精品解析：江西上饶市余干县沙港初级中学、育才学校等校2025-2026学年九年级中考素养提升一数学试题

九年级素养提升 数学（一） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】最接近标准重量的排球，其重量与标准重量差的绝对值最小，通过计算各差值的绝对值并比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，且， ∴标号为1的排球最接近标准重量． 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看到的图形是左视图，据此分析即可． 【详解】解：该几何体的左视图为： 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A， ， A错误； 选项B， ， B错误； 选项C，，等式左右相等， C正确； 选项D， ， D错误． 4. 如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，利用四边形的内角和得到，再细分成，再由三角形内角和得到，，代入运算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴整理可得：． 5. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数中，图象在第一、三象限，每个象限内随的增大而减小，根据点、的横坐标，分情况讨论的范围，即可判断和的大小及符号． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． 由题意得，点横坐标为，点横坐标为，满足 ， 分情况讨论： 当时， ，两点都在第三象限 ∵ 随增大而减小 ∴ ，选项B正确； 当时， ，在第三象限，在第一象限 ∴，选项C错误； 当时， ，两点都在第一象限 ∵随增大而减小 ∴，选项D错误； 由以上可知，不恒成立，选项A错误． 6. 已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由已知函数图象可得，，即得，进而可得二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上，据此判断即可求解，能从已知函数图象中获取有关信息是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，，， ∴， 把代入，得， ∴二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上， ∴符合题意的图象为选项， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 经测算，一粒芝麻的质量约为0.0000035千克，则将数据0.0000035用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 9. 如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【解析】 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 10. 已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合两个根互为倒数得到两根之积为，即可求出的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根分别为． 由根与系数的关系可得 ． ∵方程的两个根互为倒数， ∴，即． 11. 某校举行1分钟限时打字比赛，小康1分钟打的字数比小悦1分钟打的字数的2倍少10个，两人1分钟打的字数总和为95个．若设小康1分钟打的字数为x个，小悦1分钟打的字数为y个，则可列方程组为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题干信息找出两个等量关系，再根据设出的未知数列出对应的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据“小康1分钟打的字数比小悦1分钟打的字数的2倍少10个”，可得方程 ， 根据“两人1分钟打的字数总和为95个”，可得方程 ， 因此可列方程组为． 12. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方，再计算有理数的除法和乘法运算，最后进行减法运算即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式，， 解得； 解不等式，， 解得； 原不等式组的解集为． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式进行混合运算，化简后再代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，题目综合性较强，掌握分式的混合运算方法，灵活运用乘法公式是解决本题的关键． 15. 【课本呈现】 计算：． 【应用思考】 （1）设，则 ； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，再开方即可得到答案； （2）将化为，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【小问1详解】 解：∵， 又， ∴ ∴； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图是的正方形网格，的三个顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留必要的作图痕迹）． （1）请在图1中找到并标注的重心O； （2）请在图2中画出以为直角边的，使的面积与的面积相等（画出一种即可）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作、边的中线，交于点O，即为的重心O； （2）过点C作的平行线，再过点B或点A作这条平行线的垂线，垂足为D，则的面积与的面积相等． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 17. 如图，有四张点数分别为3，4，5，6的扑克牌． （1）从中任意抽取一张，“花色是梅花”的概率是 ； （2）从中任意抽取两张，请用列表或画树状图的方法分析并求出抽取的两张牌点数的和为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用“花色是梅花”的张数除以总张数即可； （2）根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与牌面上的数字和是偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵4张牌中“花色是梅花”的张数是2， ∴“花色是梅花”的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 3 4 5 6 3 4 5 6 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌点数的和为偶数的结果有4种：，，， （抽取的两张牌点数的和为偶数）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某科研考察队发现一棵巨树．为预估巨树的高度，该科研队利用无人机在距离地面米高的点A处，测得该树底端点B的俯角为，无人机向树的方向水平飞行秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为米/秒．计算这棵树的高度约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作地面于点，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据矩形的判定和性质得出米，，根据平行线的性质得出，结合锐角三角函数的定义求得米，求出米，结合锐角三角函数的定义求得米，即可求解． 【详解】解：过点作地面于点，交的延长线于点，如图， 根据题意可得，，米，， ∵，， ∴， 即， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵，， ∴， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 在中，，， 则（米）， ∴（米）． 故这棵树的高度约为米． 19. 如图，一次函数的图象经过点，交反比例函数（）的图象于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在轴的负半轴上，交反比例函数（）的图象于点，若，求的值． 【答案】（1）；（） （2） 【解析】 【分析】本题是考查反比例函数，一次函数和几何图形结合的综合题． （1）根据点，的坐标得到一次函数的表达式，根据点的坐标得到反比例函数的表达式． （2）根据，得到点是的中点，继而得到，将点代入反比例函数的表达式得到． 【小问1详解】 解：将点，的坐标代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数的表达式为， 将点代入反比例函数（），得， ∴反比例函数的表达式为（）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点，， ∴点， ∴点代入反比例函数的表达式，得：， ∴解得：． 20. 如图，点是边上一点，，以点为圆心，长为半径画圆，与相切于点，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． 与相切于点E， ． 又，，点在内部， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的判定定理证明，只需要说明点在内部，，，即可得证； （2）根据勾股定理可解得，又，可知，在中，利用勾股定理即可求解的长． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：，， ， ∵， ． ，， ， ， ， ． 在中，． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校为学生提供了营养午餐配送服务，为了解学生对不同营养午餐的喜好程度，学校进行了一次问卷调查，调查结果的数据统计如下表： 调查问卷试题 问卷调查结果 1．你选用的营养午餐种类 A餐（ ）B餐（ ）C餐（ ） 2．你对所选用营养午餐的评价 很喜欢（ ）一般（ ）不喜欢（ ） 营养午餐种类 很喜欢 一般 不喜欢 A餐 40 30 10 B餐 50 25 5 C餐 35 40 25 请根据以上数据，回答下列问题： （1）已知A餐“很喜欢”所占百分比是，请直接写出其他两种营养午餐“很喜欢”所占百分比；B餐 ，C餐 ； （2）若学校计划根据调查结果，以第（1）问中计算出的三种营养午餐“很喜欢”所占百分比的比例为新的供应比例进行调整，已知学校共有2950位学生选用营养午餐，则B餐应供应多少份更合适？ （3）为了进一步分析学生对营养午餐的喜好，学校还调查了学生对营养午餐口味的满意度评分（满分10分）．若A餐的平均评分为8.5分，B餐的平均评分为9分，C餐有20人评了10分，30人评了8分，其余人评了6分，请计算C餐的平均评分，并判断哪种营养午餐的口味满意度最高． 【答案】（1）， （2）B餐应供应1250份更合适 （3）C餐的平均评分为7.4分；比较三种营养午餐的平均评分，B餐的口味满意度最高 【解析】 【分析】（1）用很喜欢的人数除以各自问卷的总人数求解即可； （2）用样本估计总体的思路求解即可； （3）先根据加权平均数的计算方法求出餐的平均评分为7.4分，然后比较即可． 【小问1详解】 解：B餐“很喜欢”所占百分比是， C餐“很喜欢”所占百分比是； 【小问2详解】 解：（份）． 答：B餐应供应1250份更合适． 【小问3详解】 解：（人）， （人）， （分）， 餐的平均评分为7.4分． ∵， ∴B餐的口味满意度最高． 22. 已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． （1）求抛物线W经过的定点坐标； （2）将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 【答案】（1）抛物线W经过的定点坐标为和 （2）①a；② 【解析】 【分析】（1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． 【小问2详解】 解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或 ∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在等边中，点D是射线上的动点，连接，点E是的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接． 【夯实基础】 （1）连接，如图1，求证：； 【特例探究】 （2）如图2，若点E恰好在的延长线上，的延长线交于点G，求证：； 【拓展延伸】 （3）请利用备用图探究：在点D运动的过程中，当是直角三角形时，求与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或或．理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可证明是等边三角形．则可得到，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，，据此可证明结论； （2）证明，得到．由，得到，则，即． （3）分，，三种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接． 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形． ∵点E是的中点， ∴， ∴，， ∴，即． （2）由（1）可知， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 由（1）可知为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即． （3）或或．理由如下： ①如图2，当时， ∵， ∴， ∴点F在上． ∵，， ∴， ∴点D是BC的中点，即； ②如图3，当时， 作等边，过点M作于点H， ∵， ∴， ∴点F是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点C是的中点， 连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ③如图4，当时， 作等边，连接， 同理可证明， ∴，， ∴， ∵， ∴D、N、F三点共线， ∴， ∴，即． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级素养提升 数学（一） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 经测算，一粒芝麻的质量约为0.0000035千克，则将数据0.0000035用科学记数法表示为____________． 8. 分解因式：____________． 9. 如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 10. 已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 11. 某校举行1分钟限时打字比赛，小康1分钟打的字数比小悦1分钟打的字数的2倍少10个，两人1分钟打的字数总和为95个．若设小康1分钟打的字数为x个，小悦1分钟打的字数为y个，则可列方程组为____________． 12. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 【课本呈现】 计算：． 【应用思考】 （1）设，则 ； （2）化简：． 16. 如图是的正方形网格，的三个顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留必要的作图痕迹）． （1）请在图1中找到并标注的重心O； （2）请在图2中画出以为直角边的，使的面积与的面积相等（画出一种即可）． 17. 如图，有四张点数分别为3，4，5，6的扑克牌． （1）从中任意抽取一张，“花色是梅花”的概率是 ； （2）从中任意抽取两张，请用列表或画树状图的方法分析并求出抽取的两张牌点数的和为偶数的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某科研考察队发现一棵巨树．为预估巨树的高度，该科研队利用无人机在距离地面米高的点A处，测得该树底端点B的俯角为，无人机向树的方向水平飞行秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为米/秒．计算这棵树的高度约为多少米？（参考数据：，，） 19. 如图，一次函数的图象经过点，交反比例函数（）的图象于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在轴的负半轴上，交反比例函数（）的图象于点，若，求的值． 20. 如图，点是边上一点，，以点为圆心，长为半径画圆，与相切于点，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校为学生提供了营养午餐配送服务，为了解学生对不同营养午餐的喜好程度，学校进行了一次问卷调查，调查结果的数据统计如下表： 调查问卷试题 问卷调查结果 1．你选用的营养午餐种类 A餐（ ）B餐（ ）C餐（ ） 2．你对所选用营养午餐的评价 很喜欢（ ）一般（ ）不喜欢（ ） 营养午餐种类 很喜欢 一般 不喜欢 A餐 40 30 10 B餐 50 25 5 C餐 35 40 25 请根据以上数据，回答下列问题： （1）已知A餐“很喜欢”所占百分比是，请直接写出其他两种营养午餐“很喜欢”所占百分比；B餐 ，C餐 ； （2）若学校计划根据调查结果，以第（1）问中计算出的三种营养午餐“很喜欢”所占百分比的比例为新的供应比例进行调整，已知学校共有2950位学生选用营养午餐，则B餐应供应多少份更合适？ （3）为了进一步分析学生对营养午餐的喜好，学校还调查了学生对营养午餐口味的满意度评分（满分10分）．若A餐的平均评分为8.5分，B餐的平均评分为9分，C餐有20人评了10分，30人评了8分，其余人评了6分，请计算C餐的平均评分，并判断哪种营养午餐的口味满意度最高． 22. 已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． （1）求抛物线W经过的定点坐标； （2）将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在等边中，点D是射线上的动点，连接，点E是的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接． 【夯实基础】 （1）连接，如图1，求证：； 【特例探究】 （2）如图2，若点E恰好在的延长线上，的延长线交于点G，求证：； 【拓展延伸】 （3）请利用备用图探究：在点D运动的过程中，当是直角三角形时，求与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $