安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知单位向量a,b的夹角为60°,则(a-b)·a= A. B. C. D.1 2.在复平面内,复数z=(m+2)+(m2-m-2)i对应的点在第二象限,则实数m的取值范围为 A.(-2,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(-1,2) D.(-1,+∞) 3.在△ABC中,C=30°,b=2,c=x.若满足条件的△ABC有且只有两个,则x的取值范围是 A.(1,) B.(1,2) C.(0,) D.(0,2) 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=16,则△ABC外接圆的半径为 A.4 B.2 C.8 D.16 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,b=2,a2+c2=3ac,则△ABC的面积为 A.2 B. C. D. 6.在△ABC中,G为重心,AC=4,BG=2,则·= A.4 B.5 C.6 D.7 7.已知向量a=(1,0),b=,,若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为 A. B.1 C. D. 8.在锐角△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,底边a与以其为底边的高长度相等,则tan Atan Btan C的最小值为 A. B.16 C.10 D.12 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为锐角,2sin2A-cos 2A=0,a=2,c=2,则 A.sin A= B.cos A= C.b=8 D.b=6 10.已知复数z满足(1+i7)z=5+i,是z的共轭复数,则下列结论正确的是 A.z的实部与虚部之积为-4 B.z的共轭复数为2-3i C.z在复平面内对应的点在第三象限 D.|z-2|= 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin C+cos C=1-sin.若a2+b2=4(a+b)-8,则 A.sin C= B.cos B= C.a=2 D.c=+1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知复数z满足(z-1)i=1-i,则z=　　　　.  13.设向量a·b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则a·b=　　　　.  14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=6,S△ABC=3,asin C=ccosA+,则a=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(1,3),b=(3x-1,x+1),c=(5,7),且(a+b)∥(a+c). (1)求|b|; (2)若c=ma+nb,求m+n的值. 16.(15分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=b+c. (1)求角C的大小; (2)若c=2,边AB的中点为D,求中线CD的长度的取值范围. 17.(15分)在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,∠BAD=,E为CD的中点,=λ(0≤λ≤1). (1)若·=-,求实数λ的值; (2)求·的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=sinx-+m,将y=f(x)的图象的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且y=g(x)在区间,上的最小值为1. (1)求m的值; (2)在锐角△ABC中,若g=,求tan A+tan B的取值范围. 19.(17分)在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转所得的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*). (1)将复数z=-1+i表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式,化简:(-1+i)11. 参考答案 1.C　由a·b=1×1×cos 60°=,则(a-b)·a=1-=. 2.B　因为复数z=(m+2)+(m2-m-2)i在复平面内对应的点在第二象限, 所以解得m<-2,所以m的取值范围为(-∞,-2). 3.B　当bsin C<c<b时,能构成的三角形有两个,故c的取值范围为(1,2). 4.C　设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得===2R,所以==2R=16,解得R=8,所以△ABC外接圆的半径为8. 5.D　由题意,b2=a2+c2-2accos B=2ac=8,所以ac=4, 则S△ABC=acsin B=ac=. 6.B　如图所示,设AC的中点为D.∵G为△ABC的重心,且BG=2,∴BD=3,DA=2.∵=+,=+=-, ∴·=(+)·(-)=-=9-4=5. 7.C　∵a=(1,0),b=,,∴a2=b2=1,a·b=. ∴|u|=|a+tb|===,当t=-时,|u|取得最小值. 8.A　由a=bsin C,得sin A=sin Bsin C,则sin(B+C)=sin Bsin C,故sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bsin C.因为B,C为锐角三角形的内角,所以cos Bcos C≠0,所以tan B+tan C=tan Btan C,而tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C==tan Btan C-1++2,因为B,C为锐角三角形的内角,所以tan B>0,tan C>0,故tan Btan C=tan B+tan C≥2,故tan Btan C≥4.由对勾函数的性质可得tan Btan C-1+≥,当且仅当tan Btan C=4时等号成立,故tan Atan Btan C的最小值为. 9.AC　由题意得2sin2A+2sin2A-1=0,即4sin2A=1.因为A为锐角,所以sin A=,A=,结合余弦定理,可得cos A==,即b2-6b-16=0,解得b=8.故选AC. 10.BD　由(1+i7)z=5+i,得z====2+3i.对于A,复数z的虚部为3,实部为2,实部与虚部之积为6,故A项错误; 对于B,z的共轭复数为2-3i,故B项正确; 对于C,z在复平面内对应的点为(2,3),位于第一象限,故C项错误; 对于D,z-2=2+3i-2(2-3i)=-2+9i,∴|z-2|=|-2+9i|=,故D项正确. 11.BCD　由sin C+cos C=1-sin,得2sincos+1-2sin2=1-sin, ∴2sincos-2sin2+sin=0.∵C∈(0,π),∴∈0,,∴sin>0,∴2cos-2sin+1=0,即sin-cos=,∴sin-cos2=1-2sincos=1-sin C=,∴sin C=.又sin-cos>0,∴∈,,则C∈,π,∴cos C=-=-.由a2+b2=4(a+b)-8,得a2-4a+4+b2-4b+4=(a-2)2+(b-2)2=0,∴解得a=2,b=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8-8×-=8+2=(+1)2,∴c=+1,则cos B==. 12.-i　∵(z-1)i=1-i,∴z=+1=-i. 13.3　∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴(a+b)2=16　①,(a-b)2=4　②. 由①-②得a·b=3. 14.2　因为asin C=ccosA+,所以sin Asin C=sin CcosA+. 因为0<C<π,所以sin C≠0,所以sin A=cosA+=cos A-sin A, 即sin A=cos A,所以tan A=.因为0<A<π,所以A=, 所以S△ABC=bcsin A=×6c×=c=3,所以c=2.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=62+(2)2-2×6×2×=12,所以a=2. 15.解:(1)由题意得,a+b=(3x,x+4),a+c=(6,10). 因为(a+b)∥(a+c),所以30x=6x+24,解得x=1,故|b|==2. (2)c=ma+nb=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7), 即解得故m+n=3. 16.解:(1)因为=b+c×,所以=+, 即===.又因为A,B∈0,,所以sin A≠0,cos B≠0,所以tan C=1,因为C∈0,,所以C=. (2)由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4,又=(+), 则=(+)2=(++2·)=(a2+b2+ab)=(4+2ab)=1+ab. 由正弦定理可得===2,所以a=2sin A, b=2sin B=2sin-A=2cos A+2sin A, 所以ab=4sin2A+4sin Acos A=4×+2sin 2A=4sin2A-+2,由题意得解得<A<,则2A-∈,,所以sin2A-∈,1,所以ab∈(4,4+2], 则∈(5,3+2],故中线CD的长度的取值范围为(,+1]. 17.解:(1)在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,∠BAD=,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),D(3,0),B(1,),C(4,),又E为CD的中点,所以E,,因为=λ,所以F(3λ,0),则=(3λ-1,-). 因为·=-,所以×(3λ-1)+×(-)=-,解得λ=. (2)由=-3λ,,所以·=(3λ-1)·-3λ-=-9λ2+λ-5=-9λ-2+. 因为0≤λ≤1,所以当λ=时,·取得最大值,当λ=0时,·取得最小值-5,故·的取值范围是-5,. 18.解:(1)将函数f(x)=sinx-+m的图象的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=sin2x+-+m=sin2x++m. ∵x∈,,∴2x+∈,,则当x=时,g(x)取得最小值,g(x)min=-+m=1,∴m=. (2)∵g=sinC++=,∴sinC+=,∵△ABC为锐角三角形,∴C∈0,,则<C+<,∴C+=,得C=.tan A+tan B=+=====. ∵△ABC是锐角三角形,∴解得<A<, ∴<2A-<,<sin2A-≤1,则tan A+tan B≥=4+2. 19.解:(1)由题意得,当z=-1+i时,r=2,θ=,故z=2cos+isin. (2)(-1+i)11=2cos+isin11=211cos+isin. ∵cos=cos7π+=-cos=-,sin=sin7π+=-sin=-, ∴211cos+isin=211--i=-1 024-1 024i, 故(-1+i)11=-1 024-1 024i. ( 第 7 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $