专题01 观察物体（三）及长方体和正方体（专项训练）五年级数学暑假专项提升（人教版）

**基本信息** 以观察物体与长正方体为核心，构建“概念-公式-应用”三阶体系，融合空间观察技巧与实际问题转化，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |观察物体|多题型覆盖|多角度观察技巧、立体图形还原方法|从平面到立体，培养空间想象| |棱长/表面积/体积|综合应用|公式推导与变式、切割/拼接表面积变化规律|概念→公式→实际应用递进| |容积/单位换算|生活情境题|单位换算进率、容积体积联系|数学与生活结合，发展应用意识|

2025-2026学年五年级下册数学暑假专项提升 专题一 观察物体（三）及长方体和正方体 【知识点梳理】 观察物体 1.不同角度观察一个物体，看到的面都是两个或三个相邻的面。 2.不可能一次看到长方体或正方体相对的面。 3.注意事项 (1)这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。 (2)站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。 (3)从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。 (4)从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。 (5)同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同的，也可能是不同的。 (6)如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。 正方体和长方体 1.长方体 由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 长方体特点： (1)有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 (2)一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 2.正方体 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立方体)。 正方体特点 (1)正方体有12条棱，它们的长度都相等。 (2)正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。 (3)正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 3.长方体、正方体有关棱长计算公式： 长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4=长×4+宽×4+高×4 L=(a+b+h)×4 长=棱长总和÷4一宽一高 a=L÷4-b-h 宽=棱长总和÷4-长一高 b=L÷4-a-h 高=棱长总和÷4-长一宽 h=L÷4-a-b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 4.表面积 长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)-ab S=2(ah+bh)+ab 无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2 S=2(ah+bh) 生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面 注意1:用刀分开物体时，每分一次增加两个面。(表面积相应增加) 注意2:长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。(如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍) 5.体积 物体所占空间的大小叫做牛物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 宽=体积÷长÷高 高=体积÷长÷宽 a=V÷b÷h b=V÷a÷h h=V÷a÷b 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a =读作“a的立方”表示3个a相乘，(即a·a·a) 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 V=Sh(横截面积相当于底面积，长相当于高)。 注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。 6.容积 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和mL。 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 (1L =1dm² 1ml =1cm²) 7.体积单位换算 大单位×进率=小单位 小单位÷进率=大单位 进率：1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米(立方相邻单位进率1000) 1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升 1立方厘米=1毫升 1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1平方千米=100公顷=1000000平方米 注意：长方体与正方体关系：把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后，表面积增加了，体积不变。 【综合提升练】 一、填空题 1．下面哪个立体图形符合所给出的描述？在括号里填上该图形的序号。 (1)小正方体个数最多的是( )。 (2)从前面、左面、上面看到的小正方形数各不相同的是( )。 (3)从前面、左面、上面看到的小正方形数都相同的是( )。 (4)两个( )可以拼成一个( )。 (5)从前面看图形相同的是( )。 (6)从左面看图形相同的是( )。 2．折叠后，下面图形能围成正方体的画“√”，能围成长方体的画“〇”。 (1)围成正方体。 (2)围成长方体。 3．如图所示，在________号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在________号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 4．一个几何体从前面看到是，从上面看到的也是，要搭成这样的几何体至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 5．在括号里填上合适的单位。 一块橡皮的体积约是8( )；一个水桶的容积约是20( )。 6．单位换算。 ( )        ＝( )       ＝( )( ) 7．一个正方体的棱长总和是72cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 8．一个长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm，它的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 9．把一个正方体切成两个完全一样的长方体：表面积增加了32平方厘米。这个正方体的体积是( )立方厘米。 10．一个长方体，如果高增加3厘米就变成一个正方体，表面积比原来增加96平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 11．用一根长60厘米的铁丝做一个长6厘米，宽5厘米的长方体框架，长方体的高是( )厘米；如果用这根铁丝做一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米，在表面糊一层彩纸，至少需要( )平方厘米彩纸。 12．用4个同样的小正方体木块拼成一个长方体后（如图），表面积减少了，每个小正方体的体积是( )，拼成的长方体的表面积是( )。 13．一个升旗台的台阶如下图所示（单位：厘米），要给台阶铺上一层红地毯（图中阴影部分），至少需要( )平方厘米的红地毯。 14．科学课上，奇思设计了一个测量大铁球和小铁球体积的实验，过程如图。则大铁球的体积是( )，小铁球的体积是( )。 二、判断题 15．两个立体图形，如果从正面和侧面看形状相同，那么这两个立体图形可能相同，也可能不同。( ) 16．一个几何体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是。这个几何体可能是。( ) 17．林林用4个小正方体积木搭了一个几何体，从上面看是，则从前面看的形状有三种可能性。( ) 18．棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。( ) 19．两个正方体的表面积相等，则它们的体积也相等。( ) 20．把下边大正方体涂上红色，切开后，有3个面是红色的小正方体有12个。( ) 三、选择题 21．《百喻经》中记载的盲人摸象典故就已经有了关于从不同方向看到的物体形状不同的观念。如图是一个几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体需要（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．9 22．积木比赛中，甜甜组抽到的题目是每个人通过增减积木（积木取用于组内）使得从左面看到的图形始终不变。甜甜的几何体从上面看是（数字表示该位置小正方体的个数），则她最多可以取走（    ）个积木。（两个小正方体之间至少有一个面接触） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么图中由七个正方体组合成的几何体，从前面看，可画出的平面图形是（    ）。 A． B． C． D． 24．一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 25．一个长方体的所有棱长的长度之和是84cm，相交于一个顶点的三条棱之和是（    ）cm。 A．21 B．14 C．7 26．把一个长方体木块，切掉一个角，和原长方体比较，下列说法正确的是（    ）。 A．体积不变，表面积不变 B．体积不变，表面积变小 C．体积变小，表面积变小 D．体积变小，表面积不变 27．如图所示，从一块长方体木料上截去一块小的正方体木料，剩下木料的表面积与原长方体木料的表面积相比，（    ）。 A．变大 B．不变 C．变小 D．无法比较 28．一个长方体通风管长是a厘米，宽和高都是b厘米，这个长方体通风管的表面积是（    ）平方厘米。 A．2ab B．4ab C．2ab＋b2 D．4ab＋2b2 29．正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。括号里依次应填入（    ）。 A．2；8 B．4；8 C．6；8 D．8；4 四、作图题 30．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。画出从不同方向看到的形状。 五、计算题 31．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 六、解答题 32．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？ 33．希望小学有一间长10米，宽6米，高4米的长方形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米后，这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 34．2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 35．一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 36．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 37．张青要给家里的长方体鱼缸换水，她先把鱼缸里的水全部倒出后，从鱼缸里面量长60厘米，宽30厘米，高42厘米。 （1）张青先倒入36升的水后，水深多少厘米？ （2）张青在鱼缸放入一块假山浸没水中，这时水深32厘米。这块假山的体积是多少立方分米？ 38．实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)① (2)③ (3)①② (4) ②或④ ① (5)①、④ (6)③、④ 【分析】（1）先数每个图形的小正方体个数，①有8个，②③④各有4个，找出数量最多的。 （2）分别数每个图形从前面、左面、上面看到的小正方形数，找出三个数都不相同的图形。 （3）分别数每个图形从三个方向看到的小正方形数，找出三个数都相同的图形。 （4）观察图形的形状，哪两个图形可以拼成另一个图形。 （5）比较所有图形从前面看到的形状，找出相同的。 （6）比较所有图形从左面看到的形状，找出相同的。 【详解】（1）①有8个，②③④各有4个，小正方体个数最多的是①。 （2）③前面看到4个左面看到2个上面看到3个，三个数各不相同。 （3）①前面4个左面4个上面4个；②前面3个左面3个上面3个，数都相同。 （4）两个②或④可以拼成①。 （5）①和④从前面看都是4个小正方形组成的正方形。 （6）③和④从左面看都是2个小正方形组成的长方形。 2．(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）正方体的展开图有如下类型： 第一类，1－4－1型，中间四连方，两侧各一个，共六种； 第二类，1－3－2型，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种； 第三类，2－2－2型，中间二连方，两侧各有二个，只有一种； 第四类，3－3型，两排各三个，只有一种； 展开图中有“凹字、田字、L”型结构的不能围成正方体； （2）长方体展开图要求相对面完全相同，结构合理即可折叠围成长方体，同样有1－4－1型和1－3－2型；据此判断。 【详解】（1） 是“凹字”型，不能围成正方体； 是1－4－1型，能围成正方体； 是1－3－2型，能围成正方体； 是“L”型，不能围成正方体； 见下图： （2） 相对的面大小相同，1－4－1型，能围成长方体； 相对面位置错误，不能围成长方体； 相对的面大小不同，不能围成长方体； 结构正确，1－3－2型，能围成长方体。 见下图 3． ② ③ 【分析】观察图形，再添加一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，说明从左面看不到某位置上新放的小方块，据此得出添加的小方块放在②号位置上； 再添加一个同样的小方块，从前面看到的图形不变，说明从前面看不到某位置上新放的小方块，据此得出添加的小方块应放在③号位置上。 【详解】如图：        在②号位置上面放一个同样的小方块，从左面看： 在③号位置上面放一个同样的小方块，从前面看： 填空如下： 在 ② 号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在 ③ 号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 4． 5 6 【分析】从正面、上面看到的图形有两层，底层有2排，前排有3个小正方体，后排有1个小正方体，居中对齐；上层至少有1个小正方体，至多有2个小正方体，居中对齐；据此可知，至少有（3＋1＋1）个小正方体，至多有（3＋1＋2）个小正方体。 【详解】3＋1＋1＝5（个） 3＋1＋2＝6（个） 搭成这样一个几何体最少要5个小正方体，最多要6个小正方体。 5． 立方厘米/cm³ 升/L 【分析】结合实际情况，计量较小物体的体积用立方厘米，如：一个手指尖的体积大约是1立方厘米；计量容积一般用体积单位，计量液体（如水、油等）的体积常用容积单位升和毫升，如市场上一桶花生油大约是5升。 【详解】根据分析： 橡皮较小，所以一块橡皮的体积约是8立方厘米；水桶的容积比较大，所以一个水桶的容积约是20升。 6． 3500 0.048 4 50 【分析】（1）因为1dm3＝1000cm3，从高级单位换算成低级单位时，乘进率； （2）根据1L＝1000mL，从低级单位换算成高级单位时，除以进率； （3）整数部分即为kg的数值，再根据1kg＝1000g，将小数部分换算成g。 【详解】（1）因为3.5×1000＝3500（cm3），所以 3500。 （2）因为48÷1000＝0.048（L），所以＝0.048。 （3）因为4.05kg＝4kg＋0.05kg，0.05×1000＝50（g），所以 ＝450。 7． 216 216 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12算出棱长；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，算出表面积；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出体积。 【详解】棱长：72÷12＝6（cm） 表面积：6×6×6＝216（cm2） 体积：6×6×6＝216（cm3） 8． 52 108 72 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；把数据代入到公式中计算即可。 【详解】棱长总和：（6＋4＋3）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 表面积：（6×4＋6×3＋4×3）×2 ＝（24＋18＋12）×2 ＝54×2 ＝108（cm2） 体积：6×4×3＝72（cm3） 9．64 【分析】正方体切成两个长方体时，会增加2个和正方体面一样大的面，表面积增加的32平方厘米就是这2个面的面积和。先算出1个面的面积，再求出正方体的棱长，最后计算体积。 【详解】1个面的面积：32÷2＝16（平方厘米） 因为4×4＝16，所以棱长是4厘米， 体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 10．288 【分析】高增加3厘米变成正方体，说明原长方体的长和宽相等，且比高大3厘米。增加的表面积是4个相同的长方形侧面的面积和，每个长方形的高为3厘米，长等于原长方体的长（宽）。先求原长方体的长和宽，再求高，最后计算表面积。 【详解】增加的每个面的面积：96÷4＝24（平方厘米） 原长方体的长（宽）：24÷3＝8（厘米） 原长方体的高：8－3＝5（厘米） 表面积：（8×8＋8×5＋8×5）×2 ＝（64＋40＋40）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 11． 4 5 150 【分析】用铁丝做长方体框架，即铁丝长度就是长方体的棱长之和，根据长方体棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，可知：高＝长方体棱长之和÷4－长－宽，代入数值即可解答；铁丝长度是正方体的棱长之和，根据正方体棱长之和＝棱长×12，可知：棱长＝正方体棱长之和÷12，代入数值即可解答；在表面糊一层彩纸，彩纸的面积就是正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 【详解】60÷4－6－5 ＝15－6－5 ＝9－5 ＝4（厘米） 60÷12＝5（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 12． 8 64 【分析】拼成长方体，一个接触面会减少2个小正方形的面积，4个接触面，减少了8个小正方形的面积，用减少的面积÷8，求出一个小正方形的面积；根据正方形面积＝边长×边长，据此求出小正方形的边长，也就是小正方体的棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个小正方体的体积；再求出拼成长方体的长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【详解】拼成长方体后减少8个小正方形的面积。 32÷8＝4（cm2） 2×2＝4，小正方体棱长是2cm。 2×2×2 ＝4×2 ＝8（cm3） 拼成长方体后，长方体的长：2×2＝4（cm），宽：2×2＝4（cm），高是2cm。 （4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝（24＋8）×2 ＝32×2 ＝64（cm2） 13．10800 【分析】看图可知把台阶第一、第二、第三阶的上面的面平移到台阶下面正好是台阶下面长×宽的面，把台阶每一阶的前面平移到台阶的后面正好是台阶后面宽×高的面，且长和高长度相等，所以，长×宽×2＝至少需要的红地毯面积。 【详解】90×60×2 ＝5400×2 ＝10800（平方厘米） 14． 15 3 【分析】看图可知一个小铁球和一个大铁球的体积和是18，再放入两个同样的小铁球后体积和是24，因此放入两个小铁球后增加的体积就是放入的两个小铁球的体积和，因此，两个小铁球的体积和是（24－18），则一个小铁球的体积就是（24－18）÷2＝3，一个大铁球的体积＝一个小铁球和一个大铁球体积和－一个小铁球的体积；计算前先统一单位：1mL＝1。 【详解】18mL＝18 24mL＝24 （24－18）÷2 ＝6÷2 ＝3（） 18－3＝15（） 则大铁球的体积是15，小铁球的体积是3。 15．√ 【分析】由题意可知，这两个立体图形可能相同，也可能不同，如下图所示，这两个立体图形，从正面和侧面看形状相同，但这两个图形却不相同。据此解答。 【详解】据分析可知，两个立体图形，如果从正面和侧面看形状相同，那么这两个立体图形可能相同，也可能不同。原题说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】分析从前面看、从左面看到的图形，与原题比较。 【详解】从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，不是，原题说法错误。 故答案为：× 17．× 【分析】 用4个小正方体积木搭了一个几何体，从上面看是，则这个立体图形的底层由3个小正方体组成，且摆放形状为，第4个小正方体可以摆放在底层的任意一个小正方体的上面，所以有3种不同的搭法，如下： 从前面看，只有、这2种情况。 【详解】 根据分析可知，林林用4个小正方体积木搭了一个几何体，从上面看是，则从前面看的形状有2种可能性。原题干说法错误。 故答案为：× 18．× 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，面积和体积不是同类量，二者无法比较大小，据此解答。 【详解】表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 所以，棱长是6厘米的正方体，表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米，二者计量单位不相同无法比较大小。 故答案为：× 19．√ 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，当表面积相等，证明棱长肯定相等；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，当棱长相等，体积肯定也相等。 【详解】两个正方体的表面积相等，则它们的棱长相等，则它们的体积也相等，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查正方体的表面积和体积公式。 20．× 【分析】由题意可知，3个面涂色的小正方体在顶点位置，顶点有8个，据此判断即可。 【详解】把下边大正方体涂上红色，切开后，有3个面是红色的小正方体有8个。原题说法错误。 故答案为：× 21．C 【分析】根据从上面看到的图形可知这个几何体有2行3列，前面一行至少有2个小正方体，后面一行至少有3个小正方体；根据从前面和左面看到的图形可知这个几何体有3层，第2层有2个小正方体，第3层有1个小正方体，所以摆成的几何体如图，搭成这个几何体需要8个小正方体。 【详解】如图： 则搭成这个几何体需要8个小正方体。 故答案为：C 22．C 【分析】 根据题意，甜甜的几何体从左面看应是，据此可以把这个几何体左边一列的3个小正方体取走，这时从左面看到的图形不变。据此解答。 【详解】通过分析可得：她最多可以取走3个积木。 故答案为：C 23．C 【分析】根据观察物体的方法，明确观察物体的方法，先确定有几列或几行，每列或每行有几个，形状是怎样的。观察从前面看有两行三列，下行左边一列有两个正方体叠加，中间一列有三个正方体叠加，右边一列只有一个正方体，上行只有一列靠中间只有一个正方体，据此解答即可。 【详解】 如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么由七个正方体组合成的几何体，从前面看，可画出的平面图形是。 故答案为：C 24．B 【分析】如果高增加2厘米，则其增加的体积等于长a厘米、宽b厘米、高2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】a×b×2＝2ab（立方厘米） 所以一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加2ab立方厘米。 故答案为：B 25．A 【分析】长方体相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，已知棱长之和是84cm，用84除以4即可求出长方体的长、宽、高之和，即相交于一个顶点的三条棱之和。据此解答。 【详解】84÷4＝21（cm），则相交于一个顶点的三条棱之和是21cm。 故答案为：A 26．D 【分析】观察可知，将长方体的一角切除后，木块整体体积显然变小。但从表面积看，原来被切去的那部分同时减少了三个长方形面积，但又新增加了切口处的三个长方形面积，这减少和增加的面积恰好相等，故总表面积保持不变。据此解答。 【详解】据分析可知，把一个长方体木块，切掉一个角，和原长方体比较，下列说法正确的是体积变小，表面积不变。 故答案为：D 27．A 【分析】根据题意可知，从长方体木料上截取一块小的正方体，减少2个面，同时又增加4个面，由此可知，剩下木料的表面积与原长方体木料的表面积相比变大，据此解答。 【详解】根据分析可知，从一块长方体木料上截去一块小的正方体木料，剩下木料的表面积与原长方体木料的表面积相比，变大。 故答案为：A 28．B 【分析】长方体通风管两端开口，因此表面积只需计算四个侧面的面积之和。每个侧面的形状为长方形，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×宽＋长×高）×2，据此解答。 【详解】（a×b＋a×b）×2 ＝（ab＋ab）×2 ＝2ab×2 ＝4ab（平方厘米） 一个长方体通风管长是a厘米，宽和高都是b厘米，这个长方体通风管的表面积是4ab平方厘米。 故答案为：B 29．B 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长可知，正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大到原来的（2×2）倍，体积扩大到原来的（2×2×2）倍，据此解答。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 故答案为：B 30．见详解 【分析】从前面看，有3层，最上层和中间层各1个小正方形，最下层有3个小正方形，居中； 从上面看，有2层，上层1个小正方形，下层3个小正方形，居中； 从左面看，有3层，最上层1个小正方形，中间有2个小正方形，下层有2个小正方形，左齐，据此解答。 【详解】如图： 31．2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【分析】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 32．1500立方厘米 【分析】根据题意，在长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，做成一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个铁皮盒的容积。 【详解】长：40－5－5＝30（厘米） 宽：20－5－5＝10（厘米） 容积：30×10×5＝1500（立方厘米） 答：做出的铁皮盒容积是1500立方厘米。 33．（1）240立方米；（2）32.4平方米 【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出这间教室的空间； （2）根据题意可知， 教室贴瓷砖的面积＝（长＋宽）×2×瓷砖的高－门窗面积，代入数据即可解答。 【详解】（1）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方米） 答：这间教室的空间是240立方米。 （2）（10＋6）×2×1.2－6 ＝16×2×1.2－6 ＝38.4－6 ＝32.4（平方米） 答：这间教室贴瓷砖的面积是32.4平方米。 34．2000平方分米 【分析】由题意可知，240分米是正方体的棱长总和，根据的逆运算，用240除以12可得棱长，再根据正方体表面积的特征，用棱长乘棱长乘5，即可得解。 【详解】（分米） （平方分米） 答：至少需要2000平方分米的彩纸。 35．6.4升 【分析】根据题意，把一块正方体铁块放入水深2.8分米的长方体玻璃缸中，水会先升高到4分米，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－长方体玻璃缸无水部分的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。注意单位的换算：1立方分米＝1升。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 8×6×（4－2.8） ＝8×6×1.2 ＝48×1.2 ＝57.6（立方分米） 64－57.6＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 36．（1）12.8厘米 （2）438.4平方厘米 【分析】（1）根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据长方体的体积＝长×宽 ×高可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此代入数据计算即可； （2）根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】（1）8×8×8÷（10×4） ＝64×8÷40 ＝512÷40 ＝12.8（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是12.8厘米。 （2）（10×4＋10×12.8＋4×12.8）×2 ＝（40＋128＋51.2）×2 ＝219.2×2 ＝438.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是438.4平方厘米。 37．（1）20厘米         （2）21.6立方分米 【分析】（1）根据题意，往长60厘米、宽30厘米的长方体鱼缸里倒入36升的水，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷长÷高，据此求出水深。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。 （2）由上一题可知，鱼缸里水深20厘米。往长方体鱼缸里放入一块假山浸没水中，这时水深32厘米，那么水上升了（32－20）厘米，水上升部分的体积就是假山的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块假山的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】（1）36升＝36000立方厘米 36000÷60÷30 ＝600÷30 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 （2）60×30×（32－20） ＝60×30×12 ＝21600（立方厘米） 21600立方厘米＝21.6立方分米 答：这块假山的体积是21.6立方分米。 38．8分米 【分析】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【详解】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 答案第1页，共2页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $