2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第二章 2.2 2.2.1　直线的点斜式方程

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，从确定直线位置的几何要素切入，通过新知梳理（定义、特殊情况）、小试身手（基础判断）搭建学习支架，衔接倾斜角、斜率等前置知识，逐步推导方程并应用于平行垂直问题。 其亮点是以“问题探究-即时训练-方法总结”为主线，融入数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达），如例3通过斜率关系解决平行垂直问题，易错警示明确截距与距离的区别。助力学生养成严谨思维，教师可借助分层练习提升教学效率。

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的 点斜式方程 [目标导航] 课标要求 1.能根据确定直线位置的几何要素,探索直线的点斜式方程 2.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会熟练应用 3.了解截距的概念,了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 4.会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.直线的点斜式方程 (1)直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k.坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的点一定在直线l上;直线l上任意一点的坐标一定满足关系式y-y0=k(x-x0).把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l的方程.方程y-y0= k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定.把它叫做直线的 ,简称 . 点斜式方程 点斜式 (2)如图①,当直线l的倾斜角为0°时,直线l与x轴平行或重合,它的方程是 ,即 . (3)如图②,当直线l的倾斜角为90°时,直线l与y轴平行或重合,它的方程是 ,即 . y-y0=0 y=y0 x-x0=0 x=x0 2.直线的斜截式方程 (1)把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距(intercept).方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,把方程y=kx+b叫做直线的 ,简称 . (2)k和b均有明显的几何意义:k是直线的 ,b是直线在y轴上的 . 斜截式方程 斜截式 斜率 截距 小试身手 1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率为　　　　.  3 2.直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为　　　　.  3 3.已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a=　　　　.  1 解析:由a=2-a,得a=1. 4.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是　　　　.  (-1,2) 课堂探究·素养培育 [例1] 根据下列条件,求直线的方程. (1)经过点A(2,5),斜率是4; 直线的点斜式方程 解:(1)由点斜式方程可知, 所求直线的方程为y-5=4(x-2), 即4x-y-3=0. (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; 解: (2)因为直线的倾斜角为45°, 所以此直线的斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行; 解: (3)因为直线与x轴平行, 所以直线的倾斜角为0°,斜率k=0, 所以直线方程为y+1=0×(x+1), 即y=-1. (4)经过点D(1,1),与x轴垂直. 解: (4)因为直线与x轴垂直,斜率不存在,故不能用点斜式表示这条直线的方程,由于直线所有点的横坐标都是1,故这条直线方程为x=1. 思路点拨:注意斜率是否存在.若存在,方程为y-y0=k(x-x0);若不存在,方程为x=x0. 即时训练1-1:已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求: (1)边AB所在直线的方程; 解:(1)由题意知,点A(1,1),B(5,1),可得A,B两点的纵坐标均为1, 所以AB边所在直线的方程为y=1. (2)边AC和BC所在直线的点斜式方程. 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. 直线的斜截式方程 [例2] 求满足下列条件的直线方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距为-1; 解:(1)由题意得k=2,b=-1, 由直线的斜截式方程得y=2x-1. (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 思路点拨:根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距,代入斜截式即可. 即时训练2-1:直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,则直线l的方程为　　　　　　　　.  解析:由直线l1的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6.由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x+6. y=-2x+6 直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线方程就一目了然.因此,在解决直线问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断. 易错警示:截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标,它是个数值,可正、可负、可为零,容易与距离混淆. 两条直线的平行与垂直 [例3] (1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2,①平行? ②垂直? (2)若点A(1,2)在直线l上的射影为点 B(-1,4),求直线l的方程. 思路点拨:对于(1),可利用l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1·k2=-1求解.对于(2),由点A在直线l上的射影为点B,可知点B在l上,且AB⊥l,列出关系式求解. 2或-1 误把“截距”当“距离”致错 错因分析:上述解法的错误主要在于“误把直线在两坐标轴上的截距当作距离”. 纠错心得:直线在两坐标轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标,而不是距离,因此本题在求得截距后,应对截距取绝对值,再得出面积表达式. 当堂即练·素养达成 1.直线l的方程y=kx+b的图象如图所示,则k,b满足(　 　) A.k>0,b>0 B.k<0,b<0 C.k<0,b>0 D.k>0,b<0 B 当堂即练 解析:由图可知直线的倾斜角为钝角,且直线在y轴上的截距为负值,故k<0,b<0.故选B. A 3.若直线y=(a2-1)x+2与直线y=3x+a平行,则a的值为　　　　.  解析:由a2-1=3,且a≠2, 得a=-2. -2 1.当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况,表示过点(0,b)、斜率为k的直线y-b=k(x-0),即y=kx+b. 课堂小结 感谢观看 解: (2)因为AB平行于x轴,且△ABC在第一象限,且kAC=tan 60°=, kBC=tan(180°-45°)=-tan 45°=-1, 所以直线AC的点斜式方程为y-1=(x-1), 直线BC的点斜式方程为y-1=-(x-5). (2)倾斜角为直线y=x+1的倾斜角的一半,在y轴上的截距为-2; 解: (2)因为y=x+1的斜率为, 所以其倾斜角为60°, 故所求直线的倾斜角为30°, 所以k=tan 30°=, 又b=-2,所以直线方程为y=x-2. 解: (3)因为直线的倾斜角为60°, 所以其斜率k=tan 60°=, 因为直线与y轴的交点到原点的距离为3, 所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3. 所以所求直线方程为y=x+3或y=x-3. 解:(1)①要使l1∥l2, 则需满足解得a=-1. 故当a=-1时,直线l1与直线l2平行. 解:②要使l1⊥l2, 则需满足(a2-2)×(-1)=-1, 所以a=±. 故当a=±时,直线l1与直线l2垂直. 解: (2)因为kAB==-1, 由题意得kl·kAB=-1,所以kl=1. 又B在l上,由点斜式得y-4=x+1,即y=x+5.所以直线l的方程为y=x+5. 即时训练31:直线l1:y=-ax+1,l2:y=()x+,若l1⊥l2,则a=　　　　　;若l1∥l2,则 a=　　　　　.  解析:直线l1:y=-ax+1,l2:y=()x+, 因为l1⊥l2,所以-a·=-1, 解得a=-1或a=2. 因为l1∥l2,所以-a=,解得a=. 设直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,若l1∥l2,则若l1与l2重合,则若l1⊥l2,则k1k2=-1. 错解:设l:y=-x+b, 令x=0,得y=b;令y=0,得x=b, 由题意得·b·(b)=6, 因为b>0,所以b=4, 所以直线l的方程为y=-x+4. [典例] 已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求l的方程. 正解:设l:y=-x+b, 令x=0,得y=b;令y=0,得x=b, 由题意,得·|b|·|b|=6, 所以b2=16,所以b=±4. 故直线l的方程为y=-x±4. 2.直线y=2x+1在x轴上的截距为(　 　) A.- C.-1 D.1 解析:由直线y=2x+1,令y=0,解得x=-. 所以直线在x轴上的截距为-.故选A. $