福建省福州延安中学2025-2026学年八年级下学期数学试卷

**基本信息** 以一元二次方程和二次函数为核心，通过投篮路线、茶叶销售等生活情境题，考查运算能力与模型意识，基础与综合题梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、配方法、二次函数变换|结合几何图形（如矩形展位）辨析概念| |填空题|6/24|二次函数最值、握手问题方程、抛物线点坐标比较|简洁考查符号意识与空间观念| |解答题|9/86|解方程、根的判别式、函数与几何综合、利润问题|以投篮机飞行路线（二次函数建模）、茶叶销售（利润函数）突出应用意识|

2025-2026学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂 1．（4分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x（x2+1）＝2 D．x（x+1）＝1 2．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则（a+b）2＝（　　） A．1 B．2 C．0 D．4 3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，下列配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣4）2＝11 C．（x+2）2＝11 D．（x+4）2＝11 4．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣1）经变换后得到抛物线y＝﹣（x+2）2+1，则下列变换正确的是（　　） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 5．（4分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为xm，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 6．（4分）已知等腰三角形ABC中．BC＝8，AB，AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值为（　　） A．25 B．14 C．25或16 D．25或14 7．（4分）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（　　） x … ﹣2 0 1 3 … y … ﹣6 4 ﹣6 ﹣56 … A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点 C．对称轴为 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 8．（4分）已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣15＝0，则m2+n2的值为（　　） A．3 B．5 C．5或3 D．﹣3或5 9．（4分）如图甲，在△ABC中，点P从点B出发向点C运动，线段AP的长为y，y与x的函数图象如图乙所示，则下列结论不正确的是（　　） A．AB＝2 B．BC＝4 C．AP的最小值为1 D．∠B＝60° 10．（4分）如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A，过点A且平行于x轴的直线与抛物线y2＝﹣（x﹣h）2+k交于B，C两点，与抛物线y1交于点D，抛物线y2与x轴交于点E，F，连接BE，CF．若AD＝2BC，则梯形BEFC的面积为（　　） A．4 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）二次函数y＝2（x﹣1）2+1的最小值是 　 　 ． 12．（4分）根据下列问题列方程．问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会　 　 ． 13．（4分）已知方程（m2﹣5m）x|m|﹣3﹣x﹣9＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程． 14．（4分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 　 　 秒． 15．（4分）已知点A（，y1）、B（2，y2）、C（﹣5，y3）在抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣k，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 （用“＜”连接）． 16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝ax+c，二次函数过点（﹣1，a+c）2+bx+c＞ax+c的解集为 　 　 ． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）x（x﹣4）+5（x﹣4）＝0； （2）（y+1）（y﹣1）＝2y﹣1． 18．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+3k＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0． （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别是x1，x2，若（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，求k的最大整数值． 20．（8分）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a． （1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； （2）若该二次函数的顶点在y＝1﹣x的图象上，求实数a的值． 21．（8分）将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能 22．（10分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设垂直于墙的一面篱笆长为x米 （1）若围成花圃的总面积为20平方米，请设计方案． （2）求S关于x的函数关系式，并求出最大面积． 23．（10分）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1，图2是投篮过程中的截面图，以AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系，篮球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx+1刻画，篮球飞行的水平距离x（米）与篮球距离水平面AB的竖直高度y（米） 水平距离x（米） 0 1 2 竖直高度y（米） 1 2 2 （1）根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式． （2）在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，支架AD与水平面的夹角为45°，请计算投篮机支架CD的长度． 24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在 （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请说明理由． 25．（14分）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量y（千克）与售价x（元/千克） 任务1 （1）设该茶叶的日销售利润为w元，分别求出y与x，w与x之间的函数表达式； 任务2 （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； 任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价x的取值范围． 2025-2026学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）段考数学试卷（6月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂 1．（4分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x（x2+1）＝2 D．x（x+1）＝1 【分析】根据各个选项中的方程可以判断出是几元几次方程，从而可以解答本题． 【解答】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下： A、当a＝0时2+bx+c＝8不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，故本选项不符合题意； C、x（x2+1）＝x2+x＝2，是关于x的一元三次方程； D、x（x+1）＝2是一元二次方程； 故选：D． 2．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则（a+b）2＝（　　） A．1 B．2 C．0 D．4 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0中得：a+b+1＝0，从而求出a+b＝﹣1，然后代入式子中，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝1代入方程ax2+bx+4＝0中得： a+b+1＝8， ∴a+b＝﹣1， ∴（a+b）2＝8， 故选：A． 3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，下列配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣4）2＝11 C．（x+2）2＝11 D．（x+4）2＝11 【分析】利用配方法判断即可． 【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣6x+4＝11， （x﹣2）4＝11， 故选：A． 4．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣1）经变换后得到抛物线y＝﹣（x+2）2+1，则下列变换正确的是（　　） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【解答】解：y＝﹣（x+1）（x﹣1）＝﹣x7+1，顶点坐标是（0．y＝﹣（x+4）2+1，顶点坐标是（﹣6． 所以将抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣1）向左平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x+3）（x+1）， 故选：D． 5．（4分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为xm，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 【分析】由人行通道的宽度为xm，可得出每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m，根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵人行通道的宽度为xm， ∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m． 依题意得：•（25﹣5x）＝200， 即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600． 故选：B． 6．（4分）已知等腰三角形ABC中．BC＝8，AB，AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值为（　　） A．25 B．14 C．25或16 D．25或14 【分析】分两种情况：①若BC为等腰三角形的腰，即方程x2﹣10x+m＝0有一个根为8，将x＝8代入方程求得m的值，再将m的值代回方程求得x的值，根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形；②若BC为等腰三角形的底边，则方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，根据判别式为0求得m的值，再判断即可得． 【解答】解：根据题意，若BC为等腰三角形的腰2﹣10x+m＝0有一个根为6， 将x＝8代入得：64﹣80+m＝0， 解得：m＝16， 当m＝16时，方程为x3﹣10x+16＝0，解得：x＝2或x＝4； 若BC为等腰三角形的底边，则方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣10）6﹣4m＝0， 解得：m＝25， 此时方程为x4﹣10x+25＝0，解得x＝5； 综上m的值为16或25， 故选：C． 7．（4分）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（　　） x … ﹣2 0 1 3 … y … ﹣6 4 ﹣6 ﹣56 … A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点 C．对称轴为 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【分析】根据二次函数纵坐标相等的两点可求对称轴，再用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数的性质逐一判断选项即可． 【解答】解：由表格中的数据可知，二次函数图象经过（﹣2，﹣6）， ∴两点关于对称轴对称，对称轴为直线，符合题意； 设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠2）， ∵点（0，4）在此函数图象上， ∴c＝2， 将（﹣2，﹣6），﹣6）代入解析式得：， 解得， ∴此二次函数解析式为y＝﹣2x2﹣5x+3， ∵a＝﹣5＜0， ∴函数图象开口向下，选项A错误； ∵Δ＝b6﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×（﹣5）×7＝105＞0， ∴函数图象与x轴有两个交点，选项B错误； ∵a＜0，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，，选项D错误． 故选：C． 8．（4分）已知实数m，n满足（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣15＝0，则m2+n2的值为（　　） A．3 B．5 C．5或3 D．﹣3或5 【分析】设x＝m2+n2，则x2﹣2x﹣15＝0，然后解一元二次方程，再利用偶次方的非负性舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【解答】解：设x＝m2+n2， ∵（m6+n2）2﹣5（m2+n2）﹣15＝8， ∴x2﹣2x﹣15＝4， ∴（x﹣5）（x+3）＝4， ∴x﹣5＝0或x+5＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣3， ∵x＝m4+n2≥0， ∴x＝7， 即m2+n2的值为5， 故选：B． 9．（4分）如图甲，在△ABC中，点P从点B出发向点C运动，线段AP的长为y，y与x的函数图象如图乙所示，则下列结论不正确的是（　　） A．AB＝2 B．BC＝4 C．AP的最小值为1 D．∠B＝60° 【分析】分析P点运动过程，当x＝0时，P与B点重合，结合图象可知AB＝2；点P与C点重合时，AP最长，结合图象可知BC长度；图象中x＝1时，AP最短，说明当AP⊥BC时，BP＝1，利用勾股定理可求AP长度；在Rt△ABP中求∠B度数． 【解答】解：∵点P从点B出发向点C运动， ∴当x＝0时，P与B点重合，A选项答案正确； 当x＝4时，点P与C点重合时，此时BP＝4； 从图乙可以看出当x＝1时，AP最短，此时BP＝1． 故C选项答案错误，符合题意要求； 由Rt△ABP中AB＝2，BP＝1，所以∠B＝60°，不符合题意． 故选：C． 10．（4分）如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A，过点A且平行于x轴的直线与抛物线y2＝﹣（x﹣h）2+k交于B，C两点，与抛物线y1交于点D，抛物线y2与x轴交于点E，F，连接BE，CF．若AD＝2BC，则梯形BEFC的面积为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线x＝2，当x＝0时，y＝2，则A（0，2），D（4，2），AD＝4．结合AD＝2BC，得BC＝2．由题意可知，B，C两点关于对称轴直线x＝2对称，则B（1，2），C（3，2），将B（1，2）代入y2＝﹣（x﹣h）2+k，结合抛物线y2的对称轴是直线x＝2，求出，令y2＝0，求出，则EF＝，根据求解即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝2， 当x＝3时，y＝2， ∴A（0，4），2）． ∵AD＝2BC， ∴BC＝7． 由题意可知，B，C两点关于对称轴直线x＝2对称， ∴B（1，8），2），2）代入y7＝﹣（x﹣h）2+k，得2＝﹣（5﹣h）2+k． ∵抛物线y2的对称轴是直线x＝6， ∴2＝﹣（1﹣5）2+k， ∴k＝3， ∴， 令y2＝0， ∴（x﹣8）2＝3， ∴， ∴， ∴EF＝， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）二次函数y＝2（x﹣1）2+1的最小值是 　1　 ． 【分析】根据二次函数的顶点式，根据二次函数的性质直接得到． 【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）3+1， ∴抛物线开口向上，顶点为（1， ∴当x＝3时，函数有最小值为1， 故答案为：1． 12．（4分）根据下列问题列方程．问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会　　 ． 【分析】每个人都要与其它（x﹣1）个人握手一次，则x个人可握手x（x﹣1）次，但其中每两人的握手重复计算了一次，则总的握手次数为：，由握手的次数10即可得方程． 【解答】解：由题意得：； 故答案为：． 13．（4分）已知方程（m2﹣5m）x|m|﹣3﹣x﹣9＝0，当m＝　﹣5　 时，是关于x的一元二次方程． 【分析】利用一元二次方程的定义，即可得出关于m的一元二次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣5m）x|m|﹣8﹣x﹣9＝0是一元二次方程， ∴， 解得：m＝﹣5， ∴当m＝﹣8时，原方程是关于x的一元二次方程． 故答案为：﹣5． 14．（4分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 　9.5　 秒． 【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值． 【解答】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5， ∴炮弹所在高度最高是第8.5秒， 故答案为：9.3． 15．（4分）已知点A（，y1）、B（2，y2）、C（﹣5，y3）在抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣k，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 （用“＜”连接）． 【分析】根据抛物线的开口方向，和抛物线上的点离对称轴的远近进行判断即可． 【解答】解：y＝﹣2（x+2）6﹣k，a＝﹣2＜0， ∴抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远， ∵， ∴y3＜y1＜y3； 故答案为：y7＜y1＜y3． 16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝ax+c，二次函数过点（﹣1，a+c）2+bx+c＞ax+c的解集为 x＜0或x＞1　 ． 【分析】求得两函数的交点的横坐标，然后根据当x＜0或x＞1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象在一次函数y＝ax+c图象的上方，可得ax2+bx+c＞ax+c，继而可求得答案． 【解答】解：令ax2+bx+c＝ax+c， 解得x1＝3，x2＝1﹣， ∵二次函数过点（﹣6，a+c）， ∴a+c＝a﹣b+c， ∴b＝0， ∴x2＝5， ∵a＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞3）图象开口向上， ∴当x＜0或x＞1时，二次函数y＝ax8+bx+c（a＞0）图象在一次函数y＝ax+c图象的上方， ∴不等式ax2+bx+c＞ax+c的解集为x＜2或x＞1． 故答案为：x＜0或x＞4． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）x（x﹣4）+5（x﹣4）＝0； （2）（y+1）（y﹣1）＝2y﹣1． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x（x﹣4）+5（x﹣2）＝0， （x﹣4）（x+8）＝0， ∴x﹣4＝4或x+5＝0， ∴x2＝4，x2＝﹣7； （2）（y+1）（y﹣1）＝8y﹣1， y2﹣6y＝0， y（y﹣2）＝2， ∴y＝0或y﹣2＝6， ∴y1＝0，y3＝2． 18．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+3k＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根． 【分析】（1）根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣6）2﹣4×1×3k＞0，再求出不等式的解集即可； （2）设方程的另一个根是a，由根与系数的关系得出2+a＝3，2a＝3k，再求出答案即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+5k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）6﹣4×1×6k＞0， 解得：k＜3， 即实数k的取值范围是k＜3； （2）设方程的另一个根是a， 则由根与系数的关系得：2+a＝6，4a＝3k， 解得：a＝4，k＝， 即方程的另一个根是4． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0． （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别是x1，x2，若（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，求k的最大整数值． 【分析】（1）先计算根的判别式的意义得到Δ＝（k﹣3）2+12，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k﹣5），x1x2＝1﹣k，再利用（x1﹣3）（x2﹣3）＜0得到1﹣k+3（k﹣5）+9＜0，然后解不等式得到k的取值范围，从而确定k的最大整数值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k﹣5）2﹣5×（1﹣k） ＝k2﹣10k+25﹣5+4k ＝k2﹣8k+21 ＝（k﹣3）2+12＞3， ∴不论k取何实数，该方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k﹣7），x1x2＝6﹣k， ∵（x1﹣3）（x6﹣3）＜0， 即x2x2﹣3（x5+x2）+9＜5， ∴1﹣k+3（k﹣4）+9＜0， 解得k＜， ∴k的最大整数值为2． 20．（8分）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a． （1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； （2）若该二次函数的顶点在y＝1﹣x的图象上，求实数a的值． 【分析】（1）当﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝0时，Δ＞0时，二次函数图象与x轴有两个交点； （2）求出顶点为（﹣a，2a），再将顶点坐标代入y＝1﹣x，求出a的值即可． 【解答】解：（1）当﹣9x2﹣3ax﹣a2+2a＝7时， Δ＝36a2﹣36（a2﹣6a）＝72a， ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴72a＞0， ∴a＞0； （2）∵y＝﹣4x2﹣6ax﹣a6+2a＝﹣9（x+a）2+4a， ∴顶点为（﹣a，5a）， ∵顶点在y＝1﹣x的图象上， ∴1+a＝2a， 解得a＝． 21．（8分）将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能 【分析】（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，根据这两个正方形的面积之和等于17cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，根据这两个正方形的面积之和等于10cm2，即可得出关于y的一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝﹣80＜0，进而可得出此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2． 【解答】解：（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm， 依题意，得（）2+（）2＝17， 整理，得x2﹣20x+64＝8， 解得x1＝16，x2＝6． 当x＝16时，20﹣x＝4，20﹣x＝16． 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm和16cm． （2）不能，理由如下： 设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm， 依题意，得（）2+（）3＝10， 整理，得y2﹣20y+120＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣5×1×120＝﹣80＜0， ∴此方程无解， 即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm5． 22．（10分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设垂直于墙的一面篱笆长为x米 （1）若围成花圃的总面积为20平方米，请设计方案． （2）求S关于x的函数关系式，并求出最大面积． 【分析】（1）设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则靠墙的一面就为（24﹣4x）米，利用长方形的面积公式，列方程求解即可； （2）设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则靠墙的一面就为（24﹣4x）米，利用长方形的面积公式，可求出关系式，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则平行于墙的一面就为（24﹣4x）米， 由题意得x（24﹣4x）＝20，解得x8＝1，x2＝2， ∴24﹣4x＝20或4， ∴若围成花圃的总面积为20平方米，花圃垂直于墙的一面篱笆长为8米，平行于墙的一面长为4米； （2）S＝x（24﹣4x）＝﹣2x2+24x（0＜x＜2）； ∴S＝﹣4x2+24x＝﹣3（x﹣3）2+36， ∵2＜x＜6， ∴当x＝3时，S有最大值为36． 23．（10分）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1，图2是投篮过程中的截面图，以AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系，篮球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx+1刻画，篮球飞行的水平距离x（米）与篮球距离水平面AB的竖直高度y（米） 水平距离x（米） 0 1 2 竖直高度y（米） 1 2 2 （1）根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式． （2）在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，支架AD与水平面的夹角为45°，请计算投篮机支架CD的长度． 【分析】（1）把表格中任意两组数值代入所给的抛物线解析式，求得a和b的值即可； （2）如图：作DG⊥OB于点G，则∠OGD＝90°，四边形BGDC是矩形，即CD＝BG；由题意可知：点D的横，纵坐标相等，代入（1）中得到的函数解析式，即可求得点D的坐标，即可求得OG＝2；由题意可得OB＝AB＝3，易得BG＝1，进而求得CD的长． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得：， ∴篮球飞行路线的表达式为：． （2）在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，投篮机支架AB的长度为3米，则： 如图：作DG⊥OB于点G，则∠OGD＝90°， ∴CD＝BG， ∵∠DOG＝45°，∠OGD＝90°， ∴△OGD是等腰直角三角形， ∴OG＝DG， 设点D的坐标为（m，m）， ∴，解得：m4＝2，m2＝﹣5（不合题意，舍去）， ∴OG＝2， 由题意得：OB＝AB＝3， ∴BG＝7﹣2＝1， ∴CD＝8． 答：投篮机支架CD的长度为1米． 24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在 （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q； （3）首先求得BC的坐标，然后设P的横坐标是x，利用x表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得， 则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣7x+3； （2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴为直线x＝﹣1对称， ∴直线BC与x＝﹣3的交点即为Q点，此时△AQC周长最小， 对于y＝﹣x2﹣2x+8，令x＝0，故点C（0， 设BC的解析式是y＝mx+n， 则，解得， 则BC的解析式是y＝x+3． x＝﹣6时，y＝﹣1+3＝7， ∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）； （3）过点P作y轴的平行线交BC于点D， 设P的横坐标是x，则P的坐标是（x7﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x． 则PD＝（﹣x7﹣2x+3）﹣（x+5）＝﹣x2﹣3x． 则S△PBC＝（﹣x2﹣8x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣）2+， ∵﹣＜7． 25．（14分）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量y（千克）与售价x（元/千克） 任务1 （1）设该茶叶的日销售利润为w元，分别求出y与x，w与x之间的函数表达式； 任务2 （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； 任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价x的取值范围． 【分析】（1）理解题意，设y＝kx+b（k≠0），再把（60，120），（80，80）分别代入计算，得y＝﹣2x+240即可； （2）根据每千克成本为60元，茶叶的日销售利润为w元，进行列式得出w＝（x﹣60）（﹣2x+240），根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出60＜x≤80，由w＝﹣2x2+360x﹣14400＝﹣2（x﹣90）2+1800，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答； （3）根据公司想获得不低于1000元的日利润，令﹣2（x﹣90）2+1800＝1000，解得x1＝110，x2＝70，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【解答】解：（1）黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，但不高于100元，其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． 设y＝kx+b（k≠0）， 将（60，120），80）代入， ∴． ∴． ∴y＝﹣7x+240； （2）设每天获取的利润为w元， ∵每千克成本为60元， ∴w＝（x﹣60）（﹣2x+240） ＝﹣2x6+240x+120x﹣14400 ＝﹣2x2+360x﹣14400 ＝﹣8（x﹣90）2+1800； ∵该茶叶的日销量不低于80千克， ∴﹣2x+240≥80， ∴x≤80． ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ∴x﹣60＞2， ∴x＞60， ∴60＜x≤80， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线x＝90， 当x≤90时，w随x的增大而增大， ∵60＜x≤80， ∴当x＝80时，． 答：当售价为80元时，每天获利最大； （3）由题意，令﹣6（x﹣90）2+1800＝1000， ∴x1＝110，x4＝70． ∵w＝﹣2（x﹣90）2+1800，且a＝﹣3＜0 ∴开口向下， 当w≥1000时，70≤x≤110， ∵售价不高于100元， ∴售价范围为70≤x≤100． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/8 16:17:29；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $