精品解析：2026年河南驻马店市泌阳县中考第三次学性自测数学试题

河南省2026年学业水平诊断 数 学 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入14元 B. 支出3元 C. 支出18元 D. 支出10元 2. 一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（    ） A. B. C. D. 3. “学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是（ ） A. 不 B. 思 C. 则 D. 罔 4. 如图，，交、于点、，若点是的平分线与的平分线的交点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列单项式与进行加减运算后，结果仍为单项式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. 按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 8. 生物学实验中，为了测试小白鼠的穿越迷宫能力，小明选了两只小白鼠进行测试，如图是某迷宫的部分通行路线示意图，小白鼠从入口进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则两只小白鼠从迷宫的南面出口跑出的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人同时同地出发进行跑步锻炼，他们的路程与时间关系的图象如图所示，则由图象可知（ ）． A. 甲的速度大于乙的速度 B. 前内乙的速度始终大于甲的速度 C. 第时甲、乙的速度相同 D. 前内甲乙之间的距离先变大后变小 10. 如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值__________． 13. 为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图，若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为，则，，的大小关系为______（用“<”号连接）． 14. 如图1，扇形中，，，点C为弧上一点，以为对角线构造正方形，点D，E分别在，上．如图2，将正方形沿方向平移得到正方形，若点恰好为中点时，则图中阴影部分面积为________． 15. 如图，中，，，，点P在边上，且，将线段绕点P旋转得到线段，点A的对应点为点Q，若点Q恰好落在的边上，则长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 期末考试后，教务处刘老师随机抽取了七年级两个班各20名同学历史成绩进行统计分析成绩如下（百分制）： 七（1）班：66 88 99 100 79 94 87 86 98 84 100 90 98 98 96 92 91 91 68 77 七（2）班：68 96 92 97 98 100 83 100 90 93 99 69 96 96 87 94 76 86 99 75 刘老师对上述成绩进行整理、描述数据： 频数分数段班级 七（1）班 2 2 a 12 七（2）班 2 2 3 13 分析数据： 统计量年级 平均数 中位数 众数 七（1）班 89.1 91 c 七（2）班 89.7 b 96 根据上述数据，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）该校七年级共12个班，每班人数均为50人，请估算在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数； （3）在这次期末考试中，你认为以上两班中哪个班学生的历史成绩较好，并说明理由． 18. 如图，为的圆内接三角形，延长到． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹），交于点； （2）若经过点的直线为的切线，交于点，求证：． 19. 如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 20. 如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆和一把呈南北方向固定摆放的与标杆垂直的长尺． 在数学综合实践课上，某同学受圭表构造的启发，制作了一个测高仪，如图所示．激光头可以发射激光，沿方向射出，处有一个游标可以自由移动，光线恰好通过游标孔射出．使用时，底座水平放置，铅锤高线始终保持与底座垂直．从底座上读出的长度及的高度，再在地面进行相关测量即可通过所学知识求得被测物体的高度． 如图，用测高仪测量某楼宇的高度，测高仪底座水平放置，激光头发射激光恰好通过游标孔照射到楼宇的最高点处．经测量，激光头距地面，距楼宇的水平距离为，测高仪上为，高为，且，，，，，，在同一平面内．请计算楼宇的高度．（结果精确到） 21. 某公司准备购买一批树木绿化办公区域，经市场调研，购买1棵白玉兰和2棵银杏树需550元，购买2棵白玉兰和3棵银杏树需900元． （1）求白玉兰和银杏树的单价． （2）公司规定购买白玉兰的数量不超过购买银杏树数量的，两种树共购买200棵．设购买白玉兰的数量为x棵，花费的总费用为y元． ①求y关于x的函数解析式； ②如何购买可使公司的花费最少？求出最少购买金额． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）点P为抛物线上任意一点，将点P向下平移6个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，直接写出点P的坐标． 23. 定义：在凸四边形中，若对角互补，且至少有一组邻边相等时，我们称这个四边形为“奋进四边形”． （1）请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形________； （2）如图，正方形中，点为上不与，重合的一个动点，与交点为，，垂足为点，交于点，连接． ①判断四边形是否为“奋进四边形”，若是，请证明，若不是，请说明理由； ②若，请求出的周长； （3）在（2）的条件下，若四边形也是“奋进四边形”，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2026年学业水平诊断 数 学 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入14元 B. 支出3元 C. 支出18元 D. 支出10元 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的加减进行计算，最后根据结果的正负，即可求解． 【详解】解：依题意， 即支出3元， 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数的应用，有理数的加减运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 2. 一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法－原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．把的小数点向左移动6位即可求解． 【详解】解：，这个数用小数表示为． 故选：C． 3. “学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是（ ） A. 不 B. 思 C. 则 D. 罔 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体表面展开图中相对面的位置关系，解题关键是依据相对面之间相隔一个正方形这一规律来判断。 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，这一特点作答即可． 【详解】解：学与罔相对，而与思相对，不与则相对， 故选：D． 4. 如图，，交、于点、，若点是的平分线与的平分线的交点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先过点作，根据角平分线的性质推，，再根据平行的性质推出，最后根据平行公理的推论推出，可得，代入即可求解． 【详解】如图，过点作， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 5. 下列单项式与进行加减运算后，结果仍为单项式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项的概念，合并同类项，只有同类项与进行加减运算后结果仍为单项式，需判断各选项中的单项式是否与是同类项． 【详解】解：∵同类项的定义是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式 ∴选项中只有与是同类项 ∴与加减运算后结果为或，仍为单项式 而A、B、C选项中的单项式与所含字母或相同字母的指数不同，不是同类项，加减后结果为多项式， 故选：D． 6. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°， ∴OA=AB=2， ∴OB=， ∵点E、F分别为AO、AB的中点， ∴EF为△AOB的中位线， ∴EF=OB=． 故选D． 7. 按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别观察单项式中的指数和系数分母的变化规律，得到第个单项式的一般形式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知单项式： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； ； ∴第个单项式为； 将代入得：． 8. 生物学实验中，为了测试小白鼠的穿越迷宫能力，小明选了两只小白鼠进行测试，如图是某迷宫的部分通行路线示意图，小白鼠从入口进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则两只小白鼠从迷宫的南面出口跑出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列表得出所有的情况数，再根据概率公式求解即可，两只小白鼠从迷宫的南面出口跑出的概率． 【详解】解：列表如下： 鼠2 鼠1 如上表所示，两只小白鼠从迷宫跑出共有种等可能的情况，两只都从从南面跑出有种 ，则两只小白鼠从迷宫的南面出口跑出的概率． 9. 甲、乙两人同时同地出发进行跑步锻炼，他们的路程与时间关系的图象如图所示，则由图象可知（ ）． A. 甲的速度大于乙的速度 B. 前内乙的速度始终大于甲的速度 C. 第时甲、乙的速度相同 D. 前内甲乙之间的距离先变大后变小 【答案】D 【解析】 【分析】在图像中，可知乙做匀速直线运动，甲做变速运动，根据图像读出甲、乙两物体在前和第后通过的路程关系，根据比较甲、乙的速度关系以及甲乙之间的距离关系． 【详解】解：选项A，根据图像可以看出，乙做匀速直线运动，甲做变速运动，前期甲的速度小于乙的速度，后期甲的速度大于乙的速度，故A不符合题意； 选项B，由图像可知甲、乙两人在内通过的路程相等，由可知，前内甲、乙两人的平均速度相等，根据乙的速度是不变的，甲的速度是慢慢增加的，所以不能判断前内乙的速度始终大于甲的速度，故B不符合题意； 选项C，由图像可知甲、乙两人在的时候相遇，由可知，前内甲、乙两人的平均速度相等，但不等于第时甲、乙的速度相同，故C不符合题意； 选项D，由图象可知甲、乙之间的距离先越来越大，后越来越小，在第5秒时，甲、乙相遇，距离为零，故D符合题意． 10. 如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转判断出，，，推出，再过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、，推断出当三点共线时，即有最小值，即有最小值，然后根据对称求出点的坐标，根据解直角三角形求出点坐标，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 如图，过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵点与点关于轴的对称，点， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点， ∵设直线的解析式为：， 代入、， 即，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当时，， ∴点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过数轴来表示胸外心脏按压速度（单位：次 ）的取值范围，需要我们根据数轴上的信息准确确定的取值范围．本题考查数轴与不等式的关系这一知识点．解题关键在于准确理解数轴上实心点（表示包含该点对应数值）和空心点（表示不包含该点对应数值）的含义，通过观察数轴端点情况来确定变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴当m取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图，若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为，则，，的大小关系为______（用“<”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差概念解答，方差指的是数据波动程度，数据波动程度越大，数据越不稳定，方差越大，图中该月上旬（1日至10日）的最高气温波动程度很大，中旬（11日至20日）的最高气温波动程度较小，下旬（21日至31日）的最高气温波动程度处于中间． 【详解】由图知，该月上旬（1日至10日）的最高气温波动程度很大，中旬（11日至20日）的最高气温波动程度较小，下旬（21日至31日）的最高气温波动程度处于中间， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是方差的概念，解题关键是根据图中数据判断方差的大小． 14. 如图1，扇形中，，，点C为弧上一点，以为对角线构造正方形，点D，E分别在，上．如图2，将正方形沿方向平移得到正方形，若点恰好为中点时，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出正方形的边长，平移后的图形，移动的距离为，阴影部分的面积，因为为中点，梯形的上底，下底，高，可求出梯形面积，扇形的圆心角是，可求出扇形面积，两者相减求出阴影部分面积． 【详解】解：在图1中，连接，如下图 ， 四边形是正方形， ，， 正方形沿方向平移得到正方形，连接，如下图 移动的距离 梯形的上底， 下底，高， 又， 阴影部分的面积． 15. 如图，中，，，，点P在边上，且，将线段绕点P旋转得到线段，点A的对应点为点Q，若点Q恰好落在的边上，则长度为________． 【答案】6或 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理求出， 结合，求出，由旋转性质得，点落在边上分两种情况：情况1：落在边上，情况2：落在边上，分别画图求解即可． 【详解】解：在 ，，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由旋转性质得， 点落在边上分两种情况： 情况1：落在边上时， 在中，， ∵， ∴为等腰三角形， 过点P作于， 则． 情况2：落在边上时，连接， 在中，由勾股定理得​， 在中，​． 落在上时仅与重合，不符合题意，舍去． 综上，的长度为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 17. 期末考试后，教务处刘老师随机抽取了七年级两个班各20名同学历史成绩进行统计分析成绩如下（百分制）： 七（1）班：66 88 99 100 79 94 87 86 98 84 100 90 98 98 96 92 91 91 68 77 七（2）班：68 96 92 97 98 100 83 100 90 93 99 69 96 96 87 94 76 86 99 75 刘老师对上述成绩进行整理、描述数据： 频数分数段班级 七（1）班 2 2 a 12 七（2）班 2 2 3 13 分析数据： 统计量年级 平均数 中位数 众数 七（1）班 89.1 91 c 七（2）班 89.7 b 96 根据上述数据，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）该校七年级共12个班，每班人数均为50人，请估算在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数； （3）在这次期末考试中，你认为以上两班中哪个班学生的历史成绩较好，并说明理由． 【答案】（1）4；93.5；98 （2）60人 （3）七（2）班的历史成绩较好．理由：比较两班学生的测试成绩可知，七（2）班学生成绩的平均数比七（1）班的高，中位数比七（1）班大，以上分析说明，七（2）班得高分的人数更多，所以，七（2）班的历史成绩较好．（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）先根据七（1）班成绩得出a的值，再根据中位数和众数的定义求解b和c即可． （2）用样本估计总计即可． （3）利用平均数和中位数的定义做决策即可． 【小问1详解】 解：七（1）班成绩之间的人数有4人，故， 七（1）班成绩出现次数最多的是3次，为98，故， 七（2）班从小到大成绩排列为：68，69，75，76，83，86，87，90，92，93，94，96，96，96，97，98，99，99，100，100， 则中位数为第10位和第11位的平均数，即． 【小问2详解】 解：估计在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数为：（人）， 答：期末考试中历史成绩可以得到满分的人数约有60人； 【小问3详解】 解：七（2）班的历史成绩较好．理由：比较两班学生的测试成绩可知，七（2）班学生成绩的平均数比七（1）班的高，中位数比七（1）班大，以上分析说明，七（2）班得高分的人数更多，所以，七（2）班的历史成绩较好． 18. 如图，为的圆内接三角形，延长到． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹），交于点； （2）若经过点的直线为的切线，交于点，求证：． 【答案】（1）如图，为的角平分线； （2）证明：如图，连接， ∵直线为的切线， ∴，即， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，即． 【解析】 【分析】（1）以顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与交于两点，分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径画弧，这两条弧会在角的内部相交于一点，记为点，连接，且与交于点； （2）连接，根据切线的性质得到，根据为的角平分线结合圆的性质即可推出，再根据，即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 19. 如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【答案】（1）； （2）米； （3）米． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； 【小问3详解】 解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 20. 如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆和一把呈南北方向固定摆放的与标杆垂直的长尺． 在数学综合实践课上，某同学受圭表构造的启发，制作了一个测高仪，如图所示．激光头可以发射激光，沿方向射出，处有一个游标可以自由移动，光线恰好通过游标孔射出．使用时，底座水平放置，铅锤高线始终保持与底座垂直．从底座上读出的长度及的高度，再在地面进行相关测量即可通过所学知识求得被测物体的高度． 如图，用测高仪测量某楼宇的高度，测高仪底座水平放置，激光头发射激光恰好通过游标孔照射到楼宇的最高点处．经测量，激光头距地面，距楼宇的水平距离为，测高仪上为，高为，且，，，，，，在同一平面内．请计算楼宇的高度．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】先据题意得，推出，求出的长，再根据测高仪底座水平放置，推出四边形为矩形，求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：由题意，可知 ． ∴ ． ∴． ∵ ， ， ， ∴， ∵测高仪底座水平放置， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∴． 答：楼宇的高度约为． 21. 某公司准备购买一批树木绿化办公区域，经市场调研，购买1棵白玉兰和2棵银杏树需550元，购买2棵白玉兰和3棵银杏树需900元． （1）求白玉兰和银杏树的单价． （2）公司规定购买白玉兰的数量不超过购买银杏树数量的，两种树共购买200棵．设购买白玉兰的数量为x棵，花费的总费用为y元． ①求y关于x的函数解析式； ②如何购买可使公司的花费最少？求出最少购买金额． 【答案】（1）150元，200元 （2）①；②36250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数以及一元一次不等式的应用，由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． （1）设白玉兰的价格为每棵m元，银杏树的价格为每棵n元．根据题意列出方程组并求解即可； （2）①根据该公司购买树苗的总费用为（元，所购买白玉兰的数量为x棵， ∴购买银杏树的数量为棵，据此即可得到与之间的函数关系式； ②先求得的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决问题． 【小问1详解】 设白玉兰的价格为每棵m元，银杏树的价格为每棵n元． 依题意得，解得， 答：白玉兰的价格为每棵150元，银杏树的价格为每棵200元． 【小问2详解】 ①∵购买白玉兰的数量为x棵， ∴购买银杏树的数量为棵，则 ， 即． ②∵，即． ，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 此时，元． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）点P为抛物线上任意一点，将点P向下平移6个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）顶点坐标为；二次函数的图象如下： （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）把二次函数的表达式化成顶点式，即可得到顶点坐标；画二次函数的图象先确定关键点：顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称点，在坐标系中描出这些点，用平滑曲线连接即可． （3）设点的横坐标为，则点的坐标为，根据点的平移和关于原点对称表示出点的坐标，把坐标代入解析式求出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：把和两点代入可得， ，解得 二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象开口朝下，顶点坐标为，对称轴为， 当时，，∴二次函数与y轴的交点为， ∴二次函数与y轴的交点关于对称轴的对称的点坐标为， ∴二次函数的图象经过以下坐标点， x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象略． 【小问3详解】 解：点的坐标为， 设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 设点关于原点的对称点为，则点的坐标为． ∵点在抛物线上，将点的坐标代入得： ， 解得， ∴点的坐标为． 23. 定义：在凸四边形中，若对角互补，且至少有一组邻边相等时，我们称这个四边形为“奋进四边形”． （1）请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形________； （2）如图，正方形中，点为上不与，重合的一个动点，与交点为，，垂足为点，交于点，连接． ①判断四边形是否为“奋进四边形”，若是，请证明，若不是，请说明理由； ②若，请求出的周长； （3）在（2）的条件下，若四边形也是“奋进四边形”，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形（答案不唯一） （2）①四边形是“奋进四边形”，理由： 如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是“奋进四边形”； ②； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质即可判定； （2）①连接，根据正方形的性质可证明，推出，，再结合，可推出，进而推出，得到，即可求证；②连接，将围绕点逆时针旋转得到，先根据（2）①得结论推出为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可以证明，即可得到，最后根据等量代换即可求解； （3）先根据四边形是“奋进四边形”且进行分类讨论：①、②、③、④四种情况；①，通过（2）①知，，可推出为等边三角形，即可求出，再通过解直角三角形即可求出的值，最后根据即可求解；②，先证明，即可推出为等边三角形，根据①的解法即可求解；③，设，结合正方形的性质可得为等腰直角三角形，即，再由（2）②知，的周长为6，列出，即可求解；④，则，而当点是的中点时，才存在，故该种情况不存在． 【小问1详解】 ∵正方形对角互补，且邻边相等， ∴正方形为“奋进四边形”（答案不唯一）； 【小问2详解】 ①略； ②如图，连接，将围绕点逆时针旋转得到， ∵由①可得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ∵围绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ， ∵在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 ∵四边形是“奋进四边形”，， 则存在、、、四种情况， ①如图3，当时， ∵由（2）①知，， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴该情况同的情况； ③当时，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵由（2）②知，的周长为6， ∴，即，解得， ∴； ④当时，则， 而当点是的中点时，才存在， 故该种情况不存在， 综上，的长度为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $