专题01 平面向量及其应用（期末真题汇编，云南专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题试题汇编，涵盖9大核心考点，精选云南各地期中期末真题，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|多题|向量概念、数量积、坐标运算|基础题考查概念辨析（如向量平行与相等判断）| |多选|多题|三点共线、新定义运算|结合菱形、正方形图形考查向量关系| |填空|多题|极化恒等式、三角形四心|坐标法求数量积最值（如正方形动点问题）| |解答|多题|线性表示、物理应用|综合考查向量模与夹角计算，物理情境（小船渡河、共提行李）贴合实际|

专题01 平面向量及其应用 平面向量及其应用在高考中常以基础题型进行考查，在云南省高一统测中作为重点考查内容，主要考查向量的基本定理，数量积和坐标运算，并结合图形进行最值等的应用. 高频考点概览 考点01向量的概念和表示 考点02向量的基本定理和线性表示 考点03向量的数量积和夹角 考点04 向量的坐标运算及平行和垂直 考点05 平面向量的物理应用 考点06 三点共线、等和线及最值 考点07 坐标法求数量积最值和极化恒等式 考点08 向量的新定义 考点09 三角形四心和奔驰定理 ( 考点01 向量的概念和表示 ) 1．（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 【答案】D 【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误； 对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误； 对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反． 根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确， 故选：D． 2．（20-21高一下·云南保山·期中）下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【分析】由平面向量的相关概念判断. 【详解】A.规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确； 故选：B 3．（22-23高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断. 【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同； “存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况． 所以，“存在实数，使得”不能推出是“”； “”可以推出“存在实数，使得”， 所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高一下·云南文山·期中）以下命题中正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意； 对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确； 对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意. 故选：C． 6．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 【答案】CD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. ( 考点0 2 向量的基本定理和线性表示 ) 1．（24-25高一下·云南·期末）（多选）已知在矩形中，对角线，相交于点，则下列选项一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误. 【详解】因为在矩形中，对角线，相交于点，如图： 对于A，，故A选项错误； 对于B，因为矩形的对角线的长度相等，所以，故B选项正确； 对于C，因为矩形的对角线不一定垂直，所以不一定等于0，故C选项错误； 对于D，因为矩形的对角线互相平分，所以，故D选项正确. 故选：BD. 2．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线建立方程，由基底的定义，可得答案. 【详解】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误； 对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误； 对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误. 故选：B. 3．（20-21高二上·云南曲靖·期末）在中，点在边上，点在边上，且，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用平面向量加法、减法以及数乘运算即可求解. 【详解】 . 故选：A 4．（22-23高一下·云南·期末）在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形关系进行平面向量的加减法运算即可. 【详解】如下图所示， 因为线段为边上的中线，点满足， 所以 ， 又因为，所以. 故选：A 5．（21-22高二上·云南红河·期中）已知M，N分别是线段上的点，且，若，则___________. 【答案】 【分析】根据题意，结合平面向量的减法、数乘运算，即可求解. 【详解】根据题意，由，，得，， 因此， 因为，所以，，故. 故答案为：. ( 考点0 3 向量的数量积 和夹角 ) 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（ ） A．0 B．16 C．40 D．32 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由，得，则， 由为的中点，得， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知，且与的夹角为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据模长及夹角得出，再应用夹角余弦公式计算求解即可. 【详解】因为， ， 所以与的夹角为， 故选:B． 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为. 故选：D． 5．（25-26高二上·云南·期中）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 6．（24-25高三下·云南临沧·阶段检测）已知不共线向量，，若向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，结合向量加法的几何意义作向量，，在平行四边形中，，，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得. 【详解】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得作向量，， 在平行四边形中，，， 由向量平分与的夹角，得平行四边形是菱形，即， 对于A，与不一定垂直，所以不一定为，A错误； 对于B，，即，B正确； 对于C，虽然，但是不一定为正三角形， 所以与不一定相等，C错误 对于D，由选项A知，不一定为，则与不一定相等，D错误． 故选：B． 7．（22-23高一下·云南保山·期末）（多选）图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】对A，利用平面向量的数量积定义计算即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用向量的减法和相反向量即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断． 【详解】连接，与交于点，如图所示， 对于A：设正六边形的边长为，由正六边形性质可知，， 所以，A正确； 对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向， 易知，均为含角的直角三角形， 故，，即， 所以， 又因为，故， 故，故B正确； 对于C：，显然由图可得与为相反向量，故C错误； 对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD． 8．（24-25高一下·云南楚雄·阶段检测）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】（1）利用可得，展开进行计算即可； （2）利用投影向量的计算公式计算即可； （3）利用即可得解. 【详解】（1），，即， ，，； （2）在方向上的投影向量为； （3）， . 9．（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【详解】（1）点是的中点，， 故， ； （2）由（1）知， ． ( 考点0 4 向量的坐标运算 及平行和垂直 ) 1．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（ ） A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标表示求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知向量，，则（ ） A．5 B．25 C． D．7 【答案】A 【分析】由向量减法运算、模的坐标计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）向量，若，则（ ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：B. 4．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知向量满足，，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出，再将平方，并开方，即可求解． 【详解】因为， 则，即，解得，， 则， ． 故选：B． 5．（25-26高三上·云南德宏·期末）若向量、满足：，，则（ ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列出等式，进而求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·云南·期末）已知平面向量，．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示直接列方程，解方程即可. 【详解】由已知，，且， 则， 解得， 故选：B 7．（23-24高二上·云南·期末）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，然后再利用夹角公式计算即可. 【详解】由得，设 又， 所以， 由于， 所以与的夹角为. 故选：C. 8．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 9．（22-23高一下·云南曲靖·期中）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】由为钝角，得到且与夹角不为，代入公式计算，再看与夹角是否可能为即可得解. 【详解】由，且为钝角，所以，解得， 当时，则，解得，此时与夹角为，不成立， 且． 故答案为：且． 10．（21-22高三·云南昆明·开学考试）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为___________.（用坐标作答） 【答案】 【分析】设点，求出，再利用投影向量的公式求解. 【详解】解：设点，则，根据题意若将逆时针旋转，即可得，故， 整理得， 而由A、B两点坐标可知， 故：，解得， 则点P的坐标为，所以. 所以向量在向量上的投影向量为 故答案为： 11．（24-25高一下·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，已知向量． (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积和向量垂直的坐标表示可求得，然后确定的值，进而求出答案. （2）首先根据向量的数量积和向量的夹角求出，然后根据的范围求出. 【详解】（1）若，则， 即，又，所以，所以． （2）， 若与的夹角为， 则， 即，则，即， ，． 则，即． 12．（20-21高一下·云南昆明·期末）向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题． （1）（ⅰ）若，，比较与的大小； （ⅱ）若，，比较与的大小； （2），为非零向量，，，证明：； （3）设为正数，，，，求的值． 【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ）；（2）具体见解析；（3）. 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求得； （2）根据容易发现，为两个平面向量的数量积，分别为两个平面向量模的平方，根据即可证明； （3）根据这样的结构，可以设，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求得. 【详解】（1）（ⅰ），， ∴； （ⅱ），， ∴； （2）∵，，而， ∴； （3）设，∴，， ∴，而为正数，∴， 即，则同向.设，即，∴， ∴. ( 考点0 5 平面向量的物理应用 ) 1．（22-23高一下·云南昭通·期末）河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法法则结合勾股定理计算即可. 【详解】由题意，，作出示意图如图所示，， 故选：B. 2．（20-21高一下·云南昆明·期中）已知三个力，，作用在平面内某物体的同一点上，使得该物体保持静止，若，，则_____ 【答案】 【分析】根据，利用向量的运算法则即可求出． 【详解】设，由条件知，所以，解得，，所以． 故答案为：． 3．（20-21高一下·云南保山·期末）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为___________，___________. 【答案】； 【分析】设两根绳子的拉力分别为，作平行四边形OACB，使求解. 【详解】解：如图所示： 设两根绳子的拉力分别为， 作平行四边形OACB，使， 在平行四边形OACB中，， 则， 所以，， 所以物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为，， 故答案为：，. 4．（23-24高一下·云南保山·阶段检测）（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（ ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解. 【详解】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD ( 考点0 6 三点共线、等和线及最值 ) 1．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出. 【详解】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得. 【详解】因为所以 由, 因三点共线，由共线定理推论可得，解得 故选：A. 3．（24-25高一下·云南·期中）若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 4．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B. 5．（21-22高一下·云南昆明·期中）（多选）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ） A．若点P在BD上时，则 B．的取值范围为 C．若点P在BD上时， D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D. 【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确； 因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且， 所以，则，故B错误； 当点P在BD上时，， 所以，故C正确； 若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系， 设，则，， ∴ ∴当时，有最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 6．（20-21高一下·云南昆明·期中）（多选）如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（ ） A．为定值 B．且 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建，设，，可得，根据已知条件以及向量线性运算的坐标表示可得 ，，再利用三角函数的性质以及三角恒等变换即可得出正确选项. 【详解】 如图：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，，， 设，，因为，所以， ，，， 由可得：， 所以，，即，， 对于选项A：， 的值随的变化而变化，所以不是定值，故选项A不正确； 对于选项B：可得，所以， 故选项B正确； 对于选项C：，因为，可得 当时，的最大值为，而不是最小值，故选项C不正确； 对于选项D： 当时，最大值为，故选项D正确， 故选：BD. 7．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. ( 考点0 7 坐标法求 数量积最值 和极化恒等式 ) 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在中，，，，E，F为线段AB上的点且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由已知结合数量积的运算律可得，再利用向量的线性运算及数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得， 则，而，又， 所以. 故选：A 2．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 3．（22-23高一下·云南昆明·期末）在梯形中，，，，为线段上的动点，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设，其中，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】在梯形中，，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设点为线段的中点，则， 设，其中， ， ， 则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 4．（19-20高二下·云南昆明·期末）如图，正方形的边长为2，是以为直径的半圆弧上一点，则的最大值为_____________． 【答案】6 【分析】先建立平面直角坐标系，再表示出点的坐标，接着表示出，，最后求求得最大值即可. 【详解】解：以点为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则， 由图可知以为直径的圆的方程为：，参数方向：， 因为是以为直径的半圆弧上一点，所以，（）， 所以，， 则， 当时，取得最大值. 故答案为：6 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题 5．（18-19高一上·云南玉溪·期末）如图，是等腰直角三角形，，是线段上的动点，且，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，即可得到的坐标，设，即可表示出的表达式，然后利用二次函数知识可求出的范围． 【详解】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则， 所以，， 故， 当时，取得最小值为，当或时，取得最大值为， 故的取值范围是. 【点睛】本题考查了平面向量的性质，向量的数量积，考查了二次函数的性质，属于中档题． 6．（25-26高一下·云南楚雄·期中）在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. ( 考点0 8 向量的 新定义 ) 1．（24-25高一下·云南昭通·期中）（多选）定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】由的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，B选项，两个非零向量， 所以，即， 所以得到同向或反向，故A正确，B错误； 对于C，由定义知，，故C正确； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确， 故选：ACD． 2．（23-24高一下·云南昭通·期末）（多选）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由题意可得，进一步即可判断；对于B，由三角形面积公式即可判断；对于C，由向量的夹角公式、模的计算公式直接验算即可；对于D，由条件等式得，结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解. 【详解】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即， 可得，且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知， 则，且，可得， 所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确， 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 3．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）（多选）设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】因为向量和的“仿射坐标”分别为，， 所以，，又因为，是夹角为的单位向量， 所以，，， 则，故A错误； 若，则，则的“仿射坐标”为，故B正确； 由得，解得，故C正确； 若，则，得，故D错误． 4．（23-24高一下·云南玉溪·期末）类比于二维空间（即平面），向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，，且维空间向量满足. (1)当，求. (2)证明：； (3)若是正实数，且满足，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得，结合夹角公式运算求解； （2）根据题意结合数量积的定义分析证明； （3）根据题意结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）因为，则， 所以. （2）因为，， 则， 且，可得，当且仅当共线时，等号成立， 所以. （3）因为是正实数，则，当且仅当，即时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立， 同理可得：，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 此时满足，即等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：对于（2），利用数量积将代数问题转化为向量问题，进而分析证明. ( 考点0 9 三角形四心和奔驰定理 ) 1．（20-21高一下·云南大理·期中）在中，，，，则直线通过的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中, 故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 2．（21-22高一下·云南昆明·期中）点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】设中点为，中点为，根据向量关系可得，即可表示出面积关系. 【详解】如图，设中点为，中点为， 因为，即，则， 即， 则， 所以的面积与的面积的比值是6. 故选：B. 3．（20-21高一下·云南玉溪·期末）（多选）已知点O，N，P在所在平面内，下列说法正确的有（ ） A．若，则O是的内心 B．若，则 C．若，则P为的垂心 D．若，且，则为等边三角形 【答案】BCD 【分析】对于A，由条件可知，从而可得结论；对于B，由可得为的重心，由重心的性质可得结论；对于C，由已知式子两两相等进行化简可得结论；对于D，由可得角的平分线与垂直，再由可求出角，进而可得结论 【详解】解：对于A，因为，所以，所以O是的外心，所以A错误； 对于B，设为的中点，因为，，所以，即，可得在上，所以为的重心，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以,,，所以，所以，所以P为的垂心，所以C正确， 对于D，因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，所以为角的平分线，因为，所以角的平分线与垂直，所以，因为，所以，而，所以，所以为等边三角形，所以D正确， 故选：BCD 4．（22-23高一下·云南大理·期末）在中，为其外心，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】根据向量的模长公式，结合外心的性质即可求解. 【详解】由可得，平方可得, 由于为外心，所以， 所以, 故答案为： 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 平面向量及其应用在高考中常以基础题型进行考查，在云南省高一统测中作为重点考查内容，主要考查向量的基本定理，数量积和坐标运算，并结合图形进行最值等的应用. 高频考点概览 考点01向量的概念和表示 考点02向量的基本定理和线性表示 考点03向量的数量积和夹角 考点04 向量的坐标运算及平行和垂直 考点05 平面向量的物理应用 考点06 三点共线、等和线及最值 考点07 坐标法求数量积最值和极化恒等式 考点08 向量的新定义 考点09 三角形四心和奔驰定理 ( 考点01 向量的概念和表示 ) 1．（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 2．（20-21高一下·云南保山·期中）下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 3．（22-23高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 5．（24-25高一下·云南文山·期中）以下命题中正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 ( 考点0 2 向量的基本定理和线性表示 ) 1．（24-25高一下·云南·期末）（多选）已知在矩形中，对角线，相交于点，则下列选项一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·云南曲靖·期末）在中，点在边上，点在边上，且，，若，，则（ ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·云南·期末）在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（ ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·云南红河·期中）已知M，N分别是线段上的点，且，若，则___________. ( 考点0 3 向量的数量积 和夹角 ) 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）在中，为的中点，则（ ） A．0 B．16 C．40 D．32 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知，且与的夹角为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南·期中）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 6．（24-25高三下·云南临沧·阶段检测）已知不共线向量，，若向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·云南保山·期末）（多选）图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 8．（24-25高一下·云南楚雄·阶段检测）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 9．（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． ( 考点0 4 向量的坐标运算 及平行和垂直 ) 1．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（ ） A．5 B．6 C．12 D．16 2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知向量，，则（ ） A．5 B．25 C． D．7 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）向量，若，则（ ） A． B．1 C．3 D．4 4．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知向量满足，，则（ ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高三上·云南德宏·期末）若向量、满足：，，则（ ） A．1 B． C．10 D． 6．（24-25高二下·云南·期末）已知平面向量，．若，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南·期末）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 9．（22-23高一下·云南曲靖·期中）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是______． 10．（21-22高三·云南昆明·开学考试）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为___________.（用坐标作答） 11．（24-25高一下·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，已知向量． (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求的值． 12．（20-21高一下·云南昆明·期末）向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题． （1）（ⅰ）若，，比较与的大小； （ⅱ）若，，比较与的大小； （2），为非零向量，，，证明：； （3）设为正数，，，，求的值． ( 考点0 5 平面向量的物理应用 ) 1．（22-23高一下·云南昭通·期末）河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A． B． C． D． 2．（20-21高一下·云南昆明·期中）已知三个力，，作用在平面内某物体的同一点上，使得该物体保持静止，若，，则_____________. 3．（20-21高一下·云南保山·期末）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为___________，___________. 4．（23-24高一下·云南保山·阶段检测）（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（ ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， ( 考点0 6 三点共线、等和线及最值 ) 1．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南·期中）若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．2 5．（21-22高一下·云南昆明·期中）（多选）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ） A．若点P在BD上时，则 B．的取值范围为 C．若点P在BD上时， D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1 6．（20-21高一下·云南昆明·期中）（多选）如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（ ） A．为定值 B．且 C．的最小值为 D．的最大值为 7．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． ( 考点0 7 坐标法求 数量积最值 和极化恒等式 ) 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在中，，，，E，F为线段AB上的点且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 2．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·云南昆明·期末）在梯形中，，，，为线段上的动点，则的最小值为______. 4．（19-20高二下·云南昆明·期末）如图，正方形的边长为2，是以为直径的半圆弧上一点，则的最大值为_____________． 5．（18-19高一上·云南玉溪·期末）如图，是等腰直角三角形，，是线段上的动点，且，则的取值范围是_____________. 6．（25-26高一下·云南楚雄·期中）在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. ( 考点0 8 向量的 新定义 ) 1．（24-25高一下·云南昭通·期中）（多选）定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 2．（23-24高一下·云南昭通·期末）（多选）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 3．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）（多选）设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一下·云南玉溪·期末）类比于二维空间（即平面），向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，，且维空间向量满足. (1)当，求. (2)证明：； (3)若是正实数，且满足，求证：. ( 考点0 9 三角形四心和奔驰定理 ) 1．（20-21高一下·云南大理·期中）在中，，，，则直线通过的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 2．（21-22高一下·云南昆明·期中）点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（20-21高一下·云南玉溪·期末）（多选）已知点O，N，P在所在平面内，下列说法正确的有（ ） A．若，则O是的内心 B．若，则 C．若，则P为的垂心 D．若，且，则为等边三角形 4．（22-23高一下·云南大理·期末）在中，为其外心，，若，则___________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $