专题01 一元一次不等式（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

专题01 一元一次不等式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质 题型3 在数轴上表示不等式的解集 题型4 一元一次不等式的定义 题型5 解一元一次不等式 题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型7 一元一次不等式的应用 题型8 解一元一次不等式组 题型9 一元一次不等式组的整数解 题型10 一元一次不等式组的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 不等式的定义与基本性质 2. 一元一次不等式的定义、解法及解集的数轴表示 3. 一元一次不等式组的解法、解集规律及整数解 4. 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）5. 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 基础题：以选择、填空为主，考查不等式性质辨析、解一元一次不等式（组）及数轴表示解集 2. 中档题：考查含参数的不等式（组）解集问题、整数解与参数取值范围的结合 3. 解答题：侧重结合销售、分配、工程等实际场景，考查列不等式（组）解决实际问题，突出建模能力 考情解码：本专题是初中代数核心基础模块，中考必考，分值约 6-10 分。题型覆盖全面，其中解一元一次不等式（组）及实际应用是高频考点；易错点集中在不等式性质 3（乘除负数时不等号方向改变）、含参数解集的边界判断、实际问题中不等关系的准确转化。 知识点一 不等式及其性质 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 1.不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 2．不等式性质2 如果，那么． 3．不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 4．不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 5．不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 即时即练设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞ 【分析】根据不等式的性质，即可求解 【详解】解：∵， ∴（1）>； （2）>； （3）<； （4）>． 方法总结 先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了怎样的变形得来的，然后再对照不等式的性质，决定是否改变不等号的方向. 知识点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 即时即练下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 2.不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 3.不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 即时即练解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，， 数轴表示如下： 4.解一元一次不等式 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 即时即练按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 知识点三 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 即时即练不等式组： 【答案】 【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 题型1 不等式的定义 例1．在下面的式子中，不等式有（　　） ①x≠1； ②4x+3y＞0； ③x＝3； ④x﹣1； ⑤x+2≤5． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括＞，＜，≤，≥，≠等． 【解答】解：①x≠1含有不等号≠，是不等式，符合题意； ②a+b含有不等号＞，是不等式，符合题意； ③x＝3是等式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； ④x﹣1是代数式，没有表示不等关系，不是不等式，不符合题意； ⑤x+2≤5含有不等号≤，是不等式，符合题意； 所以共有3个不等式． 故选：B． 【点评】本题考查的是不等式的定义，熟知用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解题的关键． 例2．下列式子中：①3＞0；②5x﹣4＜8；③2x+4y；④m＝﹣1；⑤t2+2t≥﹣1．其中不等式有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据不等式的概念判定即可． 【解答】解：下列式子中：①3＞0；②5x﹣4＜8；③2x+4y；④m＝﹣1；⑤t2+2t≥﹣1． ③2x+4y没有不等号，不是不等式，④m＝﹣1是等式， 则不等式有①3＞0，②5x﹣4＜8；⑤t2+2t≥﹣1，一共有3个， 故选：B． 【点评】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键． 【易错提醒】 用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【变式训练1-1】根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：　 　 ． 【答案】2m+n≤3． 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【解答】解：∵m的2倍可表示为2m，m的2倍与n的和可表示为2m+n． ∴不等式为2m+n≤3． 故答案为：2m+n≤3． 【点评】本题考查的是不等式，熟知用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式是解题的关键． 【变式训练1-2】写出一个不等式，使它与不等式﹣x＞﹣1组合为一个不等式组，不等式组的解集是﹣1≤x＜1，你写出的这个不等式是　 　． 【答案】x+1≥0（答案不唯一）． 【分析】先求出不等式﹣x＞﹣1的解，结合不等式组的解集﹣1≤x＜1，得出需写一个不等式，其解集为x≥﹣1，根据题意写出不等式即可． 【解答】解：根据题意可得，需写一个不等式，其解集为x≥﹣1， 由条件可知x≥﹣1， 故不等式x+1≥0与不等式﹣x＞﹣1组合为一个不等式组，解集是﹣1≤x＜1． 故答案为：x+1≥0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式训练1-3】根据下列数量关系列不等式：x的5倍不大于4的不等式是 　 　 ． 【答案】5x≤4 【分析】根据题意即可作答． 【解答】解：根据题意可得，5x≤4． 故答案为：5x≤4． 【点评】本题主要考查不等式的定义，根据题意找到不等关系是解题的关键． 题型2 不等式的性质 例3．如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10千克，则图中显示物体质量的范围是（　　） A．大于20千克 B．小于30千克 C．大于20千克且小于30千克 D．大于20千克或小于30千克 【答案】A 【分析】根据题意可以直接得到物体质量的范围． 【解答】解：天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10千克， 由图可得物体质量大于2个砝码的质量之和，即大于20千克． 故选：A． 【点评】本题考查的是不等式的性质，等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键． 例4．已知a＜b，下列不等式中正确的是（　　） A．a+1＞b+1 B．a﹣1＞b﹣1 C．2a＞2b D．﹣2a＞﹣2b 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．原式a＜b变为a+1＜b+1，故A错误，不符合题意． B．原式a＜b变为a﹣1＜b﹣1，故B错误，不符合题意． C．原式a＜b变为2a＜2b，故C错误，不符合题意． D．原式a＜b变为﹣2a＞﹣2b，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 【易错提醒】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【变式训练2-1】用不等号填空：若a＞b，则a﹣5　 　 b﹣5，﹣4a　 　 ﹣4b，　 　 ． 【答案】＞；＜；＞ 【分析】根据不等式的基本性质1，不等式a＞b不等式两边减同一个数5，不等号的方向不变，则a﹣5＞b﹣5；不等式两边除以同一个负数﹣4，不等号的方向改变则，﹣4a＜﹣4b；不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变则． 【解答】解：∵a＞b，∴根据不等式的基本性质1可得：a﹣5＞b﹣5； 再根据不等式的基本性质3可得：﹣4a＜﹣4b； 再根据不等式的基本性质2可得：． 【点评】不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式训练2-2】如果a＞b，那么﹣3a+1　 　 ﹣3b+1．（填入“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：﹣3a＜﹣3b， ﹣3a+1＜﹣3b+1． 故答案为：＜． 【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式训练2-3】根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为　 　 ． 【答案】a＜0． 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【解答】解：根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”， ∵将“”变形为“6＜ab”，需要在不等号两边同时乘以a， ∵不等号由“＞”变成“＜”， ∴a＜0， 故答案为：a＜0． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 题型3 在数轴上表示不等式的解集 例5．已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得：5＜x＜15，即可解答． 【解答】解：由题意得：5＜x＜15， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：D． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 例6．已知一元一次不等式2（x﹣1）▓﹣x﹣5的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（　　） A．＞ B．≥ C．＜ D．≤ 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的解法得到x▓﹣1，再由题可得x≥﹣1，从而得到答案． 【解答】解：原不等式去括号得2x﹣2▓﹣x﹣5， 3x▓﹣3， x▓﹣1， 不等式2（x﹣1）▓﹣x﹣5的解集x≥﹣1， ∴被墨迹覆盖的不等式符号为：≥， 故选：B． 【方法总结】 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【变式训练3-1】关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 　 　 ． 【答案】x≥3． 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于号，空心表示不能取等于号． 【解答】解：这个不等式组的解集是：x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【变式训练3-2】解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 【答案】﹣1＜x≤3， 不等式组的整数解为0、1、2、3． 【分析】先分别解两个不等式得到x≤3和x＞﹣1，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后用数轴表示解集，从而得到其整数解． 【解答】解：， 解不等式①得x≤3， 解不等式②得x＞﹣1， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 用数轴表示为： 故不等式组的整数解为0、1、2、3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 【变式训练3-3】解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】﹣3≤x＜4，数轴表示见解析． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再在数轴上画出来即可． 【解答】解：解不等式9x≥7x﹣6得：x≥﹣3， 解不等式x﹣4得：x＜4， ∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜4， 在数轴上表示如下： 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．熟练掌握以上知识点是关键． 题型 4 一元一次不等式的定义 例7．下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A．x2+x+9≥0 B．x+1＝0 C．x+y＞0 D．﹣9x≥7x﹣6 E．x2+x+9 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【解答】A选项：x2+x+9≥0，未知数x的最高次数是2，不是一元一次不等式； B选项：x+1＝0是等式，不是不等式； C选项：x+y＞0含有两个未知数，不是一元一次不等式； D选项：﹣9x≥7x﹣6，只含1个未知数x，次数为1，两边都是整式，是一元一次不等式； E选项：x2+x+9只是一个代数式，不是不等式． 故选：D． 【点评】本题考查一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 例8．下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A．x+2y≥2 B．8x+2＜1 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】解：A、二元，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、8x+2＜1是一元一次不等式，故此选项符合题意； C、是分式不等式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D、一元一次不等式组，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【技巧总结】 1.判定要点:只含一个未知数，未知数次数为1。 2.排除条件:分母、根号内不含未知数，无不等号外其他特殊形式。 【变式训练4-1】若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0， 解得：a＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式训练4-2】若（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 【答案】﹣2026． 【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解． 【解答】解：∵（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得a＝﹣2026 【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，绝对值，熟知以上知识是解题的关键． 【变式训练4-3】若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　 ． 【答案】﹣1 【分析】根据一元一次不等式的定义可知m﹣1≠0，|m|＝1，从而可求得m的值． 【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式， ∴m﹣1≠0，|m|＝1． 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 题型5 解一元一次不等式 例9．不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：x﹣2≤0， 移项，得：x≤0+2， 合并同类项，得：x≤2， 解集在数轴上表示如下： ， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 例10．不等式（3﹣π）x＜π﹣3的解集为　 　 ． 【答案】x＞﹣1 【分析】先判断出3﹣π的符号，再把x的系数化为1即可． 【解答】解：∵π≈3.14， ∴3﹣π＜0， ∴x，即x＞﹣1． 故答案为：x＞﹣1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 【技巧总结】 步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【变式训练5-1】已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是　 　 ． 【答案】m＜2． 【分析】先对不等式右侧变形，再根据解集的不等号方向变化判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【解答】解：原不等式变形可得： （m﹣2）x＞（m﹣2）（m+2）， ∵原不等式的解集为x＜m+2， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2． 故答案为：m＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练5-2】若方程组的解x，y满足x+y＞5，则m的取值范围为 　 　 ． 【答案】m＞3 【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围即可． 【解答】解：①+②得：x+y＝m+2， ∵x+y＞5， ∴m+2＞5， 解得：m＞3， 故答案为：m＞3． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【变式训练5-3】解不等式3x﹣5≤3﹣2（x﹣1），并在数轴上表示出它的解集． 【答案】x≤2，数轴表示如下： 【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可． 【解答】解：原不等式去括号得：3x﹣5≤3﹣2x+2， 移项合并同类项得：5x≤10， 解得：x≤2， 在数轴上表示出它的解集，如图： 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式 例11．一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品原价为y元，那么可列式为（　　） A．30+30×15%≤85%y B．30+30×15%≥85%y C．30﹣30×15%≤85%y D．30﹣30×15%≥85%y 【答案】A 【分析】利用利润与进件以及打折与原价的关系得出不等关系即可． 【解答】解：设该商品原价为y元，那么可列式为： 30+30×15%≤85%y． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解利润与进件以及打折与原价的关系是解题关键． 例12．小明准备用零花钱购买一个学生VR眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，不等式可列为　 　 ． 【答案】25x+60≥480． 【分析】每月存25元，则x个月存25x元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【解答】解：他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元， 由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此25x+60≥480， 故答案为：25x+60≥480． 【点评】本题考查列不等式，正确进行计算是解题关键． 【技巧总结】 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【变式训练6-1】a的减去4的差不小于﹣4用不等式表示为　 　 【答案】． 【分析】，a的减去4即为，不小于﹣4即为大于等于﹣4，据此列出不等式即可． 【解答】解：a的减去4的差不小于﹣4用不等式表示为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，找出不等量关系是解答本题的关键． 【变式训练6-2】用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是 　 　 ． 【答案】7y﹣16＜0． 【分析】先表述出7与y的积减16的差为7y﹣16，再根据负数即“＜0”可得答案． 【解答】解：用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是7y﹣16＜0， 故答案为：7y﹣16＜0． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式． 【变式训练6-3】小强在一次检测中，语文与英语平均分数是76分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，则数学分数x应满足的关系为　　 　　 ． 【答案】152+x≥240 【分析】理解：平均分不低于80意思，即三科总分大于或等于80×3． 【解答】解：根据题意，得 76×2+x≥80×3，即152+x≥240． 【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 题型7 一元一次不等式的应用 例13．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（　　） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 【答案】C 【分析】根据“利润＝售价﹣进价，利润不低于700元”列出不等式求解即可． 【解答】解：设该电视机定价为x元， 根据题意列一元一次不等式得，0.9x﹣5600≥700， 整理得，0.9x≥6300， 解得x≥7000， ∴该电视机定价最少为7000元， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 例14．小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少　 　 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17． 【分析】设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【解答】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 由题意可得：x（45+x﹣13）， 解得x＞16， ∵x为整数， ∴x的最小值为17， 即小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 【技巧总结】 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【变式训练7-1】某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对　 　 道题． 【答案】14． 【分析】设他答对x道题，则答错和不答共（20﹣x）道，根据该生成绩要超过60分，可得出不等式，解出即可． 【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答共（20﹣x）道， 由题意，得：5x﹣（20﹣x）＞60， 解得：x， 则他至少要答对14道题． 故答案为：14． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到不等式关系． 【变式训练7-2】某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出　 　 个杯子． 【答案】34． 【分析】根据销售款超过进货款的不等关系列出一元一次不等式，结合杯子数量为正整数，即可求得最小售出数量． 【解答】解：设这时已售出x个杯子，这批杯子的总进货款为8×50＝400元， 根据题意列一元一次不等式得，12x＞400， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 故答案为：34． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 【变式训练7-3】某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 【答案】87分． 【分析】根据题意列出不等式并解不等式即可． 【解答】解：小王第一次得分70分，第二次得分83分， 设第三次得x分，根据题意， 可得 70+83+x≥80×3， 解得 x≥87， 所以，第三次至少得87分，才能使三次的平均分不低于80分． 【点评】本题考查一元不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 题型8 解一元一次不等式组 例15．已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（　　） A．3 B．2 C．4 D．﹣1 【答案】D 【分析】根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【解答】解： 解①得x＞1， 解②得x＜a． ∵此不等式组无解， ∴a≤1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 例16．不等式组的解集是　 　 ． 【答案】3＜x＜5． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【解答】解：由不等式x﹣2＞1得x＞3， 由﹣2x＞﹣10得x＜5， ∴不等式组的解集为3＜x＜5； 故答案为：3＜x＜5． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解集，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法． 【技巧总结】 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【变式训练8-1】若不等式组无解，则a的取值范围是　 　． 【答案】a≥﹣1． 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴2﹣a≤3， 解得：a≥﹣1， 故答案为：a≥﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练8-2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】见试题解答内容 【分析】先分别解两个不等式得到x＞﹣3和x≤2，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集． 【解答】解：， 解①得x＞﹣3， 解②得x≤2， 所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2， 用数轴表示为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【变式训练8-3】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】﹣2＜x≤﹣1，数轴见解答． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1， ． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型9 一元一次不等式组的整数解 例17．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是　 　 ． 【答案】﹣3＜a≤﹣2 【分析】将a看作已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可确定出a的范围． 【解答】解：由不等式组得：a≤x≤2， ∵不等式组的整数解有5个， ∴﹣3＜a≤﹣2． 故答案为：﹣3＜a≤﹣2． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键． 例18．不等式的所有整数解的和是　 　 ． 【答案】5． 【分析】先解不等式，得到x的范围，再找出所有整数解，最后求它们的和即可． 【解答】解：去分母可得：﹣5≤4﹣3x＜10， 解不等式﹣5≤4﹣3x得x≤3， 解不等式4﹣3x＜10得x＞﹣2， ∴﹣2＜x≤3， ∴不等式的所有整数解为﹣1，0，1，2，3， ∴不等式的所有整数解的和为﹣1+0+1+2+3＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确进行计算是解题关键． 【技巧总结】 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【变式训练9-1】按要求完成下列计算： （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）x＜﹣1，； （2）不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1． 【分析】（1）根据解不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别得出不等式的解集，再根据求公共解集的技巧得原不等式组的解集，最后，将解集在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别得出不等式的解集，再根据求公共解集的技巧得原不等式组的解集，最后，求出不等式组的公共整数解即可． 【解答】解：（1）解不等式，得x＜﹣1， 解不等式3（5﹣x）≥2x+5，得x≤2， 所以原不等式组的解集为x＜﹣1， 数轴表示如下： ； （2）由题知， 原不等式组可化为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【变式训练9-2】解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【答案】最大整数解是﹣3． 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可． 【解答】解：， 由①得：x＜﹣2， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解集是x＜﹣2， ∴它的最大整数解是﹣3． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集． 【变式训练9-3】解不等式组：，并写出所有负整数解． 【答案】﹣3≤x≤1，负整数解为﹣3，﹣2，﹣1． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有负整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x≤1， 故不等式组的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 题型10 一元一次不等式组的应用 例19．现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（　　） A．20＜m＜50 B．15≤m＜25 C．20≤m＜25 D．15≤m≤20 【答案】B 【分析】根据题意可得平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可． 【解答】解：一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成． 由题意得，平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米， ∴， 解得15≤m＜25， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确进行计算是是解题关键． 例20．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程x满足（　　） A．x＝8.5 B．7≤x＜8 C．7≤x≤8 D．7＜x≤8 【答案】D 【分析】根据某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，结合计费标准，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：7＜x≤8， ∴甲地到乙地路程x满足7＜x≤8． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【技巧总结】 一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【变式训练10-1】在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有　 　 人． 【答案】5或6． 【分析】设勤奋小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：5x+12，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解． 【解答】解：设勤奋小组一共有x人， ∵如果每人分5本，那么剩余 12本， ∴这些图书的总数为：5x+12， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，即， 由①得：， 由②得：x＞4， ∴不等式组的解集为：， ∵x为正整数， ∴x＝5或x＝6， ∴勤奋小组一共有5人或6人， 故答案为：5或6． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式训练10-2】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． （1）沙包和篮球的单价各是多少元？ （2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】（1）沙包的单价为12元，篮球的单价为30元； （2）一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 【分析】（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个， 根据题意列一元一次不等式组得： 解得：52≤m≤54， ∴一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． 1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　） A．a﹣b＜0 B．a+3＜b+3 C．ac2＞bc2 D． 【答案】D 【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b， ∴a+3＞b+3， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2＝0， ∴a＞b，ac2＞bc2不一定成立， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b， ∴， ∴22， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（　　） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 【答案】B 【分析】设小刚买圆珠笔x支，根据小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件得：5x+2（30﹣x）≤100，解得x范围，取最大整数即可得到答案． 【解答】解：设小刚买圆珠笔x支， 根据题意得：5x+2（30﹣x）≤100， 解得x≤13， ∵x为整数， ∴x的最大值为13， ∴小刚最多能买圆珠笔13支； 故选：B． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式解决问题． 3．对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【答案】B 【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：x， 解②得：x， ∵关于x的不等式组有且只有一个整数解， ∴12， 解得：20＜m≤23． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．根据下列数量关系列不等式：x的5倍不大于4的不等式是 　 　 ． 【答案】5x≤4 【分析】根据题意即可作答． 【解答】解：根据题意可得，5x≤4． 故答案为：5x≤4． 【点评】本题主要考查不等式的定义，根据题意找到不等关系是解题的关键． 5．已知x|m|﹣1+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　 ． 【答案】±2． 【分析】利用一元一次不等式的定义及绝对值的性质即可确定出m的值． 【解答】解：由题意可得： ∴|m|﹣1＝1， 则|m|＝2 ∴m＝±2． 故答案为：±2． 【点评】本题考查一元一次不等式的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是　 　 ． 【答案】m＜2． 【分析】先对不等式右侧变形，再根据解集的不等号方向变化判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【解答】解：原不等式变形可得： （m﹣2）x＞（m﹣2）（m+2）， ∵原不等式的解集为x＜m+2， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2． 故答案为：m＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 7．将“a的3倍与4的差是非负数”用不等式表示为　 　 ． 【答案】3a﹣4≥0． 【分析】根据a的3倍与4的差是非负数，列出一元一次不等式即可． 【解答】解：由题意得：3a﹣4≥0， 故答案为：3a﹣4≥0． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 8．关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 【答案】m≥2． 【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1． 【解答】解：， 不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1， 解这个不等式： 2m﹣1≥m+1， 2m﹣m≥1+1， m≥2， ∴m应满足的条件是m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键． 9．求不等式的解集． 【答案】x≤2． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 3x+2（x+1）≤12， 3x+2x+2≤12， 5x≤10， x≤2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？ 【答案】32． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：由5x≤x﹣14+a得，x； 由得，x． 因为该不等式组恰有一个解， 所以， 解得a＝32． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 11．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元． （1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价； （2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？ 【答案】（1）A型号的新型垃圾桶单价为50元，B型号的新型垃圾桶单价为90元； （2）社区最多能买37个B型号的新型垃圾桶． 【分析】（1）设A型号的新型垃圾桶单价为x元，则B型号的新型垃圾桶单价为（x+40）元，根据题意可列方程，求解即可． （2）设购买B型号的新型垃圾桶m个，则购买A型号的新型垃圾桶（50﹣m）个，再根据总费用不超过4000元的条件列不等式，结合m数量为非负整数的实际要求，求出B型号的新型垃圾桶的最大购买数量． 【解答】解：（1）设A型号的新型垃圾桶单价为x元， 根据题意可得 2x+3（x+40）＝370， 解得 x＝50， 则x+40＝50+40＝90， 答：A型号的新型垃圾桶单价为50元，B型号的新型垃圾桶单价为90元； （2）设购买B型号的新型垃圾桶m个， 根据题意，总费用不超过4000元，可得 90m+50（50﹣m）≤4000， 解得 m≤37.5， ∵m是非负整数， ∴m的最大值为37， 答：社区最多能买37个B型号的新型垃圾桶． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质 题型3 在数轴上表示不等式的解集 题型4 一元一次不等式的定义 题型5 解一元一次不等式 题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型7 一元一次不等式的应用 题型8 解一元一次不等式组 题型9 一元一次不等式组的整数解 题型10 一元一次不等式组的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 不等式的定义与基本性质 2. 一元一次不等式的定义、解法及解集的数轴表示 3. 一元一次不等式组的解法、解集规律及整数解 4. 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）5. 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 基础题：以选择、填空为主，考查不等式性质辨析、解一元一次不等式（组）及数轴表示解集 2. 中档题：考查含参数的不等式（组）解集问题、整数解与参数取值范围的结合 3. 解答题：侧重结合销售、分配、工程等实际场景，考查列不等式（组）解决实际问题，突出建模能力 考情解码：本专题是初中代数核心基础模块，中考必考，分值约 6-10 分。题型覆盖全面，其中解一元一次不等式（组）及实际应用是高频考点；易错点集中在不等式性质 3（乘除负数时不等号方向改变）、含参数解集的边界判断、实际问题中不等关系的准确转化。 知识点一 不等式及其性质 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 1.不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 2．不等式性质2 如果，那么． 3．不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 4．不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 5．不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 即时即练设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 方法总结 先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了怎样的变形得来的，然后再对照不等式的性质，决定是否改变不等号的方向. 知识点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 即时即练下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2.不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 3.不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 即时即练解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 4.解一元一次不等式 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 即时即练按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 知识点三 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 即时即练不等式组： 题型1 不等式的定义 例1．在下面的式子中，不等式有（　　） ①x≠1； ②4x+3y＞0； ③x＝3； ④x﹣1； ⑤x+2≤5． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．下列式子中：①3＞0；②5x﹣4＜8；③2x+4y；④m＝﹣1；⑤t2+2t≥﹣1．其中不等式有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【易错提醒】 用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【变式训练1-1】根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：　 　 ． 【变式训练1-2】写出一个不等式，使它与不等式﹣x＞﹣1组合为一个不等式组，不等式组的解集是﹣1≤x＜1，你写出的这个不等式是　 　． 【变式训练1-3】根据下列数量关系列不等式：x的5倍不大于4的不等式是 　 　 ． 题型2 不等式的性质 例3．如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10千克，则图中显示物体质量的范围是（　　） A．大于20千克 B．小于30千克 C．大于20千克且小于30千克 D．大于20千克或小于30千克 例4．已知a＜b，下列不等式中正确的是（　　） A．a+1＞b+1 B．a﹣1＞b﹣1 C．2a＞2b D．﹣2a＞﹣2b 【易错提醒】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【变式训练2-1】用不等号填空：若a＞b，则a﹣5　 　 b﹣5，﹣4a　 　 ﹣4b，　 　 ． 【变式训练2-2】如果a＞b，那么﹣3a+1　 　 ﹣3b+1．（填入“＞”、“＜”或“＝”） 【变式训练2-3】根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为　 　 ． 题型3 在数轴上表示不等式的解集 例5．已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 例6．已知一元一次不等式2（x﹣1）▓﹣x﹣5的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（　　） A．＞ B．≥ C．＜ D．≤ 【方法总结】 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【变式训练3-1】关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 　 　 ． 【变式训练3-2】解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 【变式训练3-3】解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 题型 4 一元一次不等式的定义 例7．下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A．x2+x+9≥0 B．x+1＝0 C．x+y＞0 D．﹣9x≥7x﹣6 E．x2+x+9 例8．下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A．x+2y≥2 B．8x+2＜1 C． D． 【技巧总结】 1.判定要点:只含一个未知数，未知数次数为1。 2.排除条件:分母、根号内不含未知数，无不等号外其他特殊形式。 【变式训练4-1】若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 【变式训练4-2】若（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 【变式训练4-3】若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　 ． 题型5 解一元一次不等式 例9．不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 例10．不等式（3﹣π）x＜π﹣3的解集为　 　 ． 【技巧总结】 步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【变式训练5-1】已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是　 　 ． 【变式训练5-2】若方程组的解x，y满足x+y＞5，则m的取值范围为 　 　 ． 【变式训练5-3】解不等式3x﹣5≤3﹣2（x﹣1），并在数轴上表示出它的解集． 题型6 由实际问题抽象出一元一次不等式 例11．一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品原价为y元，那么可列式为（　　） A．30+30×15%≤85%y B．30+30×15%≥85%y C．30﹣30×15%≤85%y D．30﹣30×15%≥85%y 例12．小明准备用零花钱购买一个学生VR眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，不等式可列为　 　 ． 【技巧总结】 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【变式训练6-1】a的减去4的差不小于﹣4用不等式表示为　 　 【变式训练6-2】用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是 　 　 ． 【变式训练6-3】小强在一次检测中，语文与英语平均分数是76分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，则数学分数x应满足的关系为　　 　　 ． 题型7 一元一次不等式的应用 例13．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（　　） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 例14．小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少　 　 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【技巧总结】 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【变式训练7-1】某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对　 　 道题． 【变式训练7-2】某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出　 　 个杯子． 【变式训练7-3】某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 题型8 解一元一次不等式组 例15．已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（　　） A．3 B．2 C．4 D．﹣1 例16．不等式组的解集是　 　 ． 【技巧总结】 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【变式训练8-1】若不等式组无解，则a的取值范围是　 　． 【变式训练8-2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练8-3】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型9 一元一次不等式组的整数解 例17．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是　 　 ． 例18．不等式的所有整数解的和是　 　 ． 【技巧总结】 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【变式训练9-1】按要求完成下列计算： （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的整数解． 【变式训练9-2】解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【变式训练9-3】解不等式组：，并写出所有负整数解． 题型10 一元一次不等式组的应用 例19．现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（　　） A．20＜m＜50 B．15≤m＜25 C．20≤m＜25 D．15≤m≤20 例20．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程x满足（　　） A．x＝8.5 B．7≤x＜8 C．7≤x≤8 D．7＜x≤8 【技巧总结】 一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【变式训练10-1】在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有　 　 人． 【变式训练10-2】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． （1）沙包和篮球的单价各是多少元？ （2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　） A．a﹣b＜0 B．a+3＜b+3 C．ac2＞bc2 D． 2．小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（　　） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 3．对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 4．根据下列数量关系列不等式：x的5倍不大于4的不等式是 　 　 ． 5．已知x|m|﹣1+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　 ． 6．已知关于x的不等式（m﹣2）x＞m2﹣4的解为x＜m+2，则m的取值范围是　 　 ． 7．将“a的3倍与4的差是非负数”用不等式表示为　 　 ． 8．关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 9．求不等式的解集． 10．当a为何值时，关于x的不等式组恰有一个解？ 11．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元． （1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价； （2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $