江苏南京市玄武区2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 以中国空间站生物研究、教育数字化等现实情境为载体，通过概率计算、几何探究、生活不等式等问题设计，融合抽象能力、推理意识与模型观念，实现知识巩固与素养提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|必然事件判断、因式分解、统计图表分析|结合生肖、手机销量等生活实例，考查数学眼光| |填空题|10/20|频率计算、面积估计、分式意义、梯形中点|融入二维码面积估计、调和数概念，体现应用意识| |解答题|11/88|统计推断、概率模型、菱形证明、不等式应用|26题以糖水浓度、饮水温度构建模型，培养数据观念；27题通过菱形动态探究，发展推理能力|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是必然事件的是(    ) A. 明天一定是晴天 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 个人中至少有两个人生肖相同 D. 任意买一张电影票，座位号是的倍数 【答案】C  【解析】解：选项事件是随机事件，不符合题意； B.选项事件是随机事件，不符合题意； C.选项事件是必然事件，符合题意； D.选项事件是随机事件，不符合题意． 故选：． 必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可． 本题考查了随机事件，倍数，掌握随机事件的定义是关键． 2.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意； B、将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C、是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意； D、的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义，不符合题意． 故选：． 根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的方法是关键． 3.图是某品牌手机年到月四个月的总销量统计图，图是该品牌的型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机年到月销售情况分析错误的是(    ) A. 该品牌手机到月共销售手机万台 B. 月型号手机销售了万台 C. 四个月型号手机的销量逐月增高 D. 四个月中月份型号手机的销量最高 【答案】C  【解析】解：根据折线统计图、条形统计图的信息逐项分析判断如下： 对于选项A：到月共销售手机：万台，故A正确，不符合题意； 对于选项B：月型号手机销售：万台，故B正确，不符合题意； 对于选项C：月型号手机销量：万台，月型号手机销量：万台，月型号手机销量：万台， ， 型号手机月份的销量低于月份，故C错误，符合题意； 对于选项D：， 四个月中，月份型号手机的销量最高，故D正确，不符合题意； 故选：． 结合两个统计图的信息，逐项判断即可． 本题考查了折线统计图、条形统计图，熟练掌握以上知识点是关键． 4.如图，四边形是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.数学的美无处不在数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐例如，三根弦的长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声，，研究，，这三个数的倒数发现：我们称，，这三个数为一组调和数现有一组调和数：，，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 6.用表示不超过的最大整数．例如：，，把作为的小数部分．已知，的小数部分是，的小数部分是，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义以及二次根式的混合运算，正确求出，的值是解题的关键． 利用分母有理化以及新定义求出，的值，再将所求代数式通分，并代入，求值即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 原式 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.王老师对两个班名学生报名参与课外兴趣小组的情况进行了统计每位学生必须且只能报一个项目，列出如下统计表，则这两个班报名参加科技小组的人数是        ． 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 【答案】．  【解析】解：由表格中的信息可得：这两个班报名参加科技小组的人数为人． 故答案为：． 根据频率分布表进行计算即可． 本题考查频率分布表，正确进行计算是解题关键． 8.近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝你蒙得都对”小明将二维码打印在边长为厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为            平方厘米． 【答案】．  【解析】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，  估计点落在黑色阴影的概率为，  估计此二维码中黑色阴影的面积为  故答案为：． 根据大量重复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率，解题的关键是掌握大量重复试验下频率的稳定值即为概率值． 9.分解因式：          ． 【答案】  【解析】略 10.如图，在中，点，分别是，的中点，交的延长线于点若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 11.若，则          ． 【答案】  【解析】，，． 12.写一个含有的分式，当时，分式无意义当时，分式的值为，则这个分式为          ． 【答案】答案不唯一  【解析】由题意得，满足题意的分式可以为． 13.如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，直线恰好将矩形分成面积相等的两部分那么          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，在梯形中，，，，，、分别为、的中点，则线段的长为          ． 【答案】  【解析】如图，过点作交于点，作交于点，则，，，，．，四边形、四边形为平行四边形，，，．、分别为、的中点，，，，，． 15.数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为          ． 【答案】或  【解析】分两种情况考虑：时，根据题意得，去分母得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意时，根据题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意综上，的值为或故答案为或． 16.如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 和 上，且 ，将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是 点 是 的中点，则 最大时 的值为          ． 【答案】  【解析】连接 交 于点，证明 ，得到 ，连接 ，求出 ，且 ，得到 ，则当 三点在同一直线上，设 交 于点，证明 ，得到 ，则 ，解得 ，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接 交 于点， 四边形 是矩形，  ，  ， ， 如图，连接 ， 点是 的中点，点是 的中点，  ， ，且 ，  ， 将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是  ，  ，且 ，  ， 当 三点在同一直线上，设 交 于点， 由折叠可得， ，  ，  ，  ， 解得 ，  ， 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17本小题分.计算： ； ． 【答案】解： ； ．  【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 先化简，再合并即可； 根据完全平方公式，二次根式混合运算法则进行计算即可． 18.本小题分解方程：． 【答案】．  【解析】解：方程变形可得， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解． 按照去分母，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程，然后检验即可． 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 19.本小题分 随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充某校为了解学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 了解学生最感兴趣的线上学习方式； 优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习． 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ A.同步在线阅读 B.名师在线听课 C.互动在线答疑 D.小组在线讨论 E.拓展类资源学习 调查结果 建议 请结合以上信息回答下列问题： 本次调查方式属于______调查填“普查”或“抽样”； 求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； 若该校共有名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ 请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议． 【答案】抽样  人，补全条形统计图如下：   名  该校应该设置在线阅读课程  【解析】解：调查方式为抽样调查． 故答案为：抽样； 对类学习方式感兴趣的人数为，占比， 故被调查的总人数为人， 对类学习方式感兴趣的人数为人， 则对类学习方式感兴趣的人数为人， 补全条形图如下： 选择在线答疑的学生人数为， 故该校喜欢在线答疑的学生人数为名． 根据调查数据可知，在所有在线学习方式中，学生对在线阅读最感兴趣，故该校应该设置在线阅读课程． 根据调查对象为“部分学生”，判断调查方式为抽样调查； 用已知的类人数和占比求出总人数，再依次算出、类人数，补全条形统计图； 用样本中选择在线答疑的学生人数占比，乘以全校总人数，估计出该校喜欢在线答疑的学生人数； 根据调查数据中最受欢迎的学习方式，提出合理的课程设置建议． 本题考查了条形统计图、用样本估算整体，熟练掌握以上知识点是关键． 20.本小题分 背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人类细胞． 素材：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇形区域内分别写上斑马鱼、水稻、涡虫、白鼠四个上过太空的生物． 素材：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称；小亮再转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习若指针指在分割线上，则重转 小明选择的生物是斑马鱼的概率为______； 已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 【答案】   【解析】解：小明转动一次转盘，共有种结果，其中是斑马鱼的结果只有种， 小明选择的生物是斑马鱼的概率为， 故答案为：； 从斑马鱼、水稻、涡虫、白鼠四个上过太空的生物中选择生物进行讨论，作树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中小明和小亮选择的生物均为动物的结果有种， 小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 根据概率公式解答即可； 画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 21.本小题分 已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 连接交于点，若，，求的长． 【答案】证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是菱形   【解析】证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是菱形； 解：如下图所示，连接，交于点， 设， ，， ，， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， ． 根据三角形中位线定理可知，，，可证≌，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形； 连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：，，由，可以求出，可证∽，根据相似三角形的性质可知，所以可得，即可求出的长度． 本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22.本小题分 初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． 分组分解法： 例如：． 拆项法： 例如：． 仿照以上方法，按照要求分解因式： 分组分解法； 拆项法； 因式分解的综合运用： 已知：、、为的三条边，，则的周长为______； 已知：、、为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】；  ；是等边三角形， ， 将等式两边同乘得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得，，， 即， 因此是等边三角形  【解析】解：原式 ； 原式 ； 、、为的三条边，， ， ， ，，， ，，， ，，， ， ，，三边能构成三角形， 因此三角形周长为． 是等边三角形，理由如下： ， ， ， ，，， 即， 因此是等边三角形． 读懂题意，利用分组法分解因式； 读懂题意，利用拆项法分解因式； 把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再求和即可； 把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 23.本小题分 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为台公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的倍先由甲、乙两个车间共同生产完成台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用天完成这批订单任务． 求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； 首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的倍，要使这天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】甲车间每天生产台智能机器人，乙车间每天生产台智能机器人  要使这天的生产总量最大，应安排甲车间生产天，乙车间生产天  【解析】解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲车间每天生产台智能机器人，乙车间每天生产台智能机器人． 设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这天的生产总量为台， 根据题意列一次函数得，， ， 随的增大而增大． 安排甲车间生产的天数不超过乙车间的倍， 根据题意列一元一次不等式得，， 整理得，， 解得， 由于天数不能为负数， 当时，取得最大值，此时． 答：要使这天的生产总量最大，应安排甲车间生产天，乙车间生产天． 设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． 设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 24.本小题分 问题情境： 学习实数之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式阅读观察下列算式，探求规律： ． 实践探究： 按照此规律： 计算：______； 第个式子是______；用含的式子表示，且为正整数 直接写出结果：______； 迁移应用： 计算：． 【答案】     【解析】解：根据题意，可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少，那么； 第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：；； 原式 ； 故答案为：； 原式 ． 可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少，从而得出答案； 第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； 根据得到的规律化简每一个根式，再计算乘法即可； 先计算每一个根式，再计算乘法． 本题考查了实数的运算、数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键． 25.本小题分 请用无刻度直尺完成下列作图要求：保留作图痕迹，不写作法． 如图，点是菱形边上的一点求作边上的点，使； 如图，点是菱形边上一点，连接，，求作，使，且点在边上． 【答案】解：如图，点为所求；    四边形是菱形，  ，，  ，  ，  ≌，  ；  如图，为所求；    四边形是菱形，  ，，，  ，  ≌，  ，  又，，  ≌，  ，  ，  ，即，  ，，，  ≌，  ．  【解析】解：如图，点为所求；    四边形是菱形，  ，，  ，  ，  ≌，  ；  如图，为所求；    四边形是菱形，  ，，，  ，  ≌，  ，  又，，  ≌，  ，  ，  ，即，  ，，，  ≌，  ． 连接、于点，作射线交于点，则；  连接、交于点，作射线交于点，连接，则． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26.本小题分 综合与实践 请根据以下素材，完成探究任务． 生活中的不等式 素材 一杯糖水，如果再向其中加入一些糖，糖水变得更甜．小明想用数学知识解释“更甜”，他整理如下：设原来的糖水总质量是克，其中含糖克，则糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，即；再向糖水中加糖克，则糖水的浓度变为，则只要比较与的大小，就可以解释“更甜”． 素材 某商店有甲、乙两种糖果，单价分别为元千克和元千克．现有甲种糖果千克，小明想通过加入乙种糖果来调控混合后糖果的平均单价． 素材 科学表明，健康饮水的适宜温度是如图是某品牌饮水机的相关信息：注：开水和温水混合后的温度为：开水体积温水体积混合后的总体积 探究任务 任务：请帮助小明完成说理过程． 任务：请判断混合后的平均单价是否一定低于元千克？并说明理由． 任务：小明有一个容量为的水杯．他先打开温水出口接水秒，再打开开水出口接水秒，恰好接满杯子，使得水温在健康饮水的适宜温度内．请你设计分配接水时间的方案即或的取值范围，并说明理由． 【答案】(1)－​​​​​​​＝ ＝ ＝ ＝ ∵，， ∴，， ∴＝， ∴， 答：向糖水中加糖克（）糖水“更甜”；   (2)是，理由：设加入乙种糖果千克， 则混合后的平均单价为：（元/千克） ∵， ∴，， ∴，即， 答：混合后的平均单价一定低于14元/千克；   (3)，或． 理由：温水体积是毫升，开水体积毫升，， 则混合后水温为， 由题意得 ∴， 或者混合后水温为， 由题意得 ∴， 综上所述，，或．   【解析】  糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，计算出加糖前和加糖后的糖水浓度，二者作差，然后比较哪一个“更甜”；   甲、乙两种糖果的总价甲、乙两种糖果的总重量混合糖果的单价，计算出加入乙种糖果前和加入乙种糖果后的混合糖果单价，二者作差，然后比较哪一个单价高；   由开水和温水混合后的温度为：开水体积温水体积混合后的总体积，计算出混合后水温并化简整理，健康饮水的适宜温度是，则有，或，即可计算出，的取值范围． 27.本小题分 【问题提出】 如图，点是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 先将问题特殊化，如图，当时，求的度数； 再探究一般情形，如图，求的度数；用含的代数式表示【问题拓展】 如图，当，时，若点为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1)解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ．   (2)解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， .   (3)解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴， ∴.   【解析】  过点作交的延长线于，证明即可得出结论．  在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．  过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点由知，，通过证明，进一步可得答案． 第21页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是必然事件的是(    ) A. 明天一定是晴天 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 个人中至少有两个人生肖相同 D. 任意买一张电影票，座位号是的倍数 2.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 3.图是某品牌手机年到月四个月的总销量统计图，图是该品牌的型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机年到月销售情况分析错误的是(    ) A. 该品牌手机到月共销售手机万台 B. 月型号手机销售了万台 C. 四个月型号手机的销量逐月增高 D. 四个月中月份型号手机的销量最高 4.如图，四边形是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 5.数学的美无处不在数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐例如，三根弦的长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声，，研究，，这三个数的倒数发现：我们称，，这三个数为一组调和数现有一组调和数：，，，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.用表示不超过的最大整数．例如：，，把作为的小数部分．已知，的小数部分是，的小数部分是，则的值为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.王老师对两个班名学生报名参与课外兴趣小组的情况进行了统计每位学生必须且只能报一个项目，列出如下统计表，则这两个班报名参加科技小组的人数是        ． 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 8.近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝你蒙得都对”小明将二维码打印在边长为厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为            平方厘米． 9.分解因式：          ． 10.如图，在中，点，分别是，的中点，交的延长线于点若，，则的长为          ． 11.若，则          ． 12.写一个含有的分式，当时，分式无意义当时，分式的值为，则这个分式为          ． 13.如图，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，直线恰好将矩形分成面积相等的两部分那么          ． 14.如图，在梯形中，，，，，、分别为、的中点，则线段的长为          ． 15.数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为          ． 16.如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在 和 上，且 ，将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是 点 是 的中点，则 最大时 的值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ； ． 18.本小题分解方程：． 19.本小题分 随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充某校为了解学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 了解学生最感兴趣的线上学习方式； 优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习． 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ A.同步在线阅读 B.名师在线听课 C.互动在线答疑 D.小组在线讨论 E.拓展类资源学习 调查结果 建议 请结合以上信息回答下列问题： 本次调查方式属于______调查填“普查”或“抽样”； 求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； 若该校共有名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ 请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议． 20.本小题分 背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人类细胞． 素材：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇形区域内分别写上斑马鱼、水稻、涡虫、白鼠四个上过太空的生物． 素材：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称；小亮再转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习若指针指在分割线上，则重转 小明选择的生物是斑马鱼的概率为______； 已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 21.本小题分 已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 连接交于点，若，，求的长． 22.本小题分 初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． 分组分解法： 例如：． 拆项法： 例如：． 仿照以上方法，按照要求分解因式： 分组分解法； 拆项法； 因式分解的综合运用： 已知：、、为的三条边，，则的周长为______； 已知：、、为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 23.本小题分 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为台公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的倍先由甲、乙两个车间共同生产完成台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用天完成这批订单任务． 求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； 首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的倍，要使这天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 24.本小题分 问题情境： 学习实数之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式阅读观察下列算式，探求规律： ． 实践探究： 按照此规律： 计算：______； 第个式子是______；用含的式子表示，且为正整数 直接写出结果：______； 迁移应用： 计算：． 25.本小题分 请用无刻度直尺完成下列作图要求：保留作图痕迹，不写作法． 如图，点是菱形边上的一点求作边上的点，使； 如图，点是菱形边上一点，连接，，求作，使，且点在边上． 26.本小题分 综合与实践 请根据以下素材，完成探究任务． 生活中的不等式 素材 一杯糖水，如果再向其中加入一些糖，糖水变得更甜．小明想用数学知识解释“更甜”，他整理如下：设原来的糖水总质量是克，其中含糖克，则糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，即；再向糖水中加糖克，则糖水的浓度变为，则只要比较与的大小，就可以解释“更甜”． 素材 某商店有甲、乙两种糖果，单价分别为元千克和元千克．现有甲种糖果千克，小明想通过加入乙种糖果来调控混合后糖果的平均单价． 素材 科学表明，健康饮水的适宜温度是如图是某品牌饮水机的相关信息：注：开水和温水混合后的温度为：开水体积温水体积混合后的总体积 探究任务 任务：请帮助小明完成说理过程． 任务：请判断混合后的平均单价是否一定低于元千克？并说明理由． 任务：小明有一个容量为的水杯．他先打开温水出口接水秒，再打开开水出口接水秒，恰好接满杯子，使得水温在健康饮水的适宜温度内．请你设计分配接水时间的方案即或的取值范围，并说明理由． 27.本小题分 【问题提出】 如图，点是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 先将问题特殊化，如图，当时，求的度数； 再探究一般情形，如图，求的度数；用含的代数式表示【问题拓展】 如图，当，时，若点为边的中点，请求出的面积． 第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7. ．  8. ．  9.   10.   11.   12. 答案不唯一  13.   14.   15. 或  16.   17. 解： ； ．  18. ．  19. 抽样  人，补全条形统计图如下：   名  该校应该设置在线阅读课程  20.    21. 证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是菱形   22. ；  ；是等边三角形， ， 将等式两边同乘得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得，，， 即， 因此是等边三角形  23. 甲车间每天生产台智能机器人，乙车间每天生产台智能机器人  要使这天的生产总量最大，应安排甲车间生产天，乙车间生产天  24.      25. 解：如图，点为所求；    四边形是菱形，  ，，  ，  ，  ≌，  ；  如图，为所求；    四边形是菱形，  ，，，  ，  ≌，  ，  又，，  ≌，  ，  ，  ，即，  ，，，  ≌，  ．  26. 【小题】 ，， ，， ， ， 答：向糖水中加糖克糖水“更甜”； 【小题】 是，理由：设加入乙种糖果千克， 则混合后的平均单价为：元千克 ， ，， ，即， 答：混合后的平均单价一定低于元千克； 【小题】 ，或． 理由：温水体积是毫升，开水体积毫升，， 则混合后水温为， 由题意得 ， 或者混合后水温为， 由题意得 ， 综上所述，，或．   27. 【小题】 解：过点作交的延长线于， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 菱形， ， ， ， ． 【小题】 解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． 菱形，， ，， ，， ． ， ． 【小题】 解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点． 由得：， ， 菱形，，点为边的中点， ，， ，， 同理：， ，， ，， ，，， ， 结合可得：， ， ， ， ．   【解析】 1. 解：选项事件是随机事件，不符合题意； B.选项事件是随机事件，不符合题意； C.选项事件是必然事件，符合题意； D.选项事件是随机事件，不符合题意． 故选：． 必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可． 本题考查了随机事件，倍数，掌握随机事件的定义是关键． 2. 解：、是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意； B、将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C、是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意； D、的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义，不符合题意． 故选：． 根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的方法是关键． 3. 解：根据折线统计图、条形统计图的信息逐项分析判断如下： 对于选项A：到月共销售手机：万台，故A正确，不符合题意； 对于选项B：月型号手机销售：万台，故B正确，不符合题意； 对于选项C：月型号手机销量：万台，月型号手机销量：万台，月型号手机销量：万台， ， 型号手机月份的销量低于月份，故C错误，符合题意； 对于选项D：， 四个月中，月份型号手机的销量最高，故D正确，不符合题意； 故选：． 结合两个统计图的信息，逐项判断即可． 本题考查了折线统计图、条形统计图，熟练掌握以上知识点是关键． 4. 略 5. 略 6. 【分析】 本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义以及二次根式的混合运算，正确求出，的值是解题的关键． 利用分母有理化以及新定义求出，的值，再将所求代数式通分，并代入，求值即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 原式 故选：． 7. 解：由表格中的信息可得：这两个班报名参加科技小组的人数为人． 故答案为：． 根据频率分布表进行计算即可． 本题考查频率分布表，正确进行计算是解题关键． 8. 解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，  估计点落在黑色阴影的概率为，  估计此二维码中黑色阴影的面积为  故答案为：． 根据大量重复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率，解题的关键是掌握大量重复试验下频率的稳定值即为概率值． 9. 略 10. 略 11. ，，． 12. 由题意得，满足题意的分式可以为． 13. 略 14. 如图，过点作交于点，作交于点，则，，，，．，四边形、四边形为平行四边形，，，．、分别为、的中点，，，，，． 15. 分两种情况考虑：时，根据题意得，去分母得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意时，根据题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意综上，的值为或故答案为或． 16. 连接 交 于点，证明 ，得到 ，连接 ，求出 ，且 ，得到 ，则当 三点在同一直线上，设 交 于点，证明 ，得到 ，则 ，解得 ，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接 交 于点， 四边形 是矩形，  ，  ， ， 如图，连接 ， 点是 的中点，点是 的中点，  ， ，且 ，  ， 将矩形 沿 折叠，点，的对应点分别是  ，  ，且 ，  ， 当 三点在同一直线上，设 交 于点， 由折叠可得， ，  ，  ，  ， 解得 ，  ， 17. 本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 先化简，再合并即可； 根据完全平方公式，二次根式混合运算法则进行计算即可． 18. 解：方程变形可得， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解． 按照去分母，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程，然后检验即可． 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 19. 解：调查方式为抽样调查． 故答案为：抽样； 对类学习方式感兴趣的人数为，占比， 故被调查的总人数为人， 对类学习方式感兴趣的人数为人， 则对类学习方式感兴趣的人数为人， 补全条形图如下： 选择在线答疑的学生人数为， 故该校喜欢在线答疑的学生人数为名． 根据调查数据可知，在所有在线学习方式中，学生对在线阅读最感兴趣，故该校应该设置在线阅读课程． 根据调查对象为“部分学生”，判断调查方式为抽样调查； 用已知的类人数和占比求出总人数，再依次算出、类人数，补全条形统计图； 用样本中选择在线答疑的学生人数占比，乘以全校总人数，估计出该校喜欢在线答疑的学生人数； 根据调查数据中最受欢迎的学习方式，提出合理的课程设置建议． 本题考查了条形统计图、用样本估算整体，熟练掌握以上知识点是关键． 20. 解：小明转动一次转盘，共有种结果，其中是斑马鱼的结果只有种， 小明选择的生物是斑马鱼的概率为， 故答案为：； 从斑马鱼、水稻、涡虫、白鼠四个上过太空的生物中选择生物进行讨论，作树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中小明和小亮选择的生物均为动物的结果有种， 小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 根据概率公式解答即可； 画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 21. 证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是菱形； 解：如下图所示，连接，交于点， 设， ，， ，， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， ． 根据三角形中位线定理可知，，，可证≌，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形； 连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：，，由，可以求出，可证∽，根据相似三角形的性质可知，所以可得，即可求出的长度． 本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22. 解：原式 ； 原式 ； 、、为的三条边，， ， ， ，，， ，，， ，，， ， ，，三边能构成三角形， 因此三角形周长为． 是等边三角形，理由如下： ， ， ， ，，， 即， 因此是等边三角形． 读懂题意，利用分组法分解因式； 读懂题意，利用拆项法分解因式； 把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再求和即可； 把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 23. 解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲车间每天生产台智能机器人，乙车间每天生产台智能机器人． 设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这天的生产总量为台， 根据题意列一次函数得，， ， 随的增大而增大． 安排甲车间生产的天数不超过乙车间的倍， 根据题意列一元一次不等式得，， 整理得，， 解得， 由于天数不能为负数， 当时，取得最大值，此时． 答：要使这天的生产总量最大，应安排甲车间生产天，乙车间生产天． 设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． 设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 24. 解：根据题意，可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少，那么； 第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：；； 原式 ； 故答案为：； 原式 ． 可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少，从而得出答案； 第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； 根据得到的规律化简每一个根式，再计算乘法即可； 先计算每一个根式，再计算乘法． 本题考查了实数的运算、数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键． 25. 解：如图，点为所求；    四边形是菱形，  ，，  ，  ，  ≌，  ；  如图，为所求；    四边形是菱形，  ，，，  ，  ≌，  ，  又，，  ≌，  ，  ，  ，即，  ，，，  ≌，  ． 连接、于点，作射线交于点，则；  连接、交于点，作射线交于点，连接，则． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26.   糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，计算出加糖前和加糖后的糖水浓度，二者作差，然后比较哪一个“更甜”；   甲、乙两种糖果的总价甲、乙两种糖果的总重量混合糖果的单价，计算出加入乙种糖果前和加入乙种糖果后的混合糖果单价，二者作差，然后比较哪一个单价高；   由开水和温水混合后的温度为：开水体积温水体积混合后的总体积，计算出混合后水温并化简整理，健康饮水的适宜温度是，则有，或，即可计算出，的取值范围． 27.   过点作交的延长线于，证明即可得出结论．  在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．  过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点由知，，通过证明，进一步可得答案． 第2页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是必然事件的是() A.明天一定是晴天 B.车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C.13个人中至少有两个人生肖相同 D.任意买一张电影票，座位号是3的倍数 2.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2+2xy+y2=(x+y)2 C.(x+2)(x+3)=x2+5x+6 D.y2-2y+3=yy-2)+3 3.图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图， 下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是() 某品牌2025年第四季度销售统计图 某品牌A型号手机销量占比统计表 销量（万台） 个百分比 300 年年中年中”▣中车 30% 25% 200 200 20% 80. 120 15% 100 100 10%… 2% 10% 0 0% 9月10月11月12月月份 9月10月11月12月月份 图1 图2 A.该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B.10月A型号手机销售了20万台 C.四个月A型号手机的销量逐月增高 D.四个月中12月份A型号手机的销量最高 第1页，共10页 4.如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB,EB⊥AB,AD=AC,BE=BC,连接CD,CE,若AC·BC=5, 则图中阴影部分的面积为() D E A.4 B.5 C.6 D.8 5.数学的美无处不在数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的 几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦的长度之比是15：12：10， 把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do,mi,so.研究15,12,10这三个数 1.11.1 的倒数发现2-5=10-12我们称15,12,10这三个数为一组调和数现有一组调和数七，8,5(x>8), 则x的值是() A.5 B.10 C.15 D.20 6.用[x]表示不超过x的最大整数.例如3.14=3，[-3.78]=-4，把x-[x]作为x的小数部分.己知m= 1 2-3:m的小数部分是a,-m的小数部分是b,则后-的值为() A.0 B.1 C.-1 D.3+1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.王老师对两个班80名学生报名参与课外兴趣小组的情况进行了统计（每位学生必须且只能报一个项目）， 列出如下统计表，则这两个班报名参加科技小组的人数是 组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组 频率 0.1 0.2 0.25 0.25 0.2 8.近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参 与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝 你蒙得都对”.小明将二维码打印在边长为3厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内 随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的 面积为 平方厘米 第2页，共10页 9.分解因式：a2(x-y)+4b2y-x)=- 10.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，FD1AB交CB的延长线于点F.若AF=3,CF=7, 则DE的长为 C E D B 11.若0≤x≤1，则√2+√x-1)2= 12.写一个含有x的分式，当x=1时，分式无意义；当x=2时，分式的值为0，则这个分式为一· 13.如图，在直角坐标系中，矩形0ABC的顶点B的坐标为(12,5)，直线y=+b恰好将矩形0ABC分成面积 相等的两部分.那么b=一· 1B12.5) A 14.如图，在梯形ABCD中，AB/CD,LA+∠B=90°，CD=7,MN=11,M、N分别为AB、CD的中点， 则线段AB的长为 D M 15.数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比 为1512：10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do,mi,so.研究 1111 15,12,10这三个数的倒数发现：2-5=0-12此时我们称15,12,10为一组调和数，现有三个数： 6,4,x(x>4),若要组成调和数，则x的值为· 第3页，共10页 16.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E,F分别在AD和BC上，且AE=CF,将矩形ABCD沿 EF折叠，点A,B的对应点分别是A,B,点P是BC的中点，则A'P最大时EF的值为一 B----- 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)计算： (1V西-46+-： (2)6+1)2-V2·(3+√2). 18(体小题6分)解方程：年号+=1. 19.(本小题8分) 随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充某校为了解 学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣” 的调查，形成调查报告如下： 第4页，共10页 调查目1.了解学生最感兴趣的线上学习方式： 的 2优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习. 调查方 调查对象 部分学生 式 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ 4.同步在线阅读 调查内B.名师在线听课 容 C.互动在线答疑 D.小组在线讨论 E.拓展类资源学习 学生最感兴趣线上学习方式条形统计图 +人数人 学生最感兴趣线上学习方式扇形统计图 120 15% 25% 调查结 E 90 72 80 果 60 D 60 2 30 C 0 A B D E 类型 建议 请结合以上信息回答下列问题： (1)本次调查方式属于调查（填“普查”或“抽样”）： (2)求本次被调查的总人数，并补全条形统计图： (3)若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ (4)请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议. 第5页，共10页 20.(本小题8分) 背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人 类细胞， 素材1：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇 形区域内分别写上A斑马鱼、B水稻、C涡虫、D.白鼠四个上过太空的生物. 素材2：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称：小亮再转动一次转盘，转 盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习.（若 指针指在分割线上，则重转) (1)小明选择的生物是A斑马鱼的概率为 (2)已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均 为动物的概率. A斑马鱼 B.水稻 C.涡虫 D.白鼠 21.(本小题8分) 己知△ABC,LACB=90°，点D,E分别是AB,BC的中点，过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F,连 接BF (1)求证：四边形CDBF是菱形： (2)连接AE交CD于点H,若LCAE=45°，CF=V10,求EH的长， D B 第6页，共10页 22.(本小题8分) 初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分 组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用 ①分组分解法： 例如：x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2). ②拆项法： 例如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3), (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x-y2+1: ②拆项法)x2-6x-16: (2)因式分解的综合运用： ①已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,则△ABC的周长为__： ②已知：a、b、c为△ABC的三条边，满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试确定△ABC的形状，并说明 理由 23.(本小题8分) 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400 台.公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍.先由甲、乙两 个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务. (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人： (2)首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间 生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如 何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 第7页，共10页 24.(本小题8分) 问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式阅读观察下列算式，探求规律： 、-店-品-第言 实践探究： (1)按照此规律： @计算：1- 100= ②第n个式子是 ；(用含n的式子表示，且n为正整数) 7 (2)直接写出结果： 89 迁移应用： 7 9 91 (3)计算： 1+4×1+g×1+6×…×1+2025 25.(本小题8分) 请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）. AE D AE D 图1 图2 (1)如图1，点E是菱形ABCD边AD上的一点求作BC边上的点H,使CH=AE; (2)如图2，点E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE,BC,求作LCBG,使∠CBG=∠ABE,且点G在CD边上. 26.(本小题10分) 第8页，共10页 综合与实践 请根据以下素材，完成探究任务 生活中的不等式 杯糖水，如果再向其中加入一些糖，糖水变得更甜.小明想用数学知识 解释“更甜”，他整理如下：设原来的糖水总质量是α克，其中含糖b克(a 素材1 >b>0),则糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，即？：再向 糖水中加糖克0m>0),则糖水的浓度变为。十分 b+nb 则只要比较。+n与。的大 小，就可以解释“更甜”. 某商店有甲、乙两种糖果，单价分别为14元/千克和10元/千克.现有甲种 素材2 糖果10千克，小明想通过加入乙种糖果来调控混合后糖果的平均单价. 科学表明，健康饮水的适宜温度是35。C40。C.如图是某品牌饮水机的相 开水 温水 开水 温水 水流速度 水流速度 关信息：15ml/s 20ml/s注：开 素材3 100℃ 30℃ 水和温水混合后的温度为：（开水体积×100。C+温水体积×30。C)÷混 合后的总体积 探究任务 (1)任务1：请帮助小明完成说理过程. (2)任务2：请判断混合后的平均单价是否一定低于14元/千克？并说明理由， (3)任务3：小明有一个容量为700ml的水杯.他先打开温水出口接水t1秒，再打开开水出口接水t2秒，恰好 接满杯子，使得水温在健康饮水的适宜温度内.请你设计分配接水时间的方案（即t1或t2的取值范围），并说 明理由， 27.(本小题10分) 第9页，共10页 【问题提出】 如图1，点E是菱形ABCD边BC上的一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF,∠AEF=∠ABC=(a≥90)， AF交CD于点G,探究LFCG与的数量关系， D G B E 图1 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当a=90。时，求LFCG的度数： 图2 (2)再探究一般情形，如图1，求LFCG的度数：（用含a的代数式表示）【问题拓展】 (3)如图3，当a=120。,AB=4时，若点E为边BC的中点，请求出△CFG的面积. D G B 图3 第10页，共10页