专题01 一元一次不等式（10知识点+5核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

专题01 一元一次不等式（10知识点+5核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 不等式的概念 1.用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 知识点02 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 知识点03 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点04 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点05一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点06 一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 知识点07 一元一次不等式组的解法 1.不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 2．解一元一次不等式组的一般步骤是： （1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集． 由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中) 不等式 图示 解集 (大大取大) (小小取小) (大小小大中间找) 无解 (大大小小解不了) 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 知识点08 一元一次不等式组的应用 1.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际. 2.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 考点一：不等式的基本性质 【例1】 （23-24六年级下·上海·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A. 由可得，成立， B.当，时，不能得到，原式子不成立； C.由，，不能得到，原式子不成立； D.由，，不能得到，原式子不成立； 故选A． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边都减去2，得，原变形正确，故此选项不符合题意； B、不等式两边都乘以，得，原变形错误，故此选项符合题意； C、不等式两边都减去,得，原变形正确，故此选项不符合题意； D、因为，所以，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，，那么 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答． 【详解】解：A、如果，说明，那么，该选项是正确的；故不符合题意； B、如果，当，那么是错误的，该选项是错误的，故符合题意； C、如果，则，那么，该选项是正确的；故不符合题意； D、如果，，，那么，该选项是正确的；故不符合题意； 故选：B 【变式1-3】（22-23六年级下·上海浦东新·期中）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟悉不等式的三个性质是解题的关键，特别运用性质3时，不等号的方向要改变． 考点二：一元一次不等式（组）的解法 【例2-1】 解不等式：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．也考查了在数轴上表示不等式的解集．先去分母，再去括号、移项、合并得到，然后把的系数化为1得到不等式的解集，然后在数轴上表示其解集． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得， 用数轴表示解集为： ∴原一元一次不等式的解集为． 【例2-2】 （23-24六年级下·上海青浦·期末）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，把它的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 【变式2-1】解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式等知识点，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1可得，熟练掌握解不等式的基本步骤是解决此题的关键． 【详解】去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴不等式的解集为：． 【变式2-2】求不等式的最小整数解． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式移项合并，把系数化为1，求出解集，进而确定出最小整数解即可． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 则不等式的最小整数解为2． 【变式2-3】解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式由②得： ， 所以原不等式的解集是． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式2-4】解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．      【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 在数轴上表示不等式的解集如图，      ∴不等式组的解集为：， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 【变式2-5】解不等式组，写出它的整数解，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，整数解为1，数轴见详解 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别解出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出了即可． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 不等式组的解集为：， ∴它的整数解为1， 把其解集表示在数轴上如图： 考点三：利用不等式（组）的解集求字母的取值范围 【例3】 （23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式的解集，先解不等式，然后根据不等式组无解，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， ∵无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知关于的不等式的正整数解是1、2、3，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围，是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质． 首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，然后根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：， 不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是， ， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-2】关于的不等式组，恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据已知得出关于的不等式组是解此题的关键．根据整数解的个数得出的可能取值，继而求得的取值范围． 【详解】解：不等式组， 恰有4个整数解，即整数解为：0，1，2，3， ． 故答案为：． 【变式3-3】若不等式组的解集是． (1)m的取值范围是______； (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】（1）根据不等式的解集的计算方法进行求解即可得出答案； （2）根据（1）中m的取值范围，根据绝对值的意义进行化简即可得出答案． 【详解】（1）解：∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集及绝对值，熟练掌握不等式的解集的求法及绝对值的意义进行求解是解集本题的关键． 考点四：一元一次不等式（组）的实际应用 【例4】 （22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 【答案】(1)见解析 (2)生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意得出关于x的不等式组，求解x的范围即可确定方案； （2）分别求出各方案的成本，比较即得结果. 【详解】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取38，39，40； 故有以下三种生产方案： 方案一 方案二 方案三 A型/台 38 39 40 B型/台 62 61 60 （2）方案一生产所需要的成本为：元， 方案二生产所需要的成本为：元， 方案三生产所需要的成本为：元， 所以该电器厂按方案三生产，即生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准不等关系列出需要的不等式组是解题的关键. 【变式4-1】上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【答案】(1)他们购买团体票比购买普通票便宜，理由见解析 (2)25人 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系从而解决问题． （1）依题意算出不购买团体票的花费及购买团体票的花费，比较一下即可； （2）先由题意找出不等关系列出方程为，解出即可解决问题． 【详解】（1）解：他们购买团体票比购买普通票便宜． 理由如下： 不购买团体票需花费（元， 购买团体票需花费（元， 2880元元， 他们购买团体票比购买普通票便宜； （2）解：设去这些景点旅游的人数为人，则，解得， 结合题意可知最小值为25， 若买团体票的人数不足30人时，则至少有25人才可买30人的团体票比买普通票便宜． 【变式4-2】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】不等式的性质、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 【变式4-3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 【变式4-4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． （1）设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； （2）结合两种魔方得单价列出不等式求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 考点五：方程（组）与不等式（组）的综合问题 【例5】 （23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 【变式5-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式5-2】某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的解法是解题的关键，根据不等式的解题步骤，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 系数化为1得：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级下·上海·期中）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：观察不等式组可直接得不等式组的解集为：． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海·期中）小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17 【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 根据题意，得 ， 解得， 答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 7．（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】＞ 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可 【详解】解：∵，， ∴＞， 故答案为：＞． 8．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海·期中）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一个不等式的正整数解为1、2、3，那么这个不等式可以是 （只需填写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查学生对不等式解集的掌握，根据不等式的解写出不等式是关键，在解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果． 【详解】解：根据题意这个不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考 分． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小华的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小华的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小华的数学应该至少考分， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 13．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 14．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 16．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 17．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）当满足什么条件时，的值不大于的值？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由题意得出不等式是解题的关键． 先由题意得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴当时，的值不大于的值． 18．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 19．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 20．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 21．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 【答案】他最少要答对14道题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设他要答对道题，根据想得分不低于120分，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设他要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最小整数解为：14； 答：他最少要答对14道题． 22．（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 23．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【答案】(1)一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数，出现错误； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，进而在数轴上表示解集即可。 【详解】（1）解：解答过程中，从第一步开始出现错误，错因是去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； 故答案为：一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示解集如图： 24．（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 25．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式（10知识点+5核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 不等式的概念 1.用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 知识点02 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 知识点03 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点04 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点05一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点06 一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 知识点07 一元一次不等式组的解法 1.不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 2．解一元一次不等式组的一般步骤是： （1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集． 由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中) 不等式 图示 解集 (大大取大) (小小取小) (大小小大中间找) 无解 (大大小小解不了) 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 知识点08 一元一次不等式组的应用 1.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际. 2.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 考点一：不等式的基本性质 【例1】 （23-24六年级下·上海·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，，那么 【变式1-3】（22-23六年级下·上海浦东新·期中）如果，那么 ． 考点二：一元一次不等式（组）的解法 【例2-1】 解不等式：，并在数轴上把解集表示出来． 【例2-2】 （23-24六年级下·上海青浦·期末）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2-1】解不等式：． 【变式2-2】求不等式的最小整数解． 【变式2-3】解不等式组： 【变式2-4】解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．      【变式2-5】解不等式组，写出它的整数解，并把它的解集表示在数轴上． 考点三：利用不等式（组）的解集求字母的取值范围 【例3】 （23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 【变式3-1】（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知关于的不等式的正整数解是1、2、3，那么的取值范围是 ． 【变式3-2】关于的不等式组，恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 【变式3-3】若不等式组的解集是． (1)m的取值范围是______； (2)试化简：． 考点四：一元一次不等式（组）的实际应用 【例4】 （22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 【变式4-1】上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【变式4-2】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【变式4-3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【变式4-4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 考点五：方程（组）与不等式（组）的综合问题 【例5】 （23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【变式5-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【变式5-2】某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 2．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 5．（24-25七年级下·上海·期中）不等式组的解集为 ． 6．（24-25七年级下·上海·期中）小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 7．（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”） 8．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 9．（24-25七年级下·上海·期中）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一个不等式的正整数解为1、2、3，那么这个不等式可以是 （只需填写一个） 11．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考 分． 12．（24-25七年级下·上海静安·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ． 13．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 14．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 16．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）当满足什么条件时，的值不大于的值？ 18．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 19．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 20．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 21．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 22．（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 23．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 24．（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 25．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$