专题2.2 平方根与立方根【导图+知识卡片+知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理算术平方根的定义与非负性、平方根与立方根的概念及性质差异、估算方法与计算器应用，构建从有理数到实数的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料含思维导图助力抽象能力培养（数学眼光），19个题型通过典例与变式训练发展推理能力（数学思维），中考真题与分层练强化应用意识（数学语言）。如实际应用题解决面积计算问题，规律探索题引导发现数学规律，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

nullnull 专题2.2 平方根与立方根『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 算术平方根 2 知识点二 与 的性质 3 知识点三 平方根 3 知识点四 立方根 4 知识点五 估算 5 知识点六 用计算器求算术平方根和立方根 6 题型讲练 6 题型一 求一个数的算术平方根 6 题型二 利用算术平方根的非负性解题 6 题型三 估计算术平方根的取值范围 6 题型四 无理数整数部分的有关计算 6 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 7 题型六 算术平方根的实际应用 7 题型七 平方根概念理解 7 题型八 求一个数的平方根 7 题型九 求代数式的平方根 8 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 8 题型十一 利用平方根解方程 8 题型十二 立方根概念理解 8 题型十三 求一个数的立方根 8 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 9 题型十五 与立方根有关的规律探索 9 题型十六 立方根的实际应用 9 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 10 题型十八 计算器——平方根和立方根 10 题型十九 程序设计与实数运算 10 中考真题演练 11 难度分层训练 12 【基础夯实】 12 【培优拔高】 14 知识点一 算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点二 与 的性质 类别 性质 举例 知识点三 平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点四 立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点五 估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点六 用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型一 求一个数的算术平方根 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）4的算术平方根是_____． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【变式训练】（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为_____． 题型三 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【变式训练】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）估计的值在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 题型四 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）先化简再求值：，其中，为的整数部分． 【变式训练】（25-26八年级上·广东茂名·期末）如果的整数部分为，则的值为_____． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【变式训练】（25-26八年级上·广东·阶段检测）已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 题型六 算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，小正方形的边长为1，剪开，并拼成一个正方形，这个正方形的边长是_____． 【变式训练】（25-26八年级上·山东济宁·期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 题型七 平方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若一个正数的两个平方根是和，则___________． 题型八 求一个数的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）5的平方根是__________． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 题型九 求代数式的平方根 【典例精讲】若，则__________． 【变式训练】若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【变式训练】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十一 利用平方根解方程 【典例精讲】方程的解是_______． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，则的值为 ______． 题型十二 立方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期末）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 题型十三 求一个数的立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测），则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练】下列各数，，，，，，中，无理数的个数有____个． 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知正数a的两个不同的平方根是1和b，c的立方根是，求的算术平方根． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求x的值： (1)； (2)． 题型十五 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【变式训练】有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 题型十六 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 题型十八 计算器——平方根和立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【变式训练】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 题型十九 程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是___________． 【变式训练】（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【真题演练1】（2025·福建泉州·中考真题）下列说法中正确的有（    ） ①0.1是0.01的算术平方根；②81的平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1；④实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【真题演练2】（2025·四川成都·中考真题）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【真题演练3】（2025·山东菏泽·中考真题）如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则______． 【真题演练4】（2025·江苏泰州·中考真题）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________． 【真题演练5】（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，已知点B、C、F、D均在直线l上，，且，，现保持不动，将沿l向左平移，平移的过程中，设所在的直线与所在的直线交于点M． (1)若平移到点F与点B重合，如图2． ①判断、的位置关系，并说明理由； ②连接，求的面积． (2)在平移的过程中，是否存在长为4的情况，若存在，直接写出此时的面积． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在实数（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的图形是由一连串的直角三角形拼合而成的，其中，若把图中的直角三角形继续作下去，则的长为______． 5．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 6．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第8个“双方数”为___________． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D在边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（    ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 3．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 4．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则______． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知正方形的边长为5，且为的中点，四边形为正方形，则阴影面积是________． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，Q是上的一个动点，过点Q作于点M，于点N，，则________．    8．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知、、是一个三角形的三边长，如果满足，求这个三角形的面积． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 10．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 平方根与立方根『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 算术平方根 2 知识点二 与 的性质 3 知识点三 平方根 3 知识点四 立方根 4 知识点五 估算 5 知识点六 用计算器求算术平方根和立方根 6 题型讲练 6 题型一 求一个数的算术平方根 6 题型二 利用算术平方根的非负性解题 6 题型三 估计算术平方根的取值范围 7 题型四 无理数整数部分的有关计算 8 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 9 题型六 算术平方根的实际应用 9 题型七 平方根概念理解 10 题型八 求一个数的平方根 11 题型九 求代数式的平方根 12 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 12 题型十一 利用平方根解方程 13 题型十二 立方根概念理解 14 题型十三 求一个数的立方根 15 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 15 题型十五 与立方根有关的规律探索 16 题型十六 立方根的实际应用 17 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 18 题型十八 计算器——平方根和立方根 19 题型十九 程序设计与实数运算 20 中考真题演练 21 难度分层训练 26 【基础夯实】 26 【培优拔高】 32 知识点一 算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点二 与 的性质 类别 性质 举例 知识点三 平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点四 立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点五 估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点六 用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型一 求一个数的算术平方根 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）4的算术平方根是_____． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【答案】16 【分析】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键；根据算术平方根和绝对值的非负性，得出和，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，即且， ∴，， ∴ ； 故答案为16． 【变式训练】（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 题型三 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】先对进行估算，再根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，则， ∴， ∴最大的数为． 【变式训练】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）估计的值在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据可知，从而确定的范围． 【详解】解：， ， ， 的值在到之间． 故选：A． 题型四 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）先化简再求值：，其中，为的整数部分． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，估算无理数大小，零指数幂，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后计算a、b的值再代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ∵，为的整数部分，且， ∴，， ∴当时，原式． 【变式训练】（25-26八年级上·广东茂名·期末）如果的整数部分为，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键． 由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分． 故答案为：3． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·广东·阶段检测）已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 【答案】17.32 【分析】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是做题的关键．根据被开方数的小数点每向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，进行求解即可． 【详解】解：由算术平方根的性质可知，． 故答案为：17.32． 题型六 算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，小正方形的边长为1，剪开，并拼成一个正方形，这个正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的正方形的面积为6，进一步开方得出拼成的正方形的边长为． 【详解】解：∵小正方形的边长为1， ∴六个小正方形的面积和为， ∴拼成一个正方形，这个正方形的边长是， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·山东济宁·期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 题型七 平方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是，故A选项错误； ∵ 表示的算术平方根， ∴ ，故B选项错误； ∵ 正数的平方等于时，是的算术平方根， ∴ 的算术平方根是，故C选项错误； ∵ ， ∴ 是的一个平方根，故D选项说法正确． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若一个正数的两个平方根是和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质列出方程是解题关键． 利用一个正数的两个平方根互为相反数这一性质列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴，即， 解得． 故答案为：． 题型八 求一个数的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）5的平方根是__________． 【答案】 【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数． 因为， 所以的平方根是． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 题型九 求代数式的平方根 【典例精讲】若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 【变式训练】若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 题型十一 利用平方根解方程 【典例精讲】方程的解是_______． 【答案】 【详解】解： 解得． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，则的值为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，正数的两个平方根互为相反数，其中正的平方根是它的算术平方根，负的平方根是它的算术平方根的相反数． 【详解】因为， 所以等于的平方根，即． 题型十二 立方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期末）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的性质求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 【答案】的值为2，的值为3 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根的意义求出，的值，再利用立方根的性质求出的值，再计算． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， ，， ； ， ， 解得：， ． 题型十三 求一个数的立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测），则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解a，b的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴． 【变式训练】下列各数，，，，，，中，无理数的个数有____个． 【答案】3 【详解】解：∵，，，是有理数，，，是无理数， ∴，，，，，，中，有个无理数． 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知正数a的两个不同的平方根是1和b，c的立方根是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是3 【分析】本题考查了求平方根，求算术平方根，根据立方根求原数． 根据平方根，立方根求出，，进而求出的值，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：正数a的两个不同的平方根是1和b， ． c的立方根是， ， ， 的算术平方根是3． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根的性质，仔细观察数据，把方程化成能直接开方的形式是关键． （1）先移项，再开方求解即可； （2）直接开立方根求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴ （2）解：， ， 解得． 题型十五 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 【变式训练】有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 题型十六 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【答案】10 【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系． 根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论． 【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为． 体积扩大为原来的1000倍，新体积． 设新棱长为，则， 因此． ∴棱长扩大为原来的10倍． 故答案为：10． 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 题型十八 计算器——平方根和立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据计算器显示的结果，使用四舍五入法将其精确到，需看小数点后第四位数字（即万分位）为0，由于，故小数点后第三位（即千分位）数字8不变，即可求解． 【详解】解：计算器显示结果为0.61803399，精确到0.001时， 看小数点后第四位数字是0，， ∴舍去， ∴第三位数字8不变， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 题型十九 程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是___________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据图示进行求算术平方根，并判断是否无理数． 【详解】解：由图示得：，是有理数， 2的算术平方根是，是无理数，输入此值， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 【真题演练1】（2025·福建泉州·中考真题）下列说法中正确的有（    ） ①0.1是0.01的算术平方根；②81的平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1；④实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义及实数与数轴的对应关系，需逐一辨析每个说法的正误，统计正确个数后选择对应选项． 【详解】解：①∵，且算术平方根为非负数， ∴0.1是0.01的算术平方根，该说法正确； ②∵， ∴81的平方根是，该说法正确； ③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1，，故原说法漏了，错误； ④∵实数与数轴上的点一一对应， ∴该说法正确 综上，正确的说法有3个， 故选：B． 【真题演练2】（2025·四川成都·中考真题）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． 【真题演练3】（2025·山东菏泽·中考真题）如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，由题意可得，，由图形可得，估算出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形面积为10，正方形面积为4， ∴，， 由图形可得：， ∵， ∴，即， ∵正方形的边长是整数， ∴， 故答案为：3． 【真题演练4】（2025·江苏泰州·中考真题）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得，负的舍去， 故即梯子的底端B向右滑动． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，已知点B、C、F、D均在直线l上，，且，，现保持不动，将沿l向左平移，平移的过程中，设所在的直线与所在的直线交于点M． (1)若平移到点F与点B重合，如图2． ①判断、的位置关系，并说明理由； ②连接，求的面积． (2)在平移的过程中，是否存在长为4的情况，若存在，直接写出此时的面积． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2)存在，或14 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、算术平方根等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）①先得出，再根据全等三角形的性质可得，则可得，然后求出，由此即可得； ②先利用三角形的面积公式可得的长，则可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）分两种情况：①在点与点重合之前，存在，②在点与点重合之后，存在，利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平移到点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平移到点与点重合， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图，在点与点重合之前，存在， 连接， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在点与点重合之后，存在， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，在平移的过程中，存在长为4的情况，此时的面积为或14． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在实数（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； π是无限不循环小数，属于无理数； ，3是整数，属于有理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； ∴无理数有、π、，共3个； 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：D 3．（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的图形是由一连串的直角三角形拼合而成的，其中，若把图中的直角三角形继续作下去，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理运用，规律探索；运用勾股定理求解线段长是解题的关键．根据勾股定理求解，相应的，进一步可得答案． 【详解】解：如图，； 相应的，． ∴； 故答案为：3 5．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次多1个1）．根据无理数的定义，逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无理数，减去有理数1后仍为无理数； （两个1之间依次多一个0）是特殊结构的无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 综上，无理数有、、、，共4个． 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【详解】解： ， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第8个“双方数”为___________． 【答案】900 【分析】本题考查了数字类规律探索，算术平方根的定义，“双方数”的定义，由题意可得，表示出，由题意可得是一个完全平方数，且是奇数，故只能是奇数的平方，从小到大依次是、、、…，，那么“双方数”依次为、、、…、，由此即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ∴． 由题意可得是一个完全平方数，且是奇数， ∴只能是奇数的平方，从小到大依次是、、、…，， 那么“双方数”依次为、、、…、， ∴第8个“双方数”为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握实数的定义是解题的关键． （1）由勾股定理得到，再结合顶点A表示的数是，求即可． （2）估算得到，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，根据勾股定理可知： ， ∴， ∴点对应的数， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D在边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形； （2）在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，根据勾股定理直接求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x轴的点的特征，直角三角形性质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意； ②根据函数的定义，若y是x的函数，则当x取一个值时，一定有唯一的y与它对应；故原说法错误，不符合题意； ③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意； ④平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意； ⑤在直角三角形中，当a，b为直角边，c为斜边时，则三边关系一定满足；故原说法错误，不符合题意； ⑥若，则，故；故原说法错误，不符合题意； 故正确的个数有1个； 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（    ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 【答案】A 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论，找到规律是解题的关键． 分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：根据题意可得： 第1步：；第2步：；第3步：； 第4步：；第5步：；第6步：； 第7步：；第8步：…… ∵显示的数是六步一个循环， ∴， ∴第2026步之后荧幕显示的数与第四步相同，显示的结果是， 故选：A． 3．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 4．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 【答案】5 【分析】在上取一点F'，使，连接，交于E，此时的值最小，为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接，交于E， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴，当C、E、共线时取等号， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得． ∴的最小值是5． 故答案为：5． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则______． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，多项式乘以多项式，求算术平方根，根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出，再根据得到，再根据，即可求出答案． 【详解】解：图中阴影部分的面积为， 如图所示：   ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知正方形的边长为5，且为的中点，四边形为正方形，则阴影面积是________． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 可根据正方形的性质和全等三角形的判定证明，则，，由勾股定理，结合线段中点定义可求得，，， 同理可得，然后根据三角形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为5，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则，， 同理可得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：15． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，Q是上的一个动点，过点Q作于点M，于点N，，则________．    【答案】 【分析】本题考查了线段的比例，勾股定理，面积法及直角三角形的高与面积关系．连接，先分析线段比例，确定的长度，再利用面积法建立等式，结合勾股定理求出的长度，最后通过面积等式求得即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， 设，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知、、是一个三角形的三边长，如果满足，求这个三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理．根据非负数的性质，平方、绝对值和平方根均为非负数，它们的和为零则每项均为零，由此求出、、的值；再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积． 【详解】解： ，，，且， ，，， ，，， ，， ， 该三角形是直角三角形，且两直角边为和， 这个三角形的面积． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 10．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 【答案】(1)10，，这个值在3与4之间 (2) (3)①点P表示的数为；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分=原数-整数部分． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可； （3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 这个值在3与4之间； （2）， ，， （3）①点A表示的数为，正方形的边长为， 点P表示的数为； ②不存在． 理由：假设存在正整数n,则， ， ， 为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等式不成立．即不存在正整数n 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $