精品解析：云南昆明市第十中学2025-2026学年下学期期中高一数学试卷

昆明市第十中学教育集团 2025－2026学年下学期期中学情监测试题 高一年级 数学学科 （满分：150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列区间是函数的一个单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则为（ ） A. 15° B. 75° C. 15°或75° D. 60°或120° 7. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B. 若向量与平行，且，则或 C. 向量的长度与向量的长度相等 D. 单位向量都相等 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A. 三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B. 无论点N在何处，始终有平面成立． C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D. 平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 13. 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数； （3）若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量． 16. 如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 18. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式只有一个整数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第十中学教育集团 2025－2026学年下学期期中学情监测试题 高一年级 数学学科 （满分：150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 若复数满足（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以. 3. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用两角和与差的正弦展开公式求解即可 【详解】由， 得， 所以． 5. 下列区间是函数的一个单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则为（ ） A. 15° B. 75° C. 15°或75° D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【详解】因为、、， 由正弦定理，且， 又，所以或， 所以或. 7. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：, 8. 已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B. 若向量与平行，且，则或 C. 向量的长度与向量的长度相等 D. 单位向量都相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量共线的定义即可判断A，B，根据模的定义即可判断C，根据单位向量的定义可判断D. 【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确． 对于B， ，，都是非零向量，，与的方向相同或相反， 即或．故B正确． 对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确． 对于D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故D错误． 故选：ABC． 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】A：由基本不等式：， 两边平方得，即，等号成立当且仅当， 即，符合条件，因此最大值为，A正确； B：， 得到的最小值为，无最大值，B错误； C：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，C错误； D：， 等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确. 11. 如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A. 三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B. 无论点N在何处，始终有平面成立． C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D. 平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 向量，， ∴ ，. 根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为， 代入数据得投影向量为. 13. 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以， 又为定义在上的奇函数，则，故. 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数； （3）若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量． 【答案】（1） （2）中位数为 （3）条 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图概率和为，可得解； （2）根据中位数的定义可得解； （3）由频率分布直方图可得重量在的频率，进而可得数量. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得； 【小问2详解】 设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为， 因为，， 所以， 则，解得， 即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知这批鱼中重量在内的频率是， 则这批鱼中重量在内的数量是条. 16. 如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值； （2）根据数量积的运算律可求的值． 【小问1详解】 ， 因不共线，故，故. 【小问2详解】 , 故 . 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. 【小问2详解】 因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 18. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）最大值. 【解析】 【分析】（1）通过，确定，即可求证； （2）（ⅰ）通过平面，得到，即可求证；（ⅱ）作，，确定是二面角的平面角.设.得到，.再结合体积公式，结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点. 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面. 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式只有一个整数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上的单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求解参数值； （2）根据函数单调性的定义证明函数单调性； （3）根据函数的奇偶性和单调性把问题转化为只有一个整数解的问题，结合分类讨论计算得到参数的取值范围； 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，解得； 【小问2详解】 在上的单调递增， 证明：，则 ， 因为，所以，又因为，所以， 即，所以在上的单调递增. 【小问3详解】 由上分析可知函数是奇函数，且在上的单调递增， 不等式转化为， 整理得， 令，则不等式转化为，即， 方程的根为或， 若时，不等式解集为，对应只有一个整数解， 这个整数解只能是，所以，解得； 若时，不等式无解，不符合； 若时，不等式解集为，对应，需只有一个整数解：正整数对应， 需且，即，即. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $