24.4 数据的分组 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕“数据的分组”展开，核心讲解组内与组间离差平方和概念及分组原则，通过跳绳成绩、招聘笔试成绩等现实情境导入，衔接前期离差平方和知识，搭建从单一数据离散程度到分组数据差异分析的学习支架。 其亮点在于以问题驱动教学，结合招聘成绩分组计算、城市气温分组关联地理知识等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维推理分组逻辑，用数学语言表达数据规律。小结通过问题回顾强化概念，助力学生提升数据分析能力，为教师提供结构化、生活化的教学资源。

24.4 数据的分组 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1 1.经历数据分组的活动，了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念. 2.能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组，解决实际问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 为增强身体素质，学校组织同学们在课间进行跳绳，6名同学的训练成绩(每分钟的跳绳次数)按从小到大的顺序排列如下： 162，165，169，172，173，176 为高效提升这6名同学的成绩，体育老师想根据成绩的高低把这些同学分成两组，你能提出合理的建议吗？ 第一组 第二组 162 165,169,172,173,176 162,165 169,172,173,176 162,165,169 172,173,176 162,165,169,172 173,176 162,165,169,172,173 176 想一想：把哪些同学分到一组才能体现老师的要求呢？ 情境导入 BY YUSHEN 22051 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试. 将 10 名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 上面的问题可以理解为把这10名应聘者的笔试成绩分成好和差两组，则共有____种分组方法． 9 新知讲解 BY YUSHEN 22051 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 思考1：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考2：在前面的学习中，我们学习了离差平方和，了解到可以刻画一组数据的离散程度，结合上面的问题，你有什么想法？ 一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 x，则离差平方和为 =(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 新知讲解 BY YUSHEN 22051 如果把这组数据分为两组，前 m(m < n)个数据为一组，后(n－m)个数据为一组. 那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和： 它们的平均数分别记为x1和x2，离差平方和分别为 一类反映两个组内数据的离散程度 另一类反映两组数据之间的差异程度 =(x1-x1)2 +(x2-x1)2+…+(xm-x1)2 =(xm+1-x2)2+(xm+2-x2)2+…+(xn-x2)2 新知讲解 BY YUSHEN 22051 =(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 那么 =(x1-x1+ x1 - x )2+(x2-x1 + x1 - x )2 +…+(xm-x1 + x1 - x )2+ (xm+1-x2 + x2 - x )2+(xm+2-x2 + x2 - x )2+…+(xn-x2 + x2 - x )2 用完全平方公式展开：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 我们先只观察 2 倍项，你有什么发现？ 所有 2 倍项的和为 0 ，计算时就不必考虑了. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 =(x1-x1)2+(x2-x1)2+…+(xm-x1)2+(xm+1-x2)2+(xm+2-x2)2+…+（xn-x2)2 = + + m(x1-x)2+(n-m)(x2-x)2. d12 + d22 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度. 记为 称为组间离差平方和，表示两个组间的差异． =(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 那么 =(x1-x1+ x1 - x )2+(x2-x1 + x1 - x )2 +…+(xm-x1 + x1 - x )2+ (xm+1-x2 + x2 - x )2+(xm+2-x2 + x2 - x )2+…+(xn-x2 + x2 - x )2 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考3：当分组结果满足组内差异最小的情况时，d12 + d22 与 满足什么条件？ d 2 = d12 + d22 + 这组数据的离差平方和，固定不变. 最小 最大 既可以按d12 + d22 最小来分组，也可以按 最大来分组 归纳 BY YUSHEN 22051 将下列表格补充完整，找出最合适的分组方法． 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 分组 第 1 个间隔 第 2 个间隔 第 3 个间隔 第 4 个间隔 第 5 个间隔 第 6 个间隔 第 7 个间隔 第 8 个间隔 第 9 个间隔 d12 d12 + d22 d22 x1 x2 58 80.2 0 799.6 799.6 61 82.25 18 503.5 521.5 63.3 84.3 50.7 271.4 322.1 66.25 85.8 152.8 170.8 323.6 68.2 87.8 228.8 54.8 283.6 70.7 89 411.3 26 437.3 72.7 90.3 587.4 4.7 592.1 74.75 91 819.5 2 821.5 76.4 92 1026.2 0 1026.2 最小 新知讲解 BY YUSHEN 22051 当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小． 因此，按组内离差平方和最小的分法为 ｛58，64，68，75，76｝和｛83，85，89，90，92｝ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ） A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　B. {5，6} 和 {8，9，10} C. {5，6，8} 和 {9，10} D. {5，6，8，9} 和 {10} ＝ 0， ＝ 8.75， ＝ 8.75 ＝ 0.5， ＝ 2， ＝ 2.5 ＝ 4.67， ＝ 0.5， ＝ 5.17 ＝ 10， ＝ 0， ＝ 10 B 巩固练习 BY YUSHEN 22051 例 10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 （1）根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 －11　－3　3　3　9　10　12　17　21　22 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 584.2 584.2 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 290.8 第5个间隔 228.8 113.2 342 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 最小 例题讲解 BY YUSHEN 22051 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明} 例题讲解 BY YUSHEN 22051 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 （2）根据平均高温的组间离差平方和最大原则，把这 10 个城市分为两组．所得分组结果与（1）中结果一致吗？ 分别计算各组数据的平均数和组间离差平方和，如表所示： 例题讲解 BY YUSHEN 22051 分组 组间离差平方和 第1个间隔 －11 10.44 413.9 第2个间隔 －7 12.125 585.2 第3个间隔 －3.67 13.43 613.7 第4个间隔 －2 15.17 707.3 第5个间隔 0.2 16.4 656.1 第6个间隔 1.83 18 627.3 第7个间隔 3.29 20 586.7 第8个间隔 5 21.5 435.6 第9个间隔 6.78 22 208.5 最大 所得分组结果与（1）中结果一致. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 （3）结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？ 合理． 因为第一组中的城市位于我国北方地区，普遍气温偏低，第二组中的城市位于我国南方，温度较高． {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明} 例题讲解 BY YUSHEN 22051 什么是组内离差平方和？什么是组间离差平方和？对一组数据进行分组时，应遵循什么原则？ 数据的分组 离差平方和 组内离差平方和 组内离差平方和最小 组间离差平方和 分组原则 组间离差平方和最大 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则第一组离差平方和与第二组离差平方和分别为( 　　) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．2，2 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________． {星期一，星期二} {星期三，星期四，星期五} 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：方式1：第一组[75，80，85](3人)，第二组[90，95，100，105](4人). 第一组均值1＝(75＋80＋85)÷3＝80， ＝(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝25＋0＋25＝50. 第二组均值2＝(90＋95＋100＋105)÷4＝97.5， ＝(90－97.5)2＋(95－97.5)2＋(100－97.5)2＋(105－97.5)2 ＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125. ＋＝50＋125＝175. 3.某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，请按“组内成绩更集中”的原则分为两组(一组3人，一组4人)，确定最优分组． 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 方式2：第一组[75，80，85，90](4人)，第二组[95，100，105](3人). 第一组均值1＝(75＋80＋85＋90)÷4＝82.5， ＝(75－82.5)2＋(80－82.5)2＋(85－82.5)2＋(90－82.5)2 ＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125. 第二组均值2＝(95＋100＋105)÷3＝100， ＝(95－100)2＋(100－100)2＋(105－100)2＝25＋0＋25＝50. ＋＝125＋50＝175. 最优分组为[75，80，85]和[90，95，100，105] (或[75，80，85，90]和[95，100，105]). 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $