专题03：长方体和正方体（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（人教版）

**基本信息** 以“概念-公式-应用”为主线，系统覆盖长方体和正方体的认识、表面积、体积核心内容，通过分层题型培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |基础概念与公式|3个知识点+填空/判断（16题）|棱长总和/表面积/体积公式推导；单位换算规则（进率1000，乘除转换）|从面/棱/顶点要素认识，到度量计算（棱长→表面积→体积），构建立体图形认知框架| |综合应用与变式|选择/计算/解答（18题）|体积不变原理（锻造）；表面积优化（拼接最小面）；无盖/通风管实际应用|结合生活情境（包装、容器、切割），实现从数学抽象到实际问题解决，发展应用意识|

五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题03：长方体和正方体 知识点01：长方体和正方体的认识 1.长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2.正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3.长方体和正方体的异同点 4.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1.表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3.正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2.正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3.长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4.体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5.容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 一、填空题 1．在（     ）里填上合适的计量单位。 （1）一个墨水瓶的容积大约是50（ ）。 （2）一块橡皮的体积约是6（ ）。 （3）一张双人床的占地面积大约是2（ ）。 （4）一个集装箱的体积约是40（ ）。 2．一个长方体的棱长之和是56分米，长5分米、宽3分米，它的高是（ ）分米，它的表面积是（ ）平方分米。 3．要制作一个棱长是8cm的正方体框架，至少需要（ ）cm长的铁丝。 4．0.9立方分米＝（ ）立方厘米      83立方米＝（ ）立方分米 2325立方厘米＝（ ）毫升     2.47立方分米＝（ ）升（ ）毫升 5．张伯伯做一个长150cm，宽和高都是10cm的长方体通风管，至少需要铁皮（ ）cm2。 6．用1根长60厘米的铁丝正好可以围成一个长是6厘米、宽是5厘米、高是（ ）厘米的长方体框架。这根铁丝还可以正好围成棱长是（ ）厘米的正方体框架，给该正方体框架的各个面上糊上彩纸，至少需要（ ）平方厘米的彩纸。 7．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是52平方厘米，原来的正方体表面积是（ ）平方厘米。 8．一个长方体长8dm，宽6dm，高5dm，这个长方体的表面积是（ ）dm2。若把这个长方体截成最大的正方体，则这个正方体的体积是（ ）dm3。 9．用两个长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体拼成一个大长方体，这大长方体的表面积最小是（ ）。 10．西西家有一个长方体无盖玻璃鱼缸，这个鱼缸从正面看和从上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要（ ）dm2的玻璃。 11．用小棒搭长方体。 果果：“我用4根2厘米、4根3厘米、4根10厘米的小棒搭成一个长方体。” 贝贝：“我用8根3厘米、4根6厘米的小棒搭成一个长方体。” 天天：“我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。” （1）果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ），天天搭成的长方体是（ ）。（填序号） （2）若天天搭成的长方体的棱长总和为48厘米，则他所用的每根小棒的长度为（ ）厘米。 12．快递员常用“工”字封箱法来封住纸箱，如图所示，先沿纸箱中缝横向贴一条胶带，覆盖箱盖交接处，再在横向胶带两端各贴一条纵向胶带，形成“工”字。用这种方法封住纸箱的上、下两个面，至少需要（ ）厘米的胶带。 13．有一个长方体容器里面装了120mL的水（如图），水高3cm。如果把长方体容器换个底面放置，此时水高（ ）cm。 14．一段长方体钢材长3分米，把它截成相等的两段后，横截面是正方形，表面积之和比原来增加了50平方厘米，这段长方体钢材原来的表面积是（ ）平方厘米。 15．一个长方体，如果高增加3cm就成为一个正方体，表面积比原来增加96cm2，正方体的棱长是（ ）cm，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 16．一段长方体钢材长3分米，把它截成相等的两段后，横截面是正方形，表面积之和比原来增加了50平方厘米，这段长方体钢材原来的表面积是（ ）平方厘米。 二、判断题 17．一个文具盒的体积约500cm3，也就是50dm3。（ ） 18．乐乐要做一个底面周长是20cm、高是5cm的长方体铁丝框架，至少需要25cm的铁丝。（ ） 19．两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是304平方厘米。（ ） 20．已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的3倍，乐乐给小正方体表面贴彩纸，正好用了的彩纸，那么要给大正方体表面贴彩纸，至少需要准备的彩纸。（ ） 21．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的2倍。（ ） 三、选择题 22．一个正方体纸盒的棱长总和是96cm，它的棱长是（     ）cm。 A．6 B．8 C．12 D．24 23．聪聪有4块玻璃，其中有两块长8dm和宽6dm，另外两块长6dm和宽6dm，如果做一个无盖的玻璃鱼缸，还需配一块（     ）。 A． B． C． D． 24．商店有几个棱长为15cm的正方体盒子（有盖），用来装长和宽均为10cm，高为5cm的长方体“盲盒”，每个正方体盒子最多能装（      ）个“盲盒”。 A．3 B．4 C．5 D．6 25．将两个长15cm，宽10cm，厚6cm的长方体礼盒包成一包，至少需要（     ）cm2包装纸。 A．900 B．1020 C．840 D．1200 26．一个长为20分米的方木的横截面是边长为5分米的正方形，将它的长锯掉3分米后，原方木的体积比原来减少（     ）立方分米。 A．15 B．17 C．75 D．100 四、计算题 27．仔细观察，分别计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 28．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 五、解答题 29．李师傅把棱长是6厘米的正方体钢块锻造成一个长12厘米，宽6厘米的长方体。这个长方体钢块的高是多少厘米？ 30．妈妈给奶奶买了一件节日礼物，她用一条丝带按照下图的方法把礼物捆扎，如果打结处需要丝带长30厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 31．手工课上，老师给每位同学发了一块长方形硬纸板（如下图），要求大家以这块纸板为一个面，再补做另外五块纸板，拼接成一个底面是正方形的长方体纸盒，用来收纳文具。 （1）想一想，用这块纸板可以做出（ ）种不同形状的长方体纸盒。 （2）如果要让制作纸盒用的材料最省，应该把纸盒的底面边长设计成（ ）厘米。 （3）请你算出这个最省材料的纸盒的表面积是多少平方厘米？（接口处忽略不计） 32．如图是石湾生产的一种陶瓷摆件，商家为了展示出陶瓷摆件的样子，设计了一个长方体包装盒，前面使用透明塑料膜，其他各面都用纸板，恰好能装下这种陶瓷摆件。（纸板厚度和粘结重叠部分忽略不计） （1）做这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）为了防止在运输过程中因摩擦损坏陶瓷表面，需要给包装盒内放入一些泡沫填充物，已知陶瓷摆件的体积是4520立方厘米，这个包装盒最多可以放入多少立方分米的泡沫填充物？ 33．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 34．图1是一个长方体无盖玻璃容器，此时水深25厘米。 （1）制作这个容器至少需要用多少平方厘米的玻璃？ （2）如图2，把体积共300立方厘米的梨和苹果完全浸入水中，水面离容器口多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题03：长方体和正方体 知识点01：长方体和正方体的认识 1.长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2.正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3.长方体和正方体的异同点 4.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1.表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3.正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2.正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3.长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4.体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5.容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 一、填空题 1．在（     ）里填上合适的计量单位。 （1）一个墨水瓶的容积大约是50（ ）。 （2）一块橡皮的体积约是6（ ）。 （3）一张双人床的占地面积大约是2（ ）。 （4）一个集装箱的体积约是40（ ）。 【答案】（1）毫升/mL （2）立方厘米/cm3 （3）平方米/m2 （4）立方米/m3 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，装29英寸电视机的纸箱的体积大约是1立方米；常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，一盒牛奶大约是250毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一桶食用油大约是5升；联系生活实际和题目中的数据可知，一张双人床的占地面积大约是2平方米。 【详解】（1）分析可知，一个墨水瓶的容积大约是50毫升。 （2）分析可知，一块橡皮的体积约是6立方厘米。 （3）分析可知，一张双人床的占地面积大约是2平方米。 （4）分析可知，一个集装箱的体积约是40立方米。 2．一个长方体的棱长之和是56分米，长5分米、宽3分米，它的高是（ ）分米，它的表面积是（ ）平方分米。 【答案】 6 126 【分析】根据长方体棱长总和＝4×（长＋宽＋高），可知高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据计算求出高，再根据长方体表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求出表面积。 【详解】高： 56÷4－5－3 ＝14－5－3 ＝9－3 ＝6（分米） 表面积： （5×3＋5×6＋3×6）×2 ＝（15＋30＋18）×2 ＝（45＋18）×2 ＝63×2 ＝126（平方分米） 3．要制作一个棱长是8cm的正方体框架，至少需要（ ）cm长的铁丝。 【答案】96 【分析】正方体有12条棱，且每条棱长度相等；要求制作一个棱长是8cm的正方体框架，至少需要多少cm长的铁丝，用一个棱的长度乘12即可。 【详解】8×12＝96（cm） 至少需要96cm长的铁丝。 4．0.9立方分米＝（ ）立方厘米      83立方米＝（ ）立方分米 2325立方厘米＝（ ）毫升     2.47立方分米＝（ ）升（ ）毫升 【答案】 900 83000 2325 2 470 【分析】高级单位转化为低级单位，那么用数值乘对应进率；低级单位转化为高级单位，那么用数值除以对应进率。 单名数转化为复名数，先把小数拆分成整数部分和小数部分，整数部分直接对应高级单位的数值，小数部分按照单位换算规则进行转换。 1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，1立方厘米＝1毫升，1立方分米＝1升。 【详解】，0.9立方分米＝900立方厘米 ，83立方米＝83000立方分米 ，2325立方厘米＝2325毫升 ，， 2.47立方分米＝2升470毫升 5．张伯伯做一个长150cm，宽和高都是10cm的长方体通风管，至少需要铁皮（ ）cm2。 【答案】6000 【分析】通风管没有左右两个端面，只需计算侧面积。因为宽和高都是10cm，所以侧面是4个长150cm、宽10cm的长方形，先算出一个侧面的面积为150×10，再乘以4就能得到需要的铁皮总面积。 【详解】150×10×4 ＝1500×4 ＝6000（cm2） 6．用1根长60厘米的铁丝正好可以围成一个长是6厘米、宽是5厘米、高是（ ）厘米的长方体框架。这根铁丝还可以正好围成棱长是（ ）厘米的正方体框架，给该正方体框架的各个面上糊上彩纸，至少需要（ ）平方厘米的彩纸。 【答案】 【分析】根据题意可知铁丝长度为长方体的棱长和，棱长和（长宽高），可以根据公式反求出高。铁丝围成正方体，那么可以看作正方体的棱长和。正方体的棱长和棱长，根据公式反求出棱长。给该正方体各个面上糊上彩纸，就是求正方体的表面积，表面积棱长棱长，据此解答。 【详解】 （厘米） （厘米） （平方厘米） 7．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是52平方厘米，原来的正方体表面积是（ ）平方厘米。 【答案】78 【分析】把正方体平均分成两个一样的长方体后，长方体的表面积相当于正方体2个完整的面＋4个半个的面，也就是长方体的表面积＝正方体4个完整的面。 【详解】52÷4＝13（平方厘米） 13×6＝78（平方厘米） 8．一个长方体长8dm，宽6dm，高5dm，这个长方体的表面积是（ ）dm2。若把这个长方体截成最大的正方体，则这个正方体的体积是（ ）dm3。 【答案】 236 125 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据即可求出表面积；截成最大正方体，则最大正方体的棱长是长方体长宽高中的最小值，即为5dm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求解。 【详解】表面积： （8×6＋6×5＋8×5）×2 ＝（48＋30＋40）×2 ＝（78＋40）×2 ＝118×2 ＝236（） 截成最大正方体的棱长是5dm，体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（） 即这个长方体的表面积是236，若把这个长方体截成最大的正方体，则这个正方体的体积是125。 9．用两个长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体拼成一个大长方体，这大长方体的表面积最小是（ ）。 【答案】32 【分析】两个长方体拼成一个大长方体后，表面积总和会减少2个面，要使大长方体的表面积最小，则应让重叠的2个面最大，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2由此即可计算。 【详解】3×2＝6（平方厘米），3×1＝3（平方厘米），2×1＝2（平方厘米）； 6平方厘米＞3平方厘米＞2平方厘米，即让3×2面重叠； 则拼成的长方体的长、宽、高分别为3厘米，1＋1＝2厘米，2厘米； （3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 即这大长方体的表面积最小是32平方厘米。 10．西西家有一个长方体无盖玻璃鱼缸，这个鱼缸从正面看和从上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要（ ）dm2的玻璃。 【答案】29 【分析】根据题意，这个长方体的长是35cm，宽是20cm，高是20cm，由于这个鱼缸无盖，所以上面的长方形不用算，即玻璃的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入数据计算。再根据1dm2＝100cm2，转换单位即可。 【详解】（35×20＋20×20）×2＋35×20 ＝（700＋400）×2＋700 ＝1100×2＋700 ＝2200＋700 ＝2900（cm2） 2900cm2＝29dm2 所以，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要29dm2的玻璃。 11．用小棒搭长方体。 果果：“我用4根2厘米、4根3厘米、4根10厘米的小棒搭成一个长方体。” 贝贝：“我用8根3厘米、4根6厘米的小棒搭成一个长方体。” 天天：“我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。” （1）果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ），天天搭成的长方体是（ ）。（填序号） （2）若天天搭成的长方体的棱长总和为48厘米，则他所用的每根小棒的长度为（ ）厘米。 【答案】（1） ① ③ ② （2）4 【分析】图①长方体的长宽高都不等长；图②长方体的长宽高都等长；图③长方体的长宽等长，但和高不等长。 （1）果果搭成的长方体的长宽高都不相等；贝贝搭成的长方体的长和宽相等，和高不相等；天天搭成的长方体的长宽高都相等。据此判断即可。 （2）根据“天天用12根长度相同的小棒搭成一个长方体”可知，用他搭成的长方体的棱长总和除以12，即可求出则他所用的每根小棒的长度。 【详解】（1）果果搭成的长方体是①，贝贝搭成的长方体是③，天天搭成的长方体是②。（填序号） （2）48÷12＝4（厘米） 若天天搭成的长方体的棱长总和为48厘米，则他所用的每根小棒的长度为4厘米。 12．快递员常用“工”字封箱法来封住纸箱，如图所示，先沿纸箱中缝横向贴一条胶带，覆盖箱盖交接处，再在横向胶带两端各贴一条纵向胶带，形成“工”字。用这种方法封住纸箱的上、下两个面，至少需要（ ）厘米的胶带。 【答案】124 【详解】根据图示，先沿纸箱中缝横向贴一条胶带，覆盖箱盖交接处，再在横向胶带两端各贴一条纵向胶带，形成“工”字。用这种方法封住纸箱的上、下两个面，至少需要2条长，和4条宽的胶带，据此结合题意分析解答即可。 【解答】26×2＋18×4 ＝52＋72 ＝124（厘米） 13．有一个长方体容器里面装了120mL的水（如图），水高3cm。如果把长方体容器换个底面放置，此时水高（ ）cm。 【答案】4 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用水的体积除以竖放时长方体容器的底面积即可。 【详解】120mL＝120cm3 120÷（6×5） ＝120÷30 ＝4（cm） 如果把长方体容器换个底面放置，此时水高4cm。 14．一段长方体钢材长3分米，把它截成相等的两段后，横截面是正方形，表面积之和比原来增加了50平方厘米，这段长方体钢材原来的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】650 【分析】把长方体钢材截成两段后，表面积增加了50平方厘米，增加的表面积是两个底面正方形的面积，用50除以2求出一个底面正方形的面积，根据底面正方形的面积求出底面正方形的边长，再根据1分米＝10厘米，把3分米进行单位换算，根据长方体表面积公式为（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求出长方体钢材原来的表面积。 【详解】50÷2＝25（平方厘米） 25＝5×5，则底面正方形的边长为5厘米。 3分米＝30厘米 （5×5＋5×30＋5×30）×2 ＝（25＋150＋150）×2 ＝（175＋150）×2 ＝325×2 ＝650（平方厘米） 15．一个长方体，如果高增加3cm就成为一个正方体，表面积比原来增加96cm2，正方体的棱长是（ ）cm，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 【答案】 8 288 【分析】明确高增加后新增表面积对应的面的构成。高增加3cm后变成正方体，说明原长方体的长和宽长度相等，且长、宽的长度比原高多3cm。高增加时，长方体上下底面面积不变，新增的96是4个完全相同的长方形侧面的总面积，可求出一个侧面面积。每个新增侧面宽为3cm，根据长方形面积公式可求出侧面的长，即正方体的棱长。然后求出正方体的表面积，最后减去新增的表面积。 【详解】（） （cm） （） 16．一段长方体钢材长3分米，把它截成相等的两段后，横截面是正方形，表面积之和比原来增加了50平方厘米，这段长方体钢材原来的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】650 【分析】把长方体钢材截成两段后，表面积增加了50平方厘米，增加的表面积是两个底面正方形的面积，用50除以2求出一个底面正方形的面积，根据底面正方形的面积求出底面正方形的边长，再根据1分米＝10厘米，把3分米进行单位换算，根据长方体表面积公式为（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求出长方体钢材原来的表面积。 【详解】50÷2＝25（平方厘米） 25＝5×5，则底面正方形的边长为5厘米。 3分米＝30厘米 （5×5＋5×30＋5×30）×2 ＝（25＋150＋150）×2 ＝（175＋150）×2 ＝325×2 ＝650（平方厘米） 二、判断题 17．一个文具盒的体积约500cm3，也就是50dm3。（ ） 【答案】× 【分析】；低级单位转换为高级单位需要除以进率，统一单位后比较数据大小即可。 【详解】 故答案为：× 18．乐乐要做一个底面周长是20cm、高是5cm的长方体铁丝框架，至少需要25cm的铁丝。（ ） 【答案】× 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体底面周长包含2条长和2条宽，长方体棱长总和＝底面周长×2＋高×4。 【详解】20×2＋5×4 ＝40＋20 ＝60（cm） 至少需要60cm的铁丝，原题说法错误。 故答案为：× 19．两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是304平方厘米。（ ） 【答案】√ 【分析】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积。 【详解】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝（40＋30＋12）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） 所以拼成的长方体表面积最大是304平方厘米。题目说法正确。 故答案为：√ 20．已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的3倍，乐乐给小正方体表面贴彩纸，正好用了的彩纸，那么要给大正方体表面贴彩纸，至少需要准备的彩纸。（ ） 【答案】√ 【分析】正方体表面积公式S＝6a2，再根据大正方体棱长是小正方体的3倍，得出大正方体表面积是小正方体的32＝9倍，最后用小正方体的表面积乘9，求出大正方体的表面积并与题目给出的数据对比判断。 【详解】设小正方体棱长为a，则大正方体棱长为3a。 小正方体表面积：S小＝6a2＝24（cm2） 大正方体表面积：S大＝6×（3a）2 ＝6×9a2 ＝9×6a2 ＝9×24 ＝216（cm2） 与题目中给出的216cm2一致，所以原题说法正确。 故答案为：√ 21．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的2倍。（ ） 【答案】× 【分析】长方体的表面积计算公式为：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。设原长方体的长、宽、高分别为a、b、c，当长、宽、高均扩大到原来的2倍时，扩大后的长、宽、高为2a、2b、2c，分别代入公式计算，再用除法求出表面积扩大到原来的几倍即可。 【详解】设原长方体的长、宽、高分别为a、b、c。 原表面积为：（ab＋ac＋bc）×2＝2（ab＋ac＋bc） 扩大后的长、宽、高为2a、2b、2c，表面积为： （2a×2b＋2a×2c＋2b×2c）×2 ＝（4ab＋4ac＋4bc）×2 ＝4（ab＋ac＋bc）×2 ＝8（ab＋ac＋bc） 8（ab＋ac＋bc）÷2（ab＋ac＋bc）＝4 表面积扩大到原来的4倍，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 22．一个正方体纸盒的棱长总和是96cm，它的棱长是（     ）cm。 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12即可算出棱长。 【详解】96÷12＝8（cm） 正方体的棱长是8cm。 23．聪聪有4块玻璃，其中有两块长8dm和宽6dm，另外两块长6dm和宽6dm，如果做一个无盖的玻璃鱼缸，还需配一块（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】制作一个无盖的长方体玻璃鱼缸，需要底面1块、侧面4块，共计5块玻璃；根据题意可知，4块玻璃均有一边为6dm，说明鱼缸的高度为6dm，已有的玻璃作为侧面，其底边长度分别对应鱼缸的长和宽，据此解答。 【详解】根据分析可知：做成的玻璃鱼缸的长是8dm、宽是6dm、高是6dm，配的玻璃作为长方体的下面的面，即长×宽的面，所以应该配一块长是8dm、宽是6dm的长方形的玻璃。 所以应该配一块的玻璃。 24．商店有几个棱长为15cm的正方体盒子（有盖），用来装长和宽均为10cm，高为5cm的长方体“盲盒”，每个正方体盒子最多能装（      ）个“盲盒”。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题不能用正方体盒子的容积除以长方体盲盒的体积，要考虑实际摆放的空间限制。要让长方体盲盒的不同棱对应正方体盒子的不同方向。 【详解】长方体盲盒的长是10cm，宽是10cm，高是5cm，正方体盒子的棱长是15cm。先按常规方向摆，高度方向可以摆15÷5＝3（层），底面只能摆放1个，所以可以放1×3＝3（个）。 放完3个后，正方体盒子里还有15cm×（15－10）cm×15cm的空间。把长方体盲盒换个方向放进剩余空间，可以放2个。所以一共可以放3＋2＝5（个）。 25．将两个长15cm，宽10cm，厚6cm的长方体礼盒包成一包，至少需要（     ）cm2包装纸。 A．900 B．1020 C．840 D．1200 【答案】A 【分析】把长方体礼盒的最大面重叠在一起时需要的包装纸面积最小，求出此时两个长方体礼盒组成的大长方体的长、宽、高，再根据“”求出至少需要包装纸的面积。 【详解】分析可知，因为15cm＞10cm＞6cm，所以长、宽所组成面的面积最大。 长：15cm 宽：10cm 高：6×2＝12（cm） （15×10＋15×12＋10×12）×2 ＝（150＋180＋120）×2 ＝450×2 ＝900（cm2） 至少需要900cm2包装纸。 26．一个长为20分米的方木的横截面是边长为5分米的正方形，将它的长锯掉3分米后，原方木的体积比原来减少（     ）立方分米。 A．15 B．17 C．75 D．100 【答案】C 【分析】长方体体积＝横截面的面积×长，根据正方形面积＝边长×边长，计算出横截面的面积，横截面的面积×锯掉的长度＝减少的体积。 【详解】5×5×3＝75（立方分米） 原方木的体积比原来减少75立方分米。 四、计算题 27．仔细观察，分别计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】正方体表面积：；体积：； 长方体表面积：；体积： 【分析】将正方体的棱长，长方体的长、宽、高，分别代入正方体、长方体的表面积、体积公式即可求得结果；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】 28．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】186cm2；135cm3 【分析】把立体图形上方正方体的上底面补在重叠的长方体面处，立体图形的表面积等于完成的长方体表面积，加上正方体的四个侧面积。立体图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积。 【详解】表面积： （9×3＋9×4＋3×4）×2＋3×3×4 ＝（27＋36＋12）×2＋3×3×4 ＝（63＋12）×2＋3×3×4 ＝75×2＋9×4 ＝150＋36 ＝186（cm2） 体积：9×3×4＋3×3×3 ＝27×4＋9×3 ＝108＋27 ＝135（cm3） 五、解答题 29．李师傅把棱长是6厘米的正方体钢块锻造成一个长12厘米，宽6厘米的长方体。这个长方体钢块的高是多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】把正方体钢块锻造成长方体后体积不变，根据求出钢块的体积，依据，用正方体体积除以长方体的长和宽的积即可求出长方体钢块的高。 【详解】6×6×6＝216（立方厘米） 216÷（12×6） ＝216÷72 ＝3（厘米） 答：这个长方体钢块的高是3厘米。 30．妈妈给奶奶买了一件节日礼物，她用一条丝带按照下图的方法把礼物捆扎，如果打结处需要丝带长30厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】 196厘米 【分析】由图可知，丝带是十字捆扎，沿长的方向有2段、沿宽的方向有2段、沿高的方向有4段，用对应棱长乘段数求和得到捆扎部分的丝带长度。再将捆扎部分的丝带长度加上打结处的30厘米，即可得到总丝带长度。 【详解】25×2＋22×2＋18×4＋30 ＝50＋44＋72＋30 ＝94＋72＋30 ＝166＋30 ＝196（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要196厘米丝带。 31．手工课上，老师给每位同学发了一块长方形硬纸板（如下图），要求大家以这块纸板为一个面，再补做另外五块纸板，拼接成一个底面是正方形的长方体纸盒，用来收纳文具。 （1）想一想，用这块纸板可以做出（ ）种不同形状的长方体纸盒。 （2）如果要让制作纸盒用的材料最省，应该把纸盒的底面边长设计成（ ）厘米。 （3）请你算出这个最省材料的纸盒的表面积是多少平方厘米？（接口处忽略不计） 【答案】（1）2 （2）8 （3）512平方厘米 【分析】（1）由图可知，长方形纸板的长是12厘米，宽是8厘米。长方形纸板的长或宽为底面的边长，则底面是边长可能是12厘米或8厘米的正方形，其它各个面是长方形纸板的形状。 （2）以8厘米为边长正方形作底面，那么，这个长方体的长是8厘米，宽是8厘米，高是12厘米；以12厘米为边长的正方形作底面，那么，这个长方体的长是12厘米，宽是12厘米，高是8厘米。根据长×宽×2＋长×高×4，分别算出两种情况的表面积，再比较判断。 （3）以8厘米为底面边长，制作纸盒用的材料最省。根据长×宽×2＋长×高×4计算出表面积。 【详解】（1）底面是边长可能是12厘米或8厘米的正方形，其它各个面是长为12厘米，宽是8厘米的长方形，所以有2种不同形状的长方体纸盒。。 （2）8×8×2＋8×12×4 ＝128＋384 ＝512（平方厘米） 12×12×2＋12×8×4 ＝288＋384 ＝672（平方厘米） 512＜672 应该把纸盒的底面边长设计成8厘米。 （3）8×8×2＋8×12×4 ＝128＋384 ＝512（平方厘米） 答：这个最省材料的纸盒的表面积是512平方厘米。 32．如图是石湾生产的一种陶瓷摆件，商家为了展示出陶瓷摆件的样子，设计了一个长方体包装盒，前面使用透明塑料膜，其他各面都用纸板，恰好能装下这种陶瓷摆件。（纸板厚度和粘结重叠部分忽略不计） （1）做这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）为了防止在运输过程中因摩擦损坏陶瓷表面，需要给包装盒内放入一些泡沫填充物，已知陶瓷摆件的体积是4520立方厘米，这个包装盒最多可以放入多少立方分米的泡沫填充物？ 【答案】（1）1652平方厘米 （2）1.6立方分米 【分析】（1）因为长方体包装盒的前面使用透明塑料膜，其他各面都用纸板，求做这个包装盒至少需要纸板的面积，就是求长方体的上下面、左右面和后面的面积之和；根据“长×宽×2＋长×高＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （2）先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出包装盒的容积，再减去陶瓷摆件的体积，就是这个包装盒最多可以放入泡沫填充物的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】（1）18×17×2＋18×20＋17×20×2 ＝612＋360＋680 ＝1652（平方厘米） 答：做这个包装盒至少需要1652平方厘米的纸板？ （2）18×17×20 ＝306×20 ＝6120（立方厘米） 6120－4520＝1600（立方厘米） 1600立方厘米＝1.6立方分米 答：这个包装盒最多可以放入1.6立方分米的泡沫填充物。 33．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 【答案】170平方分米 【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 【详解】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4 ＝25×6＋1×4＋4×4 ＝150＋4＋16 ＝170（平方分米） 答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 34．图1是一个长方体无盖玻璃容器，此时水深25厘米。 （1）制作这个容器至少需要用多少平方厘米的玻璃？ （2）如图2，把体积共300立方厘米的梨和苹果完全浸入水中，水面离容器口多少厘米？ 【答案】（1）4600平方厘米 （2）14.5厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高； （1）分析题目，玻璃的面积等于容器的前后、左右、下面5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；据此列式计算； （2）把300立方厘米的梨和苹果浸入水中，相当于把梨和苹果的体积转化成长是30厘米，宽是20厘米的长方体，根据长方体的高＝体积÷（长×宽）列式求出水面上升的高度，再用原来水的高度加上上升的高度即可得到此时水面的高度，最后用容器的高减去水面的高度即可解答。 【详解】（1）30×20＋30×40×2＋20×40×2 ＝600＋1200×2＋800×2 ＝600＋2400＋1600 ＝3000＋1600 ＝4600（平方厘米） 答：制作这个容器至少需要用4600平方厘米的玻璃。 （2）300÷（30×20） ＝300÷600 ＝0.5（厘米） 25＋0.5＝25.5（厘米） 40－25.5＝14.5（厘米） 答：水面离容器口14.5厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $