专题03 三角形与全等三角形中常见模型（5核心题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

专题03 三角形与全等三角形中常见模型 （3核心题型+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 模型一：双角平分线模型 1.双内角平分线 2.双外角平分线 3.内角平分线+外角平分线 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 模型二：倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 模型三：一线三等角模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 如图，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 模型四：手拉手旋转模型 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 模型五：等角三角形中的半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 考点一：双角平分线模型 例1．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【变式1-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 【变式1-3】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【变式1-4】（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 考点二：倍长中线模型 例2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【变式2-1】（23-24八年级上·上海静安·期中）在中，点D是的中点．    (1)如图1，连接，若，求中线的取值范围．小明是这样思考的：延长至E，使，连接，利用三角形全等将边转化到，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中，小明证明三角形全等用到的判定方法是： ；中线BD的取值范围是 ； (2)如图2，点M在边上，点N在边上，若，试猜想线段能否构成三角形，并证明你的结论； (3)如图3，，，连接，探索与的关系，并说明理由． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 【变式2-3】阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【变式2-4】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是______，位置关系是______； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，由“三角形的三边关系”可求得边上的中线的取值范围是______； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【变式2-5 】【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 考点三：一线三等角模型 例3-1.（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 例3-2.（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 【变式3-1】如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 【变式3-2】综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【变式3-3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【变式3-4】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 考点四：手拉手旋转模型 例4.（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 【变式4-1】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是______． (2)类比探究：如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； (3)解决问题：如图③，已知点在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【变式4-2】（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①的度数为______，②线段之间的数量关系为______． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系．并说明理由． 【变式4-3】已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 考点五：等角三角形中的半角模型 例5.（2022七年级下·上海·专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【变式5-1】在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【变式5-2】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 一、单选题 1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，那么的周长是 ．      5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 7．（23-24七年级下·上海·期末）如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为，连接，如果的面积是，的长是，那么 ．（用含字母和的代数式表示） 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 9．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 12．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知在中，，．说明的理由． 13．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知等边与等边，且点在边的延长线上，求的度数． 14．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 15．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 17．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：是的中线，和都垂直于直线，垂足分别为点、．求证：． 证明：是的中线， ___________． ，， ___________，___________． _____________________． （请完成后面的证明过程） 18．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 19．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 20．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 21．（24-25八年级上·河南漯河·期末）综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 22．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 23．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形与全等三角形中常见模型 （3核心题型+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 模型一：双角平分线模型 1.双内角平分线 2.双外角平分线 3.内角平分线+外角平分线 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 模型二：倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 模型三：一线三等角模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 如图，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 模型四：手拉手旋转模型 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 模型五：等角三角形中的半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 考点一：双角平分线模型 例1．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和． （1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证； （2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论； （3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理即可得出与之间的数量关系； （2）利用（1）的结论即可直接得出答案； （3）利用（1）的结论以及角平分线的定义，可得出，然后利用三角形的内角和定理即可得出和的数量关系； （4）利用（1）（3）得到的结论，可直接写出与、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：利用（1）的结论可得， ， 故答案为：； （3）解：利用（1）的结论可得， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， 又， ， ； （4）解：利用（1）的结论可得， 利用（3）的结论可得，即， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于”及等式的性质分析求解． （1）根据平分线定义得，，再根据三角形的内角和定理即可得证； （2）根据角平分线定义、三角形的内角和定理即可得证； （3）根据角平分线定义、三角形的内角和定理及外角性质即可得证； 【详解】（1）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以 （等式性质）． 即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ， 即： （3）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ． 又（已知）， （等式性质）． （平角的定义）， ． （三角形的内角和等于， （等式性质）． （等量代换）． ．（等角对等边）． 【变式1-4】（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 【答案】(1)34；角平分线的定义；；；理由见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键． （1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解； （2）根据（1）的解法即可直接求解； （3）利用（1）（2）的结论求解． 【详解】（1）解：结论：．理由如下： 因为、平分和（已知）， 所以，  角平分线的意义  ． 因为，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 所以， 因为， 所以， 故答案为：34；角平分线的定义；；； （2）解：∵、平分和（已知）， ∴，  角平分线的意义  ． ∵，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴， ∵， ∴． （3）解：由(1)(2)得， 设，， ∴， ， ， ∴． 考点二：倍长中线模型 例2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1），，，；（2），，理由见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系即可得到结论； （2）延长至H，使，连接，由（1）可得，由全等三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，推出．延长交于G，求出，即可得解． 【详解】解：（1）延长到E，使得， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，，，； （2），，理由如下： 延长至H，使，连接，如图2所示：    由（1）得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（23-24八年级上·上海静安·期中）在中，点D是的中点．    (1)如图1，连接，若，求中线的取值范围．小明是这样思考的：延长至E，使，连接，利用三角形全等将边转化到，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中，小明证明三角形全等用到的判定方法是： ；中线BD的取值范围是 ； (2)如图2，点M在边上，点N在边上，若，试猜想线段能否构成三角形，并证明你的结论； (3)如图3，，，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)线段能构成三角形．证明见解析 (3)．证明见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：,由全等三角形的性质得出，证出，证明得出，，则，延长交于，证出，得出结论即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：；； （2）线段能构成三角形 证明：延长至点，使，连接 如图2所示：    同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴， ∴线段能构成三角形． （3） 理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 【答案】（1）；（2）32；（3）见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）延长到点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可； （2）延长交延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：，，，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，则，再利用解答即可； （3）延长至点F，使得，连接、、，通过证明和，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点F， ， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； （3）证明：延长至点F，使得，连接、、，如图， 由（1）同理易证：， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2-3】阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-4】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是______，位置关系是______； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，由“三角形的三边关系”可求得边上的中线的取值范围是______； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【答案】（1），，（2）；（3） 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：在和中 ， ， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故答案为：． （3）解：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． ∴ 【变式2-5 】【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 【答案】(1)B (2) (3)8 (4)见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用证明； （2）利用三角形的三边关系进行求解即可； （3）延长到M，使，连接，证明，推出为等腰三角形，得到，即可得解； （4）延长到点G，使，连接，易得，证明，得到，在中，，即可得出结论． 【详解】（1）解：在和中 ， ∴， 故选：B； （2）由（1）得：， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案是：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解： 延长到点G，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键． 考点三：一线三等角模型 例3-1.（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和； （1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； （2）根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或；    例3-2.（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）①②见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．掌握一线三等角全等模型，是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）①等边三角形的性质，推出，同（2）得到，进而推出，；②根据，得到，，推出，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①如图3，∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ，，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， 综上：全等的图形有； ②为等边三角形，理由如下： ∵ ，， ， 为等边三角形． 【变式3-1】如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，可证得结论成立； （2）由“”可证，可得，，再证明即可； （3）由“”可证，可得，可求，可证． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ， ； （2）解：，，理由： 如图，连接， ， ， ． ∵，点是的中点， ，，， ， 又， ， ，， ， ， ∴； （3）证明：∵，， 是等腰直角三角形， ． ， ， 又，， ， ， ， ． 【变式3-2】综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）2（4）6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键； （1）由题意可得可得出，再证可得，然后根据线段的和差和等量代换即可证明结论； （2）同（1）证可得，然后根据线段的和差和等量代换即可证明结论； （3）过E作于M，的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知，，证得，继而得出，，据此求解可得答案． （4）证明，可得，再作，可得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过E作于M，的延长线于N，    ∴， 由（1）和（2）的结论可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则 ． （4）∵，， ∴， 又∵， ∴， ． 如图所示，过点A作于，则，． ， ． ， 与的面积之和为6． 【变式3-3】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）由（2）知，，得到，由得到，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故答案为：； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18， ∴， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 【变式3-4】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】[模型呈现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 考点四：手拉手旋转模型 例4.（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不变， 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到； （2）设，交于，与交于，根据全等三角形的性质得到，得到，根据对顶角的性质得到． 【详解】（1）与为等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （2）与的夹角不改变， 理由：设，交于，与交于， 由（1）知， ， ， ， ， 故与的夹角不改变． 【变式4-1】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是______． (2)类比探究：如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； (3)解决问题：如图③，已知点在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5 【知识点】等边三角形的判定和性质、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 【变式4-2】（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①的度数为______，②线段之间的数量关系为______． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（2）①②（2）；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，证明三角形全等成为解题的关键． （1）由条件和均为等边三角形，易证，从而得到：．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数，即可； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出；根据，可得，所以，据此判断出． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①②； （2）；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，，即， ∴， ∴． ∴． 在等腰直角中，为斜边上的高， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴． 【变式4-3】已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 考点五：等角三角形中的半角模型 例5.（2022七年级下·上海·专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1) (2)， (3)猜想：（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【知识点】等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可表示出的周长，最后根据是周长为9的等边三角形即可得到答案； （2）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案； （3）延长至，使，连接，，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， ， 故答案为：6； （2）解：如图，、、之间的数量关系，此时， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， 故答案为：，； （3）解：猜想：（2）中的结论仍然成立， 证明：如图2，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周长， 等边的周长， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建与已知和所求相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键． 【变式5-1】在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)一定成立 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， 在中，， ， 同理可得，， ； （2）解：一定成立， 理由如下：如图，延长至，使，连接， ， 由（1）可知：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：一定成立； （3）解：如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式5-2】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)， (2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接，   ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）证明：如图，在上截取，连接，    同（2）可证， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 一、单选题 1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，那么的周长是 ．      【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】设，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据题意得出，则，进而即可求解． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ． 【答案】96 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．利用等边三角形的性质和几何关系，证得为的中点，为的中点，，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△周长． 【详解】解：，， ， ， ． 为的中点． 同理可证，为的中点，为的中点， ，，， ， 的周长为． 故答案为：96． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，等边三角形的性质，根据对称性得到，解方程组得到a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海·期末）如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为，连接，如果的面积是，的长是，那么 ．（用含字母和的代数式表示） 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查三角形全等综合，涉及等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 利用手拉手模型，即可得证；由及三角形全等的判定得到；由的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，；由且，即可得到． 【详解】解：与都是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， 在和中， ， 是等边三角形， ， 且 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 9．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）． 【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证，推出，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知在中，，．说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】根据等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知等边与等边，且点在边的延长线上，求的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据等边三角形的性质得出，故可得出，由此可得，故可得出． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射线作点M， ，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明和，从而证明，即可得到． 【详解】解：，理由如下， 如下图所示，在射线作点M， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离是 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）利用直角三角形两锐角互余先证明，再利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）解：∵ ∴， ∴ 答：两堵木墙之间的距离是． 17．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：是的中线，和都垂直于直线，垂足分别为点、．求证：． 证明：是的中线， ___________． ，， ___________，___________． _____________________． （请完成后面的证明过程） 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，由垂线的定义可得，证明即可得证． 【详解】证明：是的中线， ． ，， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角． （1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数； （2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小． 【详解】（1）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 19．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，、、三点在直线上，，求证：． 证明：______ 即____________ 又 ____________ （请继续完成证明过程） 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据三角形外角的性质得出，证明，得出，，然后证明结果即可． 【详解】证明：， 即， 又， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 20．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理； 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线定义等知识，根据垂线的定义得出，根据三角形外角的性质并结合已知求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，（垂线的定义） ，（三角形外角的性质）， ， 是的角平分线， ， （三角形内角和定理）， ． 故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；． 21．（24-25八年级上·河南漯河·期末）综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立．证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． 【详解】（1）解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 22．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 23．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线．熟练掌握三角形内角和定理，平行线性质，“平面镜反射光线规律”，是解题的关键． （1）利用平面镜反射光线的规律知，，根据平行线性质得，得，由三角形的内角和可知，； （2）根据平行线性质得，根据光反射性质得，得，由三角形的内角和得，； （3）根据，，，得 ，即得． 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$