那箱，比较合适的分法是分成3份，分别是3，3，2。 20．26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（     ）。 A．（13，13） B．（8，8，10） C．（8，9，9） D．（10，10，6） 【答案】C 【分析】找次品时把零件平均分成3份，不能平均分成3份的也要把第三份比另外两个多或少1个，这样一次就能把次品范围缩小到最小。 【详解】26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（8，9，9）。 21．有5个外观相同的零件，其中有1个次品质量略轻一些，小明用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品。下面（     ）可以表示小明找次品的全过程。 A．①→② B．②→③ C．①→③ D．都不正确 【答案】B 【分析】将5个零件分成3份，数量分别是2个、2个、1个：先称数量相同的两份，如果天平平衡，那么次品就是未称重的那一份，此时只要称一次。如果天平不平衡，次品在轻的一组（天平高度上升的一端）；再将轻的一组分成2份称重，轻的一份就是次品；此时共称2次。 【详解】小明用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品，也就是先将零件分成3份，数量分别是2个、 2个、1个；先称2个、2个，其中2个所在天平的一端高度上升，即次品所在位置；然后将次品所在的零件数量分成2份，数量分别是1个、1个，再放天平两端称重，次品所在的一端高度上升，从而找出次品。对应过程应为②→③。 22．零件加工厂里，80个零件中有1个次品（较轻）。用天平去找次品，第一次怎么放比较合理？要保证找到次品的次数最少，下面四位同学（     ）的方案最合适。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找次品的最优策略是将物品总数尽量平均分成3份，两份数量相同的放天平两边，剩下一份放旁边，这样每次称量都能把次品范围缩小到原来的。 【详解】80÷3≈26.67，最接近的分法是分成27、27、26三份，第一次称27和27。 23．有一些乒乓球，其中有一个是次品（轻一些）。东东要利用天平找到这个次品，他把乒乓球分成了3组（如图）。根据东东的分组方法，至少要称（     ）次才能保证找到这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】找次品的计算规律：2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【详解】根据图示，有29个乒乓球，其中有一个是次品（轻一些）。东东要利用天平找到这个次品，他把乒乓球分成了3组（如图）。根据东东的分组方法，至少要称4次才能保证找到这个次品。 三、解答题 24．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 【答案】2次 【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。 【详解】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一） 答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。 25．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 【答案】3次；称法见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。 【详解】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。 26．汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（     ）份，能平均分的要（     ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（     ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【答案】（1）见详解 （2）第二种方法 （3）3次；方法见详解 （4）3；平均分；1 （5）3次 【分析】（1）当袋数为9，分成3份（4、4、1）时，首先称重两个4袋的组。若天平平衡，则质量较轻的位于剩下的1袋中，此时仅需一次称重即可确定；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的那一侧，随后将这4袋再次分为2份，进行第二次称重，如果平衡则质量较轻的在剩下的2袋中，需要第三次称重来确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 当袋数为9，分成3份（3、3、3）时，首先称重两个3袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的3袋中。将这3袋分为1袋一组，进行第二次称重，即可确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，同样将这3袋分为1袋一组进行第二次称重，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次。 当袋数为9，分成4份（2、2、2、3）时，首先称重两个2袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的5袋中，再将这5袋分为2袋、2袋和1袋三组，称重两个2袋的组，如果平衡，则质量较轻的为剩下的1袋；如果不平衡，则继续称轻的2袋组，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，随后将这2袋再次进行第三次称重，即可确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 （2）比较表中三种方法需要称的次数，找出哪种方法称的次数最少。 （3）第一次称重：天平两侧放两个三袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。 （5）用上述方法将找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看至少称几次才能保证找出次品。 【详解】通过分析可得： （1）填表如下： 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 3 9 3（3，3，3） 2 9 4（2，2，2，3） 3 （2）表中第二种方法需要称的次数最少。 （3）至少称3次才能保证找出次品。先分成3份（3，3，4）。第一次称重：天平两侧放两个3袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋，如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差1，这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）首先，将11袋薯片分成3份（4，4，3）。然后，将其中的两份4袋薯片放在天平的两端进行比较。然后根据天平的平衡情况，确定次品可能存在的范围。如果天平平衡，说明次品在剩下的3袋中；如果天平不平衡，说明次品在较轻的4袋中；最后根据次品可能存在的范围，再次分组和比较，找出次品。如果次品在3袋中，将这3袋薯片分成3份，每份1袋，然后，比较，找出次品。如果次品在4袋中，将这4袋薯片分成2份，每份2袋，然后进行比较，找出次品。12袋的情况相似，所以11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 答：11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 27．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 【答案】7次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 【详解】因为36＝729，37＝2187 36＜823＜37 答：至少称7次就一定能找出这个次品。 28．一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 【答案】243个 【分析】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。 【详解】3×3×3×3＋1 ＝81＋1 ＝82（个） 3×3×3×3×3＝243（个） 答：这堆玻璃球最多有243个。 29．有10箱珍珠，已知其中9箱是真珍珠，每颗珍珠重10克，还有1箱内全是假珍珠，其中每颗假珍珠重9克，现在给你一架有砝码的天平，你能否只称一次找出假珍珠所在的箱子？怎么称的？ 【答案】能，过程见详解 【分析】把箱子按1－10的顺序编上号码，1号箱取1个珍珠，2号箱取2个珍珠，3号箱取3个个珍珠，……，10号箱取10个珍珠。1＋2＋3＋…＋10＝55个，55×10＝550（克），称出的质量比550克少几克，次品就是几号箱，据此解答。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11＋11＋11＋1l＋11 ＝11×5 ＝55（个） 55×10＝550（克） 答：能只称一次找出假珍珠所在的箱子。 30．某茶馆新进茶叶31盒，其中一盒喝了一些，茶艺师傅将这盒与其他的放到了一起，通过天平称量找出这盒茶叶，至少需要多少次保证可以找出？ 【答案】4次 【分析】利用天平找次品的最优策略是将待测物品尽可能的平均分成3份，每次称量的是数量相等的两份；若物品总数量满足3n－1＜总数量≤3n，则至少需要n次保证找出次品，需判断31处于哪个数量范围内。 【详解】33＝27，34＝81，满足27＜31＜81，因此至少需要4次保证找出这盒较轻的茶叶。 具体操作如下： 31盒按（10，10，11）分，天平两边各10盒，第一次称量： （1）平衡，则喝过的在11盒中，11盒按（4，4，3）分，天平两端各4盒，第二次称量： ①平衡：则喝过的在3盒中，3盒按（1，1，1）分，进行第三次称量即可找出。 ②不平衡：喝过的在轻的4盒中，将4盒按（1，1，2）分，天平两端各放1盒第三次称量： 若不平衡，则轻的一盒是喝过的，若平衡，则喝过的在2盒中，需要进行第四次称量即可找到； （2）不平衡，则喝过的在轻的那10盒中，10盒按（4，4，2）分，天平两端各4盒，第二次称量： ①平衡，则喝过在2盒中，进行第三次称量即可找到； ②不平衡，将轻的4盒按（2，1，1）分，天平两端各放1盒第三次称量，若平衡，则喝过的在2盒中，进行第四次称量即可找到，若不平衡，则轻的一盒为喝过的。 综上所述，要保证找到至少需要4次。 答：至少需要4次保证可以找出。 31．有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，你能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖吗？能判断出它比千克多还是少吗？请说明你的办法。 【答案】能找出这袋白糖；能判断出它比千克多还是少 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有9袋白糖，其中有一袋是次品，比其它略轻或略重。 第一次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3袋， 情况一：若天平平衡，则次品就在剩下的3袋中； 第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就在这两袋中； 第三次称重：任意拿出这2袋中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； 情况二：若天平不平衡，次品就在这6袋中，分别把重的3袋表示为A、B、C，轻的3袋表示为D、E、F； 第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；①若天平平衡，则次品在B、C中； 第三次称重：任意拿出B、C中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； 第二次称重：把A、D、E放到天平一端，F和2袋不是次品的放到天平另一端；②若天平不平衡，分为两种情况：（1）放A的那端重；（2）放F的那端重； （1）放A的那端重，则次品在A和F之间； 第三次称重：任意拿出A、F中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋； （2）放F的那端重，则次品在D和E之间； 第三次称重：任意拿出D、E中的1袋，再拿出前面不是次品的一袋，天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的1袋；②若天平不平衡，次品就是拿出的这袋。 最后把找出的次品和1袋标准的白糖放在天平两端，即可确定次品比标准轻还是重。 答：有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖，至少需要称3次，能判断出它比千克多还是少。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题10：数学广角——找次品 知识点01：找次品的基本思路 1.次品：外观一样，但轻一些或重一些的物品。 2.核心思想：利用天平平衡原理，通过分组称量，尽量平均分成3份，缩小次品范围，用最少次数找到次品。 3.称量判断： （1）平衡→次品在剩下的一组里； （2）不平衡→次品在轻（或重）的一边。 知识点02：分组方法 1.最优策略：把物品尽量平均分成3份。 2.关键点：能平均分就平均分；不能平均分，使多的一份与少的一份只相差1。 知识点 03：保证找到次品的最少称量次数规律 规律：每多称1次，最多能辨别的数量扩大到原来的3倍。n次最多可从3ⁿ个物品中找到次品。 知识点04：解题步骤 1.把物品分成3份（尽量平均分）。 2.把数量相同的两份放在天平两端称量。 3.根据平衡情况，确定次品所在的那一份。 4.对含有次品的那一份重复上面步骤，直到找到次品。 5.统计至少需要几次保证能找到。 【易错点】 （1）题目问“保证找到”，要按最坏情况算次数。 （2）必须平均分3份，次数才最少。 （3）已知次品“轻”还是“重”，判断方向要一致。 （4）分成2份，次数会变多，不是最优。 一、填空题 1．有8枚外观一样的金币，其中1枚是假币，比真币轻一些。假如用天平称，下面的两种方案中，能找到假币且称的次数最少的是方案（ ），至少要称（ ）次。 方案①：      方案②： 2．绵阳米粉厂抽样了80袋米粉进行检查，其中79袋质量相同，另有1袋少了几克。如果用天平称，找到这袋米粉至少称的次数是（ ）次。 3．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用（ ）的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放（ ）包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是（ ）；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称（ ）次。 4．一箱橙子有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称（     ）次能保证找出这袋橙子来。（质量不足的这袋为次品）（请补全图表示称的过程） 5．一堆药丸有35颗，不小心丢进了一颗不合格的药丸（要轻一些），为了尽快找出这颗不合格药丸，如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找到。 6．学校运动会前，体育老师采购了16个实心球，其中有一个质量不达标，比合格的实心球轻。如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找出这个不达标实心球。 7．有80盒饼干，其中79盒质量相同，另有1盒少了几块。用天平称，至少称（ ）次能保证找出这盒饼干。 8．有9袋盐，其中1袋较轻，用天平至少称（ ）次能保证找出这袋较轻的盐。 9．某工厂制作了12个“泥咕咕”（安阳市国家级非遗项目），其中1个烧制火候不足，质量略轻一些，用天平最少称（ ）次能保证把它找出来。 10．有9袋外包装相同的食盐，其中8袋质量相同，另有1袋质量不足。用天平称，至少称几次能保证找出这袋食盐？下面是小明的操作过程，请你补充完整。 11．有26瓶水，其中一瓶是盐水（略重），用天平至少称（ ）次能保证找到盐水。 12．有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称2次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 13．有8个大小、材质相同的小球，其中一个是次品（次品轻一些）。明明先给小球编上号，再借助天平称了两次找到这个次品（如下图所示）。由此可知。（ ）号小球是次品。 14．下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在◯里。 15．小屯距离黔西南州贞仁县城西北方向25km，以古法造纸闻名于全国。贞丰小屯古法造纸严格按照《天工开物》一书中描述的流程生产，经72道工序，以刀、捆为单位计量，80张为一刀、70刀为一捆。如果每张纸的重量相同，在24捆纸中，有一捆张数不足，用天平至少称（ ）次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成（ ）份来称。 二、选择题 16．有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（     ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 17．有6盒钙片，其中一盒稍轻，用天平称要想2次保证找到次品，第一次称时有三个方案：①按（3，3）分成两份，②按（2，2，2）分成三份，③按（1，1，4）分成三份。三种方案可行的是（     ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 18．有5瓶钙片，其中1瓶少3片，看作次品，用天平称一次（如图）。（     ）号钙片一定是正品。 A．①② B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 19．有8箱核桃，其中有一箱的质量不足，用天平称，要保证2次一定能找出质量不足的那箱，比较合适的分法是（     ）。 A．分成3份，分别是2，2，4 B．分成4份，分别是2，2，2，2 C．分成3份，分别是3，3，2 D．分成2份分别是4，4 20．26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（     ）。 A．（13，13） B．（8，8，10） C．（8，9，9） D．（10，10，6） 21．有5个外观相同的零件，其中有1个次品质量略轻一些，小明用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品。下面（     ）可以表示小明找次品的全过程。 A．①→② B．②→③ C．①→③ D．都不正确 22．零件加工厂里，80个零件中有1个次品（较轻）。用天平去找次品，第一次怎么放比较合理？要保证找到次品的次数最少，下面四位同学（     ）的方案最合适。 A． B． C． D． 23．有一些乒乓球，其中有一个是次品（轻一些）。东东要利用天平找到这个次品，他把乒乓球分成了3组（如图）。根据东东的分组方法，至少要称（     ）次才能保证找到这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题 24．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 25．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 26．汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（     ）份，能平均分的要（     ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（     ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 27．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 28．一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 29．有10箱珍珠，已知其中9箱是真珍珠，每颗珍珠重10克，还有1箱内全是假珍珠，其中每颗假珍珠重9克，现在给你一架有砝码的天平，你能否只称一次找出假珍珠所在的箱子？怎么称的？ 30．某茶馆新进茶叶31盒，其中一盒喝了一些，茶艺师傅将这盒与其他的放到了一起，通过天平称量找出这盒茶叶，至少需要多少次保证可以找出？ 31．有9袋白糖，其中有8袋都是千克，另一袋也近似于千克，你能利用一架没有砝码的天平找出这袋白糖吗？能判断出它比千克多还是少吗？请说明你的办法。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $