专题03勾股定理基础与几何综合期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题03勾股定理基础与几何综合期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记勾股定理及逆定理内容、公式与适用条件，掌握定理的面积法证明。 2.识记常见勾股数，能准确判定勾股数。 3.理清定理与逆定理的互逆关系，区分定理计算、逆定理判定的不同用法。 4.掌握勾股定理在网格、折叠、最短路径、实际情境中的基础知识点。 1.能在直角三角形中完成已知两边求第三边的计算，熟练进行公式变形运用。 2.会用逆定理判断三角形是否为直角三角形，完成简单几何推理与证明。 3.学会构造直角三角形，解决图形折叠、线段求值、最短路径等几何综合问题。 4.初步建立方程思想、转化思想，解决勾股定理相关中档几何题型。 1.基础题零失误，熟练解答定理计算、勾股数判断、简单判定类选择、填空题。 2.规范书写解答题步骤，准确完成直角三角形计算、几何证明类大题。 3.攻克折叠、动点、实际应用等高频综合考点，减少审题、边长判断类易错点。 4.能综合运用勾股定理结合其他几何知识，应对期末中档及压轴题型。 题型01.用勾股定理理解三角形 题型02.直角三角形三边的图形面积 题型03.勾股定理与网格问题 题型04.勾股定理与折叠问题 题型05.勾股定理求线段平方和差 题型06勾股定理证明线段平方关系 题型07.勾股定理的证明方法 题型08.以弦图为背景的计算题 题型09.勾股定理构造图形解决问题 题型10.勾股定理与无理数 题型11.勾股定理与动点问题 题型12.勾股定理与最值问题 题型13.勾股定理规律探究题 题型14.勾股定理面积综合题 题型15.勾股定理与平移问题 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点04:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点05:两类特殊直角三角形（常考） 三角形类型 内角度数 三边比值 重要结论 等腰直角三角形 90、45、45 1:1: 两直角边相等 含30直角三角形 90、60、30 1::2 30角对的直角边=斜边 知识点06:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点07:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 . 题型01.用勾股定理理解三角形 1．在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵在中，，且为斜边， ∴， ∴． 2．如图，在中，，于，，，则为___． 【答案】6 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 3．如图，在中，，，，点在上，点在上，且，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，进而证明，用勾股定理解和，联立得出，代入数值计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 设，则， 在中，，， 在中，，， ， 即， 解得， 即线段的长为． 4．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)等边三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的特点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，则，在结合三角形内角和定理得，即可确定的形状； （2）根据（1）可推得，根据直角三角形的特点得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 则为等边三角形； （2）解：由（1）可知，为等边三角形， 则，即为的中点， ∵垂直平分，即点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的周长为． 题型02.直角三角形三边的图形面积 5．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 6．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 7．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及二次根式的混合运算进行求解． 【详解】解：∵四边形、四边形和四边形都是正方形， 根据对称性可得两块阴影部分的面积相等， ∵， ∴由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为． 8．阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． (1)如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． (2)如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)，理由见解析 【分析】（1）如图①，，可得；如图②，，故得．如图③，如图，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ； （2）如图④，，可证得． 【详解】（1）解：如图①，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图②，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图③，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得， ∴；   故图①②③中面积关系满足的有3个． （2）解：，理由如下： 如图④，    ， ． ∵由勾股定理得， ∴， ∵， ∴． 题型03.勾股定理与网格问题 9．如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是________． 【答案】a 【分析】本题考查了无理数的定义，网格与勾股定理．先根据网格与勾股定理进行列式，求出每条边的长度，再分析每条边长度是不是无理数，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵都是有理数，是无理数， ∴的三边，，中边长是无理数的是a， 故答案为：a 10．如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，由网格可证，所以，由，从而求得，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（    ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用填充法算出的面积，即正方形的面积减去，和的面积和，再利用勾股定理算出的长度，利用面积法列方程，即可解决． 【详解】解：如图，作于点， 小正方形边长为， ，， ∴， 同理，，， 正方形的面积为：， ∴， 在中，， ∵， ∴ 题型04.勾股定理与折叠问题 12．如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 【答案】 【分析】设 ，根据折叠性质可得 ， ，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 线段的长是． 14．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和“”，易得，从而，再根据角之间的关系，可得，设，由线段之间的关系易求，，，，最后根据勾股定理，可得，，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 15．如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 题型05.勾股定理求线段平方和差 16．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 17．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 18．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 19．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型06勾股定理证明线段平方关系 20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 21．如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、三角形中线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形中线的性质是解题的关键． 由三角形中线的性质得出，，再证，然后由勾股定理得出，推出，即可得出答案． 【详解】解：的面积为13，的面积为4， ， 为的中线， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故选：C． 22．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 题型07.勾股定理的证明方法 23．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 24．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A：∵， 整理得：， ∴此选项不符合题意； B：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； C：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； D：∵， ∴此选项符合题意. 故选：D. 25．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 题型08.以弦图为背景的计算题 26．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 27．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【答案】54 【分析】根据勾股定理结合完全平方公式，求出的值即可. 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 28．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】（1）44；（2）2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解二元一次方程组． （1）设直角三角形的两直角边为，斜边为．根据题意以及勾股定理可得，根据小正方形的面积是4，得出，即可求解． （2）根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设直角三角形的两直角边为，斜边为． ∵图1中大正方形的面积是24， ． ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积为． （2）把代入得 ， ，得． 题型09.勾股定理构造图形解决问题 29．跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于D，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图， 过点A作于D，则， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 30．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 31．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 题型10.勾股定理与无理数 32．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 33．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，得，结合图形得点表示的数． 【详解】解：由题意得，在中，，， ， 以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点， ， 点表示的数是． 34．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 35．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 题型11.勾股定理与动点问题 36．如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意当时，分点在点的上方或点在点的下方两种情况，然后分别画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当时，且点在点的上方，如图所示： ∵，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； 当时，且点在点的下方，如图所示： 同理可得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 37．如图，在平面内，线段为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为_____．    【答案】 【分析】先得到点C运动的路径为线段，点E运动的路径为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，    由题意可知点C运动的路径为线段，点E运动的路径为， 由平移的性质可知， 在中， ，， ． 38．如图，等腰直角中，，D为中点，P为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；作点关于的对称点，连接、，由轴对称可知：，，，得出，，即为最小值，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接、， 由轴对称可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时取最小值， ∴． 39．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】（1）根据勾股定理构建方程求解即可； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 题型12.勾股定理与最值问题 40．如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，， 根据对称性可得， 当点P运动至与点重合时，的值最小， 即． ， ， ． ， ． 在中，， 的最小值为． 41．如图，在中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】A 【分析】先作垂直交于点M，再作，根据角平分线的性质即可找到动点M和N，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N， ∵平分， ∴， ∴． 由垂线段最短知，此时有最小值，为的长． ∵在中，，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为2.4． 42．如图，在等边中，，是上中线，点D在上，连接，以为边作等边，连接，则周长的最小值是（     ）　 A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】连接，首先证明点E在射线上运动，，作点A关于直线的对称点M，连接交于，连接，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，即可得出答案 【详解】解：如图，连接， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵是上中线， ∴，， ∴ ∴点E在射线上运动（）． 作点A关于直线的对称点M，连接交于，连接， 即有：， ∴， 当F、E、M三点共线时，有最小值，最小为， 根据图形可知：当点E与点重合时，满足要求， 此时的值最小，最小为, 则有最小， 即周长的最小值，最小值为：， 根据对称性可知， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 周长的最小值为：﹒ 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性较强．确定点E在射线上运动（），是解答本题的关键． 43．如图，在中，，，，D，E分别是，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据直角三角形的性质求出的长及的度数，设，则，，过点作于，在中，表示出和，进而表示出，在中利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形求出最小值即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 设， ， ， ， 过点作于， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴ 有最小值， 的最小值为． 题型13.勾股定理规律探究题 44．如图，在中，，．过点C作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；……，则第2026次操作后，的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算，确定其中的规律，求解即可； 【详解】解：因为，． 所以， 因为，且， 故， 因为，且， 故， 因为，且， 故， ……， 故， 则第2026次操作后，的长为 45．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________． 【答案】/0.125 【分析】根据题意求出正方形的面积，利用勾股定理求出与，同理找出后面等腰直角三角形的斜边与的关系，最后直接代入求值． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 由题意知：三角形是等腰直角三角形，且， ∴，即，， 同理可得，， 根据规律可知：， ∴． 46．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 【详解】解：， 以此类推，可得 ． 题型14.勾股定理面积综合题 47．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形A、B、C的边长为、、，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长为、、， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， ∴正方形C的面积为． 48．如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形勾股定理，通过两个已知正方形的面积求出，再开方得到正方形的边长． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， ，即正方形的边长是． 49．如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，当时，正方形的顶点G恰好落在边上，则正方形的面积是________． 【答案】 【分析】过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5． 50．已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：如图，由题意可得：，，过作于，交于，证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，由题意可得：当，，，过作于，交于， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积是． 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 综上：的面积为或或． 题型15.勾股定理与平移问题 51．如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 将沿方向平移得到，点是的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 52．小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含角的直角三角尺的斜边可与含角的直角三角尺的较长直角边完全重合（如图①），即的顶点，分别与的顶点，重合．现在，将沿射线的方向平移个单位长度使边经过点，若，则________． 【答案】/ 【分析】过点作，垂足为，求出，利用勾股定理求出，然后利用三线合一得到，同理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，， ∴， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ∴， ， ∴． 53．点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】先求出动点运动所在直线的解析式，得到运动方向的直线的，再求出点平移所在直线的解析式，设出点的坐标，利用平移距离结合两点间距离公式列方程，求解即可得到点的坐标． 【详解】解：由动点，消去参数得所在直线解析式为， 可知运动方向与点平移方向相同，因此点平移所在直线， 设点平移所在直线解析式为，将代入得 ， 解得， 因此点平移所在直线解析式为． 设，由平移距离为，根据两点间距离公式得 ， 整理得 ，即， 解得或. 当时，，此时； 当时，，此时． 54．如图，在中，，，把沿着的方向移动到点D处，得到，其中点D是三个内角的平分线交点，、与边的交点分别为G、H，其中，则重叠部分的周长为______． 【答案】/ 【分析】由平移的性质知，，，利用三角形的外角性质求得，推出，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是三个内角的平分线交点， ∴， 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理基础与几何综合期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记勾股定理及逆定理内容、公式与适用条件，掌握定理的面积法证明。 2.识记常见勾股数，能准确判定勾股数。 3.理清定理与逆定理的互逆关系，区分定理计算、逆定理判定的不同用法。 4.掌握勾股定理在网格、折叠、最短路径、实际情境中的基础知识点。 1.能在直角三角形中完成已知两边求第三边的计算，熟练进行公式变形运用。 2.会用逆定理判断三角形是否为直角三角形，完成简单几何推理与证明。 3.学会构造直角三角形，解决图形折叠、线段求值、最短路径等几何综合问题。 4.初步建立方程思想、转化思想，解决勾股定理相关中档几何题型。 1.基础题零失误，熟练解答定理计算、勾股数判断、简单判定类选择、填空题。 2.规范书写解答题步骤，准确完成直角三角形计算、几何证明类大题。 3.攻克折叠、动点、实际应用等高频综合考点，减少审题、边长判断类易错点。 4.能综合运用勾股定理结合其他几何知识，应对期末中档及压轴题型。 题型01.用勾股定理理解三角形 题型02.直角三角形三边的图形面积 题型03.勾股定理与网格问题 题型04.勾股定理与折叠问题 题型05.勾股定理求线段平方和差 题型06勾股定理证明线段平方关系 题型07.勾股定理的证明方法 题型08.以弦图为背景的计算题 题型09.勾股定理构造图形解决问题 题型10.勾股定理与无理数 题型11.勾股定理与动点问题 题型12.勾股定理与最值问题 题型13.勾股定理规律探究题 题型14.勾股定理面积综合题 题型15.勾股定理与平移问题 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点04:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点05:两类特殊直角三角形（常考） 三角形类型 内角度数 三边比值 重要结论 等腰直角三角形 90、45、45 1:1: 两直角边相等 含30直角三角形 90、60、30 1::2 30角对的直角边=斜边 知识点06:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点07:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 . 题型01.用勾股定理理解三角形 1．在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 2．如图，在中，，于，，，则为___． 3．如图，在中，，，，点在上，点在上，且，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 题型02.直角三角形三边的图形面积 5．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 6．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 7．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． (1)如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． (2)如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 题型03.勾股定理与网格问题 9．如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是________． 10．如图所示的网格为正方形网格，则______． 11．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（    ） . A． B． C． D． 题型04.勾股定理与折叠问题 12．如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 14．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 15．如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 题型05.勾股定理求线段平方和差 16．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 17．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 18．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 19．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 题型06勾股定理证明线段平方关系 20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 21．如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 22．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 题型07.勾股定理的证明方法 23．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 24．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C．D． 25．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 题型08.以弦图为背景的计算题 26．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 27．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 28．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 题型09.勾股定理构造图形解决问题 29．跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（    ） A． B． C． D． 30．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 设寸， 31．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型10.勾股定理与无理数 32．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 33．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 34．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 35．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 题型11.勾股定理与动点问题 36．如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 37．如图，在平面内，线段为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为_____．    38．如图，等腰直角中，，D为中点，P为上一个动点，则的最小值为______． 39．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 题型12.勾股定理与最值问题 40．如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 42．如图，在等边中，，是上中线，点D在上，连接，以为边作等边，连接，则周长的最小值是（     ）　 A． B． C． D．6 43．如图，在中，，，，D，E分别是，上的动点，且，则的最小值为______． 题型13.勾股定理规律探究题 44．如图，在中，，．过点C作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；……，则第2026次操作后，的长为（       ） A． B． C． D． 45．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________． 46．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 题型14.勾股定理面积综合题 47．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 48．如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 49．如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，当时，正方形的顶点G恰好落在边上，则正方形的面积是________． 50．已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 题型15.勾股定理与平移问题 51．如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 52．小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含角的直角三角尺的斜边可与含角的直角三角尺的较长直角边完全重合（如图①），即的顶点，分别与的顶点，重合．现在，将沿射线的方向平移个单位长度使边经过点，若，则________． 53．点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______． 54．如图，在中，，，把沿着的方向移动到点D处，得到，其中点D是三个内角的平分线交点，、与边的交点分别为G、H，其中，则重叠部分的周长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $