精品解析：安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量测评数学试题A卷

安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量测评数学试题A卷 命题人：屈金涛 审题人：王露杰 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （7.2.2导改） 1. 若复数满足（i为虚数单位），则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则． 2. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. （9.1.2导改） 3. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． （6.2.4导改） 4. 已知，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 因为,所以， 所以， 因为，所以. 5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得，根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可 【详解】设球的半径及圆锥的底面半径均为， 圆锥的母线长为， 则，所以， 球的体积为，圆锥的高， 圆锥的体积为， 所以圆锥的体积与球的体积的比值为． 故选：C． （6.4.3限） 6. 在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得， 根据余弦定理得，即， 所以的周长为． （6.3限改） 7. 已知向量，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意知，，则， ，则不成立，A错误； ，，则与不平行，B错误； ，，则不成立，C错误； ，则， 则， 又，，D正确． 8. 如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案. 【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， 因为，平面，平面， 所以， 因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分， 所以，， 所以且， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（ ） A. 平均数为 B. 方差为 C. 标准差为 D. 极差为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案. 【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 10. 设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 C. 若，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及模长公式可判断选项；由点的坐标为，可得，代入方程，解方程即可判断选项；根据模长公式，模长为1，举出反例即可判断选项；根据复数的几何意义可判断对应的图形为圆环，求出圆环面积即可判断选项. 【详解】解：设复数，则在复平面内对应点为， 选项，因为，， 所以与不一定相等，错误； 选项，由点坐标为，则，所以， 化简整理得，则，解得，， 所以，正确； 选项，当时，，错误； 选项，由，， 根据复数的几何意义可知，表示圆心为内半径长为，外半径长为的圆环， 所以圆环面积，正确. 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． （教材习题6.3改） 12. 定义平面斜坐标系xOy，记分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标．已知A，B的斜坐标分别为，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 所以， ， 所以 ， 因此. （教材练习题） 13. 过所在平面外一点，作平面ABC，垂足为，连接PA，PB，PC．若，，垂足都为，则点是的____________心． 【答案】垂 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面,得到，再由平面ABC推得，进而证得平面,即得，同理可得，从而得出结论. 【详解】因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，，则点是的垂心． 14. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值 【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，， 即 则， 当且仅当时取到等号； 故答案为 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （9.2.3导改） 15. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【答案】（1）0.01 （2）中位数为78，平均数为76.5 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出的值； （2）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为0.5可得中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得. 【小问2详解】 由（1）知.因此各组的频率分别为， 对应这100名学生各组的人数分别为10，20，25，35，10， 各组的组中值分别为55，65，75，85，95， 则， 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为. 由可得中位数位于[70，80]中间，设为， 则，即中位数为78. 16. 已知向量满足，． （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量模长公式计算求解； （2）先求出与同向的单位向量，再由同向向量与单位向量方向一致结合求出的坐标； （3）利用模长公式求出，进而求出，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 已知，则． 【小问2详解】 与同向的单位向量为， 已知， ． 【小问3详解】 ，解得， ， ． （教材知识点） 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）证明余弦定理：． （2）证明正弦定理：． 【答案】（1），即， 即，即． （2）当为直角三角形时，不妨设为直角， 则， 成立， 当为锐角三角形时，则B，C为锐角， 如图，过点作与垂直的单位向量，则， 由，则有， 即，即， 即， 同理，过点作与垂直的单位向量，可得， 因此有，； 当为钝角三角形时，不妨设为钝角，仿照上述方法同理可得，； 综上，对于任意，有． 【解析】 【分析】（1）利用向量减法表示三角形的边，再对等式两边同时取模长的平方，进而证明结论； （2）分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况，结合向量投影法证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 19. 在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. （1）求证:. （2）若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定与性质推导平面平面，可得，结合为直角三角形推出平面，可知垂直平分，即可证得. （2）①由面面垂直的判定定理得平面平面，过作可得平面，结合，可知即为与平面所成角，结合已知边长计算即可得所求正弦值. ②利用线面角的几何意义，点到平面的距离等于线段的长度乘以与平面所成角的正弦值，代入数据计算即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. ，分别为的中点，. 又平面，平面， 平面. 平面，，平面， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 在中，，，， ，， ，又，， 平面，又平面，. 又∵是中点，∴垂直平分, ∴. 【小问2详解】 由（1）可知，平面，平面，平面平面. 如图，过点作，为垂足，则平面， 为与平面所成的角. 在等边中，， 在中，由，可得， ， 又，与平面所成角的大小为，即正弦值为. ②设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 则由①可知， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量测评数学试题A卷 命题人：屈金涛 审题人：王露杰 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （7.2.2导改） 1. 若复数满足（i为虚数单位），则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 （9.1.2导改） 3. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 （6.2.4导改） 4. 已知，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ） A. B. C. D. （6.4.3限） 6. 在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. （6.3限改） 7. 已知向量，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（ ） A. 平均数为 B. 方差为 C. 标准差为 D. 极差为 10. 设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 C. 若，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． （教材习题6.3改） 12. 定义平面斜坐标系xOy，记分别为轴、轴正方向上的单位向量．若，则称为的斜坐标．已知A，B的斜坐标分别为，则_______________． （教材练习题） 13. 过所在平面外一点，作平面ABC，垂足为，连接PA，PB，PC．若，，垂足都为，则点是的____________心． 14. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （9.2.3导改） 15. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 16. 已知向量满足，． （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角的余弦值． （教材知识点） 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）证明余弦定理：． （2）证明正弦定理：． 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 19. 在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. （1）求证:. （2）若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $