专题1.4 勾股定理章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+18个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

该初中数学勾股定理章节复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，梳理勾股定理、逆定理及两者区别联系，以知识卡片呈现核心概念，清晰展示直角三角形三边关系及判定逻辑，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于18个题型讲练覆盖证明、应用（如最短路径、航海问题）等，结合中考真题与分层训练，培养几何直观和模型意识。典例与变式搭配，基础学生夯实方法，优生提升能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题1.4 勾股定理（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+18个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 勾股定理 2 知识点二 勾股定理的逆定理 3 知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 3 题型讲练 3 题型一 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 3 题型二 利用勾股定理证明线段平方关系 4 题型三 勾股定理的证明方法 5 题型四 以弦图为背景的计算题 6 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 6 题型六 求旗杆高度(勾股定理的应用) 7 题型七 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 8 题型八 勾股树(数)问题 9 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 9 题型十 勾股定理与折叠问题 10 题型十一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 10 题型十二 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 11 题型十三 解决航海问题(勾股定理的应用) 12 题型十四 求河宽(勾股定理的应用) 12 题型十五 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 13 题型十六 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 14 题型十七 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 15 题型十八 求最短路径(勾股定理的应用） 16 中考真题演练 16 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 20 知识点一 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点二 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 题型一 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【典例精讲】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【变式训练】中，斜边，则的值是______． 题型二 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）； （2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证； （3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可） 题型三 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型四 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式训练】（25-26八年级上·四川巴中·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，小正方形的面积为4，则大正方形的面积为______． 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 题型六 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，一根旗杆高10m，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间可拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是8m，一工人准备了一根长为12.5m的铁索；你认为这一长度够吗？ 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，我校国旗班的同学要测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小李同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米． (1)求旗杆的高度； (2)小李在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小李需要从退向要走几米（即的长）？（结果保留根号） 题型七 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是_______ 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 题型八 勾股树(数)问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26八年级上·江西九江·期中）在中，，，，则______°． 题型十 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 题型十一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 题型十二 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距__________海里． 【变式训练】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 题型十四 求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【变式训练】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 题型十五 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【变式训练】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 题型十六 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【变式训练】（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 题型十七 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【变式训练】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 题型十八 求最短路径(勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C．这只蚂蚁爬行的最短路程为______（用含根号的式子表示）． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带________米． 【真题演练1】（2025·河南开封·中考真题）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·山西晋中·中考真题）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 【真题演练3】（2025·重庆·中考真题）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为_____ 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【真题演练5】（2025·福建泉州·中考真题）问题背景：如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，常常用于求代数式的最值． 例如：求代数式的最小值． 由可知，当时，有最小值，最小值是． 在问题背景下，解决下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)若，判断、的大小关系，并说明理由； (3)如图，等腰中，，点为边左侧的一点，已知，且满足，求的度数． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，不能判定与全等的一组条件是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 4．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为___________． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（    ） A．5 B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线a、b、c上，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为4，则的面积为 （　　） A．20 B．22 C．24 D．26 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，是的中点，是上的动点，连接，，则的周长的最小值为______． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.4 勾股定理（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+18个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 勾股定理 2 知识点二 勾股定理的逆定理 3 知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 3 题型讲练 3 题型一 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 3 题型二 利用勾股定理证明线段平方关系 5 题型三 勾股定理的证明方法 9 题型四 以弦图为背景的计算题 10 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 12 题型六 求旗杆高度(勾股定理的应用) 13 题型七 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 15 题型八 勾股树(数)问题 16 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 18 题型十 勾股定理与折叠问题 19 题型十一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 20 题型十二 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 22 题型十三 解决航海问题(勾股定理的应用) 23 题型十四 求河宽(勾股定理的应用) 25 题型十五 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 26 题型十六 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 27 题型十七 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 28 题型十八 求最短路径(勾股定理的应用） 31 中考真题演练 32 难度分层训练 39 【基础夯实】 39 【培优拔高】 44 知识点一 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点二 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 题型一 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【典例精讲】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【变式训练】中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 题型二 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）； （2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证； （3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）如图①所示，延长到点，使，连接，先证明，得到，然后根据三角形三边关系即可证得结论； （2）如图②所示，延长到点，使，连接，，先证明，得到，，进而证得，由勾股定理得，再证，即可证得结论； （3）如图③所示，延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，即可证得结论． 【详解】解：（1）如图①所示，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． （2）证明：延长到点，使，连接，，如图②， 是边上的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． （3）证明：延长到点，使，连接，，如图③， ，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， 又， ． 题型三 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】解：由图可得，，， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 题型四 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·四川巴中·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，小正方形的面积为4，则大正方形的面积为______． 【答案】34 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，完全平方公式的变形应用；由题意得，由得，利用完全平方公式展开再相加即可求得，进而求得大正方形的面积． 【详解】解：由题意知，小正方形的边长为，则， ∴①， ∵， ∴②， 得：， ∴， ∵，大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积为， 故答案为：34． 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 题型六 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，一根旗杆高10m，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间可拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是8m，一工人准备了一根长为12.5m的铁索；你认为这一长度够吗？ 【答案】不够 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算长度是解题的关键． 根据勾股定理可求出直角三角形斜边，再将的长与铁索的长的平方进行比较即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旗杆顶部、固定点、旗杆底部构成一个直角三角形， ，， 根据勾股定理，有， ， 由于， 所以铁索的长度不够． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，我校国旗班的同学要测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小李同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米． (1)求旗杆的高度； (2)小李在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小李需要从退向要走几米（即的长）？（结果保留根号） 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得（米），再由即可求解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则为米， 在中，， ， 米， ， 解得：， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过作于点， ， ， 四边形是矩形， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，， 根据勾股定理，得（米）， 米， 米， 答：小强后退的距离约为米． 题型七 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是_______ 【答案】/10米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设这棵树折断部分的长度为，由图得， （）， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴树顶端落在离树底部处， 故选：A． 题型八 勾股树(数)问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数： (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 【答案】(1)11，60，61 (2)勾：，股：，弦：；关系式为弦股 ，证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，再由勾为11，可求出答案； （2）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，据此可得股、弦，进而猜想关系证明即可． 【详解】（1）解：当勾时，股，弦， ∴下一组勾股数为11，60，61； （2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 股和弦的关系式为弦股，证明如下： 弦股 ． 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后分别计算出和即可求解． 【详解】（1）解：在，，，， 根据勾股定理有， 的长为． （2）解：在中，， ，， ， 是直角三角形， ， 又， 图中阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26八年级上·江西九江·期中）在中，，，，则______°． 【答案】90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 题型十 勾股定理与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【答案】10厘米 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，厘米，，由折叠的性质可得厘米，，利用勾股定理求出的长，设厘米，则厘米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，厘米，， 厘米， 厘米， 由折叠知厘米，， 在中，由勾股定理得厘米 设厘米，则厘米， 在中，由勾股定理得 ， 解得， 的长为10厘米． 【变式训练】（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 题型十一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 题型十二 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 题型十三 解决航海问题(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距__________海里． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的应用， 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 【变式训练】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 题型十四 求河宽(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 题型十五 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选C． 题型十六 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【典例精讲】（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 【变式训练】（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 题型十七 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 【变式训练】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 题型十八 求最短路径(勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C．这只蚂蚁爬行的最短路程为______（用含根号的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会掌握圆柱的侧面展开图，并利用勾股定理解答．先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为： 底面圆周长为， ， 又， 在中，， 蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用、圆柱的侧面展开图，将圆柱侧面展开成矩形，彩带的长度就是三个矩形对角线长度之和． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，如下图所示， 圆柱的高为，底面周长为， ，， ， 彩带的长度为． 故答案为：． 【真题演练1】（2025·河南开封·中考真题）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的综合应用，先分析圆柱侧面展开图，确定展开图中点A、P两点的位置，最后再利用勾股定理计算出最短距离即可． 【详解】解：如图所示， 圆柱的底面周长为，则侧面展开图的一半为， ∵高， ∴，， ∴从A沿着圆柱体的表面到点P的最短距离为， 故选：B． 【真题演练2】（2025·山西晋中·中考真题）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据长方形的性质可得，根据折叠的性质可得，，再运用勾股定理可得，进而得到；设，则，根据勾股定理列方程可得，即，最后再运用勾股定理求的长即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：，即， ∴． 故选C． 【真题演练3】（2025·重庆·中考真题）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为_____ 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形．过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，证明，得出，设，在中，，建立方程得出，进而勾股定理求得结果． 【详解】解：如图，过C作于点F； 则， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 【真题演练5】（2025·福建泉州·中考真题）问题背景：如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，常常用于求代数式的最值． 例如：求代数式的最小值． 由可知，当时，有最小值，最小值是． 在问题背景下，解决下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)若，判断、的大小关系，并说明理由； (3)如图，等腰中，，点为边左侧的一点，已知，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了阅读理解，涉及完全平方公式，平方非负性的应用，勾股定理及勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，理解配方法是解题的关键； （1）先配成完全平方，再求最值； （2）先作差，再进行配方，最后进行比较即可； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，，即，将绕点顺时针旋转得到，得到，，，，利用勾股定理得到，再根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，最后利用即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值是； （2）解：，理由如下： ∵ ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， 在中，由勾股定理得，， 在中，，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，不能判定与全等的一组条件是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理、完全平方公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据定理即可得选项A能判定与全等；先求出与的直角边对应相等，再根据定理可得选项B能判定与全等；根据定理可得选项C能判定与全等；判断出，即和的斜边不对应相等，则可得选项D不能判定与全等． 【详解】解：A、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； B、如图，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， 不妨设，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，则此项不符合题意； C、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； D、在中，斜边， ∵是中的斜边，且， ∴，即和的斜边不对应相等， ∴不能判定与全等，则此项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积；由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先作出，再根据，取格点，作线段，取格点，使得，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，最后由勾股定理计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ， 先作出， 再根据，取格点，作线段，取格点，使得， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，则， 由勾股定理可得． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用这两个知识是解题的关键； 由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，将沿折叠，使点C恰好落在边上点E处， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线a、b、c上，且a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为4，则的面积为 （　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作，交于点，过点作，交于点，证明，得出相等的线段和线段的长度，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴的面积为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，是的中点，是上的动点，连接，，则的周长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称确定最值，体现了转化的思想，属于中考常考题型．先根据题意正确画图找到点的位置，最后利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接交于点， ， 则此时的值最小，即的周长最小． 点关于对称， ， ． 是的中点， ， ． 的周长的最小值为：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】作于点H，构造长方形．设，则，由折叠得，，，证明，推出，，设，可得，由长方形的性质得，，最后用勾股定理解即可求解． 【详解】解： ，， ， 如图，作于点H， ， 四边形是长方形． ， ， 设，则， 由折叠知，，，， ，，， ， ，， 设，则， ， ， 四边形是长方形， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null