专题强化03：直线方程题型突破【七大题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《考点•题型 •技巧》

专题强化03：直线方程 【题型归纳】 · 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 · 题型二：两直线平行和垂直问题 · 题型三：求直线方程 · 题型四：直线定点问题 · 题型五：直线的交点坐标和距离问题 · 题型六：直线方程的对称问题 · 题型七：直线方程的综合问题 【题型探究】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 【例1】．（25-26高二上·江苏·期中）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·贵州·月考）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：两直线平行和垂直问题 【例2】．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）“直线与直线平行”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（25-26高二上·天津河北·期中）已知直线：，直线：，则下列结论错误的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 【变式2】．（25-26高二上·福建漳州·期中）已知直线：，：． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若直线，与轴的交点分别为，，与轴的交点分别为，，若，求的值． 题型三：求直线方程 【例3】．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【变式1】．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程； (3)求点关于直线的对称点的坐标． 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； 题型四：直线定点问题 【例4】．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为 ． 【变式1】．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为 ，此时， . 【变式2】．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线方程为，则过定点的坐标为 ；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是 题型五：直线的交点坐标和距离问题 【例5】．（25-26高二上·江苏淮安·月考）若直线经过直线与的交点，且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求直线与的距离. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知点，点与点关于直线对称，求： (1)过点且与点距离为2的直线的方程； (2)过点且与点距离最大的直线的方程，并求此最大距离. 【变式2】．（25-26高二上·天津·阶段练习）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过两条直线和的交点，且平行于直线； (2)垂直于直线，且到点的距离为1. 题型六：直线方程的对称问题 【例6】．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【变式1】．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 题型七：直线方程的综合问题 【例7】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【变式2】．（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． (1)若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． (2)若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·云南·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（   ） A．直线l过P，Q的中点 B．直线l的一个方向向量的坐标是 C．直线l的斜率为3 D．直线PQ的斜率为 7．（25-26高二上·甘肃甘南·期中）一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 9．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．“直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件 D．已知，若直线与线段有公共点，则 10．（25-26高二上·浙江宁波·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 二、多选题 11．（25-26高二上·山东泰安·月考）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高二上·甘肃张掖·月考）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 13．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，，且四边形是矩形，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的方程为 C．四边形的面积为6 D．以为直径的圆的方程为 14．（25-26高二上·云南·期中）的三个顶点是，下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程： B．边上的高所在的直线的方程： C．过点，且平行于边的直线的方程： D．过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 15．（25-26高二上·吉林长春·期中）设坐标原点为，直线，，则（　　） A．的充要条件是或 B．若，则 C．点到直线的距离的最大值是 D．若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 15．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）设为实数，直线，下列说法正确的有（    ） A．时，在两坐标轴上截距相等 B．时，与没有公共点 C．经过原点 D．原点到直线距离的最大值为 16．（25-26高二上·江苏南通·月考）下列说法正确的是（  ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．存在使得直线与直线垂直 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题 17．（25-26高二上·广西钦州·期中）直线恒过定点 ． 18．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知直线过和的交点，且横截距等于纵截距，则直线的一般式方程为 . 19．（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为 . 20．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是 . 四、解答题 21．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 22．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 23．（25-26高二上·辽宁·月考）已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B． (1)求a的值； (2)若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； (3)若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 24．（25-26高二上·天津河北·期中）已知的三个顶点为，，，D为的中点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)求的面积. 25．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知直线经过点. (1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 26．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，，直线． (1)求直线关于直线对称的直线的方程； (2)直线过线段的中点且分别交轴与轴的正半轴于点、，坐标原点为，求使面积最小时直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化03：直线方程 【题型归纳】 · 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 · 题型二：两直线平行和垂直问题 · 题型三：求直线方程 · 题型四：直线定点问题 · 题型五：直线的交点坐标和距离问题 · 题型六：直线方程的对称问题 · 题型七：直线方程的综合问题 【题型探究】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 【例1】．（25-26高二上·江苏·期中）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，则，结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】设直线的倾斜角为，若，则的斜率不存在，此时； 若，则， 由正弦函数的性质知， 所以，所以； 综上所述：. 故选：A 【变式2】．（25-26高二上·贵州·月考）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式，可得斜率k的表达式，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】直线l的斜率. 因为， 所以，即直线l的斜率的取值范围是. 故选：C 题型二：两直线平行和垂直问题 【例2】．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）“直线与直线平行”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由直线平行求出参数a，再由充要条件定义即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 当时，两直线方程分别为和，互相平行， 所以“直线与直线平行”是“”的充要条件. 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·天津河北·期中）已知直线：，直线：，则下列结论错误的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：C 【变式2】．（25-26高二上·福建漳州·期中）已知直线：，：． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若直线，与轴的交点分别为，，与轴的交点分别为，，若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）先根据求解出的值，然后再进行检验是否重合，由此求解出的值. （2）根据求解即可. （3）令和分别解出四点坐标，然后由得到关于的方程，分的取值解出即可. 【详解】（1），故， 解得或， 当时，：，：，，不重合， 当时，：，：，，不重合， 所以或. （2）因为，所以，解得. （3）直线，与轴的交点分别为，，所以当时，，， 解得，，所以， 令，得，，解得， 所以，又，所以， 即， 当时，，无解， 当或时，，解得或， 当时，，无解， 综上所述，或． 题型三：求直线方程 【例3】．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵直线的方程为，其斜率为， ∵，∴，又， ∴由点斜式得直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称点为， 则，得，即， 因三点共线，则， 所以直线所在的直线方程为，即． 【变式1】．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程； (3)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. （2）依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. （3）设点关于直线的对称点的坐标为，则， 解得，所以对称点为. 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点的坐标，运用两点式求边所在直线的方程； （2）先根据两点的坐标，求出边所在直线的斜率，再求出边中点的坐标，利用垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求出边上的垂直平分线所在直线的方程． 【详解】（1），，由两点式方程公式得，整理得， 边所在直线方程为：，一般式方程为：． （2），由斜率公式得， 设边中点为，则，直线边中点为， 设过点垂直于直线的直线的斜率为，则即为边上的垂直平分线所在的直线， ，解得， 直线的方程为，一般式为：． 边上的垂直平分线所在直线的方程为：． 题型四：直线定点问题 【例4】．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为 ． 【答案】 【分析】依据直线过定点,当两点的连线与直线垂直时满足题意，计算即可. 【详解】由题可知：直线过定点 当点与点所成直线与直线垂直时， 点到直线距离最大， 最大距离为， 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为 ，此时， . 【答案】 20 【分析】求出直线所过的定点，直线l与直线PC垂直时点P到直线l的距离最大，的面积取得最大值，求出即可求得. 【详解】由，得. 令，得，则直线l过定点， 从而点P到直线l的距离最大值为， 故的面积最大值为， 当的面积取得最大值时，直线l与直线PC垂直，即， 所以，解得. 故答案为：20， 【变式2】．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线方程为，则过定点的坐标为 ；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是 【答案】 【分析】通过将直线方程整理为关于参数的线性组合，令系数为零构建方程组，求解得定点坐标.先判断含绝对值方程对应的图形为菱形，将斜率转化为两点连线的斜率，计算菱形顶点与定点的连线斜率，结合图形得出取值范围. 【详解】对于直线的方程， 整理为. 令，解得，， 故定点的坐标为. 对于， 当时，方程可化为；当时，方程可化为； 当时，方程可化为；当时，方程可化为. 由此画出方程的图象如下图所示， 其图形为四个顶点分别是、、、的菱形. 设直线的斜率为， 计算各顶点与连线的斜率： 与连线斜率为，与连线斜率为， 与连线斜率为，与连线斜率为. 结合图形可知，斜率取值范围是. 故答案为：； 题型五：直线的交点坐标和距离问题 【例5】．（25-26高二上·江苏淮安·月考）若直线经过直线与的交点，且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求直线与的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线与直线平行求解； （2）利用两直线间的距离公式求解. 【详解】（1）因为直线过直线和的交点， 由，解得，即点， 因为直线的斜率为2，且直线与直线平行， 所以直线的方程为，即. （2）直线与直线的距离为. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知点，点与点关于直线对称，求： (1)过点且与点距离为2的直线的方程； (2)过点且与点距离最大的直线的方程，并求此最大距离. 【答案】(1)或； (2)，. 【分析】（1）设，由的中点在直线上，与直线垂直，即可解出，讨论直线的斜率是否存在，设出直线，由点到直线的距离为2，求出直线. （2）当直线与垂直时，点到直线的距离最大为，由此即可求出答案. 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 所以，解得：，即， 当直线斜率不存在时：直线：，此时点到直线的距离，满足题意； 当直线斜率存在时：设直线的斜率为，则直线为，化简得， 点到直线的距离，解得， 所以直线为，化简得， 综上所述：直线为或 （2）由（1）知， 由题意知当直线与垂直时，点到直线的距离最大为， ， 设直线的斜率为，则，解得， 所以直线为，化简得， . 所以直线为，点到直线的最大距离. 【变式2】．（25-26高二上·天津·阶段练习）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过两条直线和的交点，且平行于直线； (2)垂直于直线，且到点的距离为1. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）首先求两条直线的交点坐标，再根据平行关系设出直线，利用待定系数法，即可求解； （2）首先根据两直线垂直，设出直线方程，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立，得， 设平行于直线的直线方程为，代入点， 得，得， 所以满足条件的直线方程为； （2）设垂直于直线的直线方程为， 点到直线的距离，解得或， 所以满足条件的直线方程为或. 题型六：直线方程的对称问题 【例6】．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出关于直线的对称点后可求反射光线所在直线的方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，，则对称点为. 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为. 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点，所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 题型七：直线方程的综合问题 【例7】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；点A的坐标为； (2)或； (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【详解】（1）直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得，所以直线过定点，其坐标为. （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 【变式2】．（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． (1)若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． (2)若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)4，． 【分析】（1）（ⅰ）根据题意求得点A的坐标，根据轴对称的两点的坐标关系，求得点A关于直线的对称点的坐标，即可求点m的值；（ⅱ）根据三点共线可得点的坐标； （2）用直线的倾斜角分别表示，进而得到.根据三角函数的最值求法，求得的最小值及取最小值时的倾斜角，从而得到直线的方程. 【详解】（1）（ⅰ）由题意知，直线，均过坐标原点，直线的方程为， 因为点为直线与直线的交点，所以．     因为的平分线为射线，所以点关于直线的对称点在直线上， 设，则     解得，．     （ⅱ）设，因为点，，共线，且直线斜率存在， 所以．     解得，所以．     （2）设直线的倾斜角为，则． 由，得，，     所以，     当时取等号，此时直线的斜率为1，方程为，即． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率和倾斜角的关系，结合图像即可求解. 【详解】由图可知：，的倾斜角均为锐角，，的倾斜角均为钝角， 且的倾斜角小于的倾斜角，的倾斜角小于的倾斜角， 则． 故选：B 2．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，再分别计算出该点与、连线的斜率后作图即可得. 【详解】令，解得，则直线过定点， 有，，如图所示： 则的倾斜角范围为. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有，解得或， 当时，与重合，不合题意； 当时，直线与平行； 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 5．（25-26高二上·云南·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 6．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（   ） A．直线l过P，Q的中点 B．直线l的一个方向向量的坐标是 C．直线l的斜率为3 D．直线PQ的斜率为 【答案】D 【分析】根据对称、斜率、方向向量的概念可逐一判断. 【详解】由题意知，A正确； ，则直线l的斜率为，故D错误，C正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，B正确. 故选：D 7．（25-26高二上·甘肃甘南·期中）一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点关于轴的对称点，则直线为反射光线所在的直线，求出直线的方程即可. 【详解】设点关于轴的对称点，所以直线为反射光线所在的直线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 故反射光线所在直线的方程为. 故选：A. 8．（25-26高二上·河南·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    9．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．“直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件 D．已知，若直线与线段有公共点，则 【答案】A 【分析】A选项设直线，表示，利用基本不等式求出最小值以及取等号时的，即可求此时的直线方程；B选项先求出斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围即可；C选项由两直线平行，求得，即可判断；D选项先得出直线过定点，再结合图像分析临界情况，得出的范围即可. 【详解】对于A中，根据题意设直线，可得， 所以， 当且仅当时成立，此时直线的方程为，所以A正确； 对于B中，由直线，可得，所以斜率， 设倾斜角为，可得，因为，所以， 所以B不正确； 对于C中，若两直线平行，可得，解得，经检验满足题意， 所以“直线与直线互相平行”是“”的必要不充分条件， 所以C错误； 对于D中，由直线可化为， 所以直线恒过定点，因为， 结合图象可知，直线的斜率，故D不正确. 故选：A 10．（25-26高二上·浙江宁波·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 二、多选题 11．（25-26高二上·山东泰安·月考）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 12．（25-26高二上·甘肃张掖·月考）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 13．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，，且四边形是矩形，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的方程为 C．四边形的面积为6 D．以为直径的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】利用两点斜率公式计算斜率求解判断A；结合矩形对边平行及两点式斜率公式求得直线的斜率，然后代入点斜式直线方程并化简即可判断B；利用两点距离公式求出，即可求解矩形面积判断C；根据矩形性质转化为求以为直径的圆的方程，求出圆心和半径，即可求解圆的方程判断D. 【详解】对于A，因为，，所以直线的斜率为，正确； 对于B，由，得直线的斜率为，所以直线的斜率为1， 又，所以直线的方程为即，正确； 对于C，因为，，，所以，， 所以矩形的面积为，错误； 对于D，根据矩形性质可知，以为直径的圆也是以为直径的圆， 则圆心为AC中点即，半径为， 所以所求圆的方程为，即，正确. 故选：ABD 14．（25-26高二上·云南·期中）的三个顶点是，下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程： B．边上的高所在的直线的方程： C．过点，且平行于边的直线的方程： D．过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 【答案】ABC 【分析】A选项，由的坐标求出中点，求出，利用点斜式得到中线为AD的直线的方程；B选项，求出直线的斜率，利用两线垂直，得到上的高所在直线的斜率；C选项，由点斜式可得过点且平行于边的直线的方程；D选项若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为截距式，代入点的坐标得到无解，直线不存在；若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点的坐标得该直线方程. 【详解】因为，所以中点，边上的中线为AD，所在的直线的方程：，A正确； 由可得直线的斜率为1，所以边上的高所在直线的斜率为-1，方程为：，B正确； 由点斜式可得，过点，且平行于边的直线的方程：，C正确； 若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为：， 代入点，得a无解，直线不存在； 若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点，得该直线方程为：，D错误. 故选：ABC． 15．（25-26高二上·吉林长春·期中）设坐标原点为，直线，，则（　　） A．的充要条件是或 B．若，则 C．点到直线的距离的最大值是 D．若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程，解方程可判断A选项；根据垂直列方程，解方程可判断B选项；易知直线过定点，可知点到直线的最大距离为，易知直线过定点，过，根据直线与始终垂直，可得垂足的轨迹是以为直径的圆，即可判断D选项. 【详解】A选项：若，则，解得， 所以或是的必要不充分条件，A选项错误； B选项：由，则，解得，B选项正确； C选项：由，即，可知过定点， 所以点到直线的最大距离为，C选项正确； D选项：由直线，即，可知直线过定点， 又过，且直线与始终垂直， 则垂足的轨迹是以为直径的圆， 又，且，中点， 所以垂足的轨迹是， 又原点在圆外， 所以点与原点距离的最大值是，D选项正确； 故选：BCD. 15．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）设为实数，直线，下列说法正确的有（    ） A．时，在两坐标轴上截距相等 B．时，与没有公共点 C．经过原点 D．原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过代入求值、分析直线平行关系、验证过原点情况及利用直线恒过点求距离最大值来逐一判断选项. 【详解】选项A，当时，直线的方程为.令，得横截距为； 令，得纵截距为，截距相等，故A正确. 选项B，当时，，，两直线斜率相同且纵截距不同， 平行无公共点，故B正确. 对于选项C，将代入方程，得，故不经过原点，C错误. 对于选项D，将方程整理为，所以直线恒过定点， 原点到距离的最大值为原点到的距离，故D正确. 故选：ABD 16．（25-26高二上·江苏南通·月考）下列说法正确的是（  ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．存在使得直线与直线垂直 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，将方程转化为点斜式方程求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，取特例判断即可；对于C，根据直线一般式方程下垂直的关系直接列示求解即可；对于D，根据点的位置关系，结合直线斜率公式求解即可. 【详解】解：A选项，对于直线，将其化为斜截式，斜率, 因为倾斜角,且，所以,故A选项正确； B选项，取，此时直线为，过第三象限，满足，，与矛盾，故B选项错误 C选项，若直线与直线垂直，则，即，此时直线为与，满足题意，故C选项正确； D选项，对于点，，由于，， 因为直线与线段有交点，且 所以直线的斜率的取值范围是，即，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 17．（25-26高二上·广西钦州·期中）直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】将直线化为，即可得定点. 【详解】由题设，显然直线过定点. 故答案为： 18．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知直线过和的交点，且横截距等于纵截距，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【分析】先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解． 【详解】由方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距相等， 当直线与两坐标轴的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 所以直线的方程为； 当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 即直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或． 19．（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为 . 【答案】 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点 到点 的距离，表示点 到点 的距离， 因此，方程可以理解为：，根据双曲线的定义得：， ，故双曲线方程为：，又， 所以点在双曲线的上支上，所以双曲线方程为：.故答案为： 20．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得定点和，由两直线垂直的判定方法，求得，得到点在以为直径的圆上，求得，结合基本不等式，即可求得的面积的最大值，得到答案. 【详解】由直线，令，可得，所以直线恒过定点， 由直线，得，所以直线恒过定点， 因为和的直线方程，满足，所以， 又因为和交于点，所以点在以为直径的圆上（除去点和）， 由，可得， 则直角的面积， 当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 21．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）由直线可得斜率为 根据垂直关系，可设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 22．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【分析】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【详解】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 23．（25-26高二上·辽宁·月考）已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B． (1)求a的值； (2)若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； (3)若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线，倾斜角的关系，利用两角和的正切公式列式求解即可. （2）先求出直线经过点和B时，b的值，然后利用点A，B在直线两侧列不等式求解即可. （3）求出的交点，设关于的对称点为，然后列方程求解即可. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． （2）由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． （3）直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 24．（25-26高二上·天津河北·期中）已知的三个顶点为，，，D为的中点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1)； (2)； (3)17. 【分析】（1）求出点的坐标及直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用垂直关系及直线的点斜式方程求解. （3）求出点到直线的距离及边长，进而求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，点，直线斜率，方程为， 所以边上中线所在直线的方程为. （2）直线的斜率，边的垂直平分线斜率为， 直线方程为，即， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为. （3）由（2）得直线的方程为，即， 点到直线的距离，而， 所以的面积. 25．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知直线经过点. (1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)； 【分析】（1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. （2）解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则，所以； 令，解得，则，所以， 则的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为12，此时直线的方程为，即. 26．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，，直线． (1)求直线关于直线对称的直线的方程； (2)直线过线段的中点且分别交轴与轴的正半轴于点、，坐标原点为，求使面积最小时直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于的对称点，应用斜率公式结合点斜式方程即可求出直线方程； （2）设直线方程，可得，代入面积，利用基本不等式可得. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，直线的方程， 整理得， 即直线关于直线对称的直线的方程为. （2）设直线的方程为：， 又直线过点，所以，即， 则的面积， 当且仅当即，时等号成立. 所以使面积最小时直线的方程为：，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $