专题2.1 认识实数【导图+知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦北师大版八年级上册“认识实数”核心知识点，从七年级有理数延伸，通过生活实例引入非有理数，系统梳理无理数概念、实数分类与性质、实数与数轴关系，构建层层递进的学习支架。 资料以思维导图整合知识脉络，8个题型讲练结合中考真题，通过剪拼正方形等实例培养几何直观与抽象能力，难度分层练满足不同需求，助力课中教学效率提升与课后学生查漏补缺，发展推理能力与应用意识。

null 专题2.1 认识实数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 生活中存在不是有理数的数 2 知识点二 无理数的概念 3 知识点三 实数的相关概念和性质 3 知识点四 实数与数轴的关系 4 题型讲练 4 题型一 无理数 4 题型二 无理数的大小估算 4 题型三 实数概念理解 4 题型四 实数的分类 5 题型五 实数的性质 5 题型六 实数与数轴 5 题型七 实数的大小比较 6 题型八 勾股定理与无理数 6 中考真题演练 7 难度分层训练 8 【基础夯实】 8 【培优拔高】 11 知识点一 生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点二 无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数（①小数；②位数无限;③不循环，三者缺一不可） 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点三 实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数.（在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数） 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点四 实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小 题型一 无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）下列各数中，无理数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川成都·期末）在实数，，，，0，中，无理数有_______ 个． 题型二 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期末）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）满足的整数可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 题型三 实数概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练1】下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【变式训练2】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是_______个． 题型四 实数的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·广东清远·期末）在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（25-26八年级上·山西运城·期末）下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在，，，，这几个数中，无理数有_____个． 题型五 实数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】化简：___________． 【变式训练2】的相反数是（　　） A． B． C． D． 题型六 实数与数轴 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点表示的实数是___________． 【变式训练1】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）． A．2.5 B． C．3 D． 【变式训练2】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，矩形的边在数轴上，，两点在数轴上对应的数分别为和2，，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为________． 题型七 实数的大小比较 【典例精讲】（23-24八年级上·四川成都·期中）比较大小：________（填“”“”“”）． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）比较大小：______3（填，，） 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小：_____5．（填“＞”“＜”或“＝”） 题型八 勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在数轴上点A表示实数______． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【真题演练1】（2025·江苏徐州·中考真题）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·四川成都·中考真题）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0 【真题演练3】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____． 【真题演练4】（2025·湖南衡南·中考真题）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数是且．以点为圆心、长为半径画弧，交数轴原点右边于点，则点表示的数是___________．    【真题演练5】（2025·河南南阳·中考真题）期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． ，可忽略，得， 解得，． 仿照小李的探索过程，解答下列问题： (1)的整数部分为________； (2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列各数：，，，，……（每两个之间零的个数逐次加）中，无理数的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）在实数，，，，中，无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，，，则a的值为_______． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，为数轴原点，点对应的数是3，过作数轴的垂线，在垂线上取等于2个长度，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示为_____． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． (1)求梯子底端外移的距离（的长）； (2)试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 10．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·周测）在3.141、、、、、、（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、0这八个数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 5．（25-26八年级上·重庆江津·期末）一个各数位上的数字不完全相同且均不为的四位正整数，若它的千位数字与百位数字之和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和方数”．如“”中，，所以是“和方数”．则最小的“和方数”是______；若“和方数”满足，，且是整数，则满足条件的“和方数”的最大值为______． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 7．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）设，，，为或，求证：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知数轴上点A表示，点B表示，如果存在点P，满足，求点P表示的数是多少？ 10．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.1 认识实数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 生活中存在不是有理数的数 2 知识点二 无理数的概念 3 知识点三 实数的相关概念和性质 3 知识点四 实数与数轴的关系 4 题型讲练 4 题型一 无理数 4 题型二 无理数的大小估算 5 题型三 实数概念理解 6 题型四 实数的分类 8 题型五 实数的性质 9 题型六 实数与数轴 9 题型七 实数的大小比较 11 题型八 勾股定理与无理数 12 中考真题演练 13 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 23 知识点一 生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点二 无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数（①小数；②位数无限;③不循环，三者缺一不可） 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点三 实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数.（在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数） 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点四 实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小 题型一 无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）下列各数中，无理数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、符合定义，是无理数，故本选项符合题意； C、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵整数和分数都属于有理数，无限不循环小数是无理数； ∴A选项中2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项中0.3是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； C选项中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D选项中是分数，属于有理数，不符合要求． 【变式训练2】（25-26八年级上·四川成都·期末）在实数，，，，0，中，无理数有_______ 个． 【答案】2 【分析】根据无理数的定义，逐个判断每个实数： 是有理数； 是无理数； 是无理数； 是有理数；0 是有理数； 是有理数，因此无理数有 2 个 【详解】- 是分数，分子和分母都是整数，因此属于有理数； - 是无理数， 是无理数，因为有理数与无理数之和为无理数； - = = ， 是无理数，因此 是无理数； - = -4，是整数，因此属于有理数； - 0 是整数，因此属于有理数； - 是循环小数，可化为分数 ，因此属于有理数； 无理数有 2 个， 故答案为2 题型二 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期末）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小． 先估算的值，确定其整数部分和小数部分，再计算乘积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）满足的整数可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算． 先判断出的取值范围，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵且a是整数， ∴a可以是2或3． 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟知有理数和无理数的定义．本题需先明确无理数的定义，再逐一判断各选项是否满足“大于3且小于4”的条件． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， 又∵，，满足大于3且小于4的无理数要求， ∵3.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数条件， ∵，不满足小于4的条件， ∵是负数，小于3，不满足大于3的条件， ∴符合要求的是选项A， 故选：A 题型三 实数概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；根据无理数的定义，无限不循环的小数是无理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A.2是整数，属于有理数； B.是分数，属于有理数； C.是无理数； D.是整数，属于有理数； 故选C． 【变式训练1】下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是有理数，不符合题意； B．3.1415是有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是_______个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 题型四 实数的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·广东清远·期末）在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，核心是明确有理数与无理数的区别：有理数包含整数、分数(有限小数、无限循环小数)，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是分数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是无限循环小数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；(相邻两个3之间1的个数逐次加)是无限不循环小数，属于无理数； 无理数共有2个， 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·山西运城·期末）下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，实数分有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数），据此对各选项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数 B．，2是整数，属于有理数 C．是无限不循环小数，属于无理数 D．，4是整数，属于有理数 故选C． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在，，，，这几个数中，无理数有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是利用定义进行判断；根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵是有限小数，可以化为分数，因此是有理数； 是整数，因此是有理数； π 是无限不循环小数，不能表示为分数，因此是无理数； 是分数，因此是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，因此是无理数， ∴无理数有 个， 故答案为：． 题型五 实数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】化简：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值表示数到原点的距离，总是非负的．负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义，一个数的绝对值总是非负的．是负数，其绝对值为它的相反数，即． 故答案为：． 【变式训练2】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 题型六 实数与数轴 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点表示的实数是___________． 【答案】/ 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在负半轴即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∵点在负半轴， ∴数轴上点表示的实数是． 【变式训练1】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）． A．2.5 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理计算出的长，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是． 【变式训练2】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，矩形的边在数轴上，，两点在数轴上对应的数分别为和2，，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出，再根据实数与数轴解答． 【详解】解：∵A、D两点在数轴上对应的数分别为和2， ∴， 由题意可知：， 由勾股定理得：， 则， ∴点E在数轴上所表示的数为． 题型七 实数的大小比较 【典例精讲】（23-24八年级上·四川成都·期中）比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）比较大小：______3（填，，） 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 由得到，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小：_____5．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，可将5转化为 ，然后比较被开方数的大小本题考查实数的大小比较． 【详解】解：∵，且， ， 即． 故答案为：． 题型八 勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在数轴上点A表示实数______． 【答案】 【分析】根据勾股定理得到，结合数轴即可求解． 【详解】解： ， 点A表示实数为． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【真题演练1】（2025·江苏徐州·中考真题）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， 可以取到的值为. 故选：B． 【真题演练2】（2025·四川成都·中考真题）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A、，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； C、3.1415是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、0，是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【真题演练3】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的数字表示，勾股定理，根据作图得到相等的线段是解题的关键． 首先根据题意结合勾股定理求出的长，进而得到的长即可求解点M表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∵以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点， ∴， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·湖南衡南·中考真题）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数是且．以点为圆心、长为半径画弧，交数轴原点右边于点，则点表示的数是___________．    【答案】 【分析】本题考查了无理数的几何表示、勾股定理的计算，掌握“数轴上的点与实数一一对应” 等知识点，利用数形结合的数学思想是解题的关键． 先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·河南南阳·中考真题）期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． ，可忽略，得， 解得，． 仿照小李的探索过程，解答下列问题： (1)的整数部分为________； (2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿照示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列各数：，，，，……（每两个之间零的个数逐次加）中，无理数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需依据无理数的定义（无限不循环小数），无理数常见的表示方法有：开方开不尽的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：……（每两个之间零的个数逐次加）． 【详解】解：是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 是无限循环小数，属于有理数， 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 中是无理数，故为无限不循环小数，属于无理数， （每两个1之间零的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数的个数为个． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）在实数，，，，中，无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，频率的计算，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 先判断每个数是否为无理数，统计无理数的个数，再根据频率=无理数个数÷总个数计算频率即可得出结果． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数； ，是无理数，∴是无理数； ，是整数，属于有理数； 中是无理数，∴是无理数； 是循环小数，属于有理数； ∴无理数共有2个，总共有5个数， ∴无理数出现的频率为， 故选C． 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，，，则a的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、实数与数轴．根据勾股定理求得的长，再数形结合即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，， ∴， ∵与数轴垂直，且， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，为数轴原点，点对应的数是3，过作数轴的垂线，在垂线上取等于2个长度，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示为_____． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴点表示为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴和勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． 先求出的长度，由垂直得出直角，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间的距离求出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． (1)求梯子底端外移的距离（的长）； (2)试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是利用勾股定理求水平距离，通过平方比较无理数的大小来判断长度关系． （1）先在中求，再求下滑后的长度，在中求，由得外移距离； （2）通过比较与的平方大小，推导与的大小关系． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：梯子底端外移的距离为． （2）解：，理由要比较与的大小， 只需比较与的大小，即比较与的大小， ∵，，且， ∴， ∴，即． 答：梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离． 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 【答案】(1)， (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴即点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是为， ∵， ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 10．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）估算出即可得解； （2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为； （2）解：设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 由图形可得：， ∵， ∴， 当时，假设忽略不计，得， 解得：， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 2．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·周测）在3.141、、、、、、（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、0这八个数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：3.141是有限小数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； ，都是无理数，且无法化为有理数，属于无理数 是无限不循环小数，是无理数， ，属于有理数； 是分数，属于有理数； （相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、是无限不循环小数，属于无理数； 0是整数，属于有理数； 综上所述：无理数有3个； 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·重庆江津·期末）一个各数位上的数字不完全相同且均不为的四位正整数，若它的千位数字与百位数字之和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和方数”．如“”中，，所以是“和方数”．则最小的“和方数”是______；若“和方数”满足，，且是整数，则满足条件的“和方数”的最大值为______． 【答案】 【分析】本题是一道新定义型的综合题，结合新定义的理解与转化，根据平方数的性质，运用代数化简与整数条件分析最值问题，是解题的关键． 首先，根据“和方数”的定义，即四位数满足，其中均不为且数字不完全相同，求最小时，需使千位数字最小，且为两位数，故取，对应，得；求最大时，需满足为整数，其中，，该条件要求为偶数，故取 4，6，8．为最大化，取且千位数字最大，得，对应． 【详解】解：对于最小“和方数”： 由于必须为两位数，且均不为，故，当时，，即，为最小化， 取千位数字，则，得，数字不完全相同且均不为，满足条件； 对于最大“和方数”： ，令，则需为整数， 故必须为偶数，即，对应分别为， 故分别为，为最大化，取且千位数字最大， 由且，得，对应，数字均不为且不完全相同，且 为整数，满足条件． 故答案为：1316；． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 【答案】606 【分析】本题主要考查取整函数，明确取整函数的性质：等价于即每个整数对应一段连续的值，计算每一段的和即可得出结论． 【详解】解：当且仅当（为整数）， 当时，，，共3个，和为； 当时，，，共5个，和为； 当时，，，共7个，和为； 当时，，，共9个，和为； 当时，，，共11个，和为； 当时，，，共13个，和为； 当时，，，共15个，和为； 当时，，，共17个，和为； 当时，，，共18个，和为； ∴， 故答案为：606． 7．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）设，，，为或，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了奇数与偶数的认识，实数奥数问题综合．分析式子的奇偶性是解题的关键． 由题意知的奇偶性与的奇偶性相同，根据的结果知其为奇数，则结论成立． 【详解】解：设， 而，，，为或， 故的奇偶性与的奇偶性相同， ，结果为奇数， 故，即． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知数轴上点A表示，点B表示，如果存在点P，满足，求点P表示的数是多少？ 【答案】或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式以及绝对值方程的求解，熟练掌握数轴上两点间距离公式，并能根据点的位置分情况讨论求解方程是解题的关键．设点表示的数为，分点在点左侧、在点和点之间、在点右侧三种情况，根据列方程求解． 【详解】解：设点表示的数为． 点表示，点表示， ． 点表示，点表示， ． ， ，即． 情况一：点在点左侧，即 此时，， ， ， ， ． ，符合点在点左侧． 情况二：点在点和点之间，即 此时，， ， ， ， ．，符合点在点和点之间． 情况三：点在点右侧，即 此时，， ， ， ． ，此时不符合点在点右侧，舍去． 综上，点P表示的数为或． 10．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析； (3)． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数． 根据面积的公式可知：面积为的正方形的边长为，在数轴上构造直角边长为的等腰直角三角形，以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为， 把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是； 在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，这一点在点的左侧，根据两点的位置关系比较两数的大小． 【详解】（1）解：面积为的正方形的边长为， 点表示的数是， 如下图所示，在数轴上作直角边长为的等腰直角三角形， 以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆， 圆与数轴的交点表示的数即为， 故答案为：； （2）解：把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是， 在数轴上表示点如下图所示， 故答案为：； （3）解：如下图所示，在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形， 以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为， 这一点在点的左侧， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $