精品解析：2026年山东省淄博市张店区中考二模数学试题

2025—2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 如图，下面四种中国传统窗户图案中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，能推断的是（ ） A. B. C. D. 5. 为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试成绩绘制成折线统计图（如图所示）．九年级1班引体向上成绩的方差记为，九年级2班引体向上成绩的方差记为，已知这两个班引体向上成绩的平均数相等，则可估计和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3500米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ） A. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成 C. 每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成 D. 每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成 8. 如图，在等边中，，分别是边，上的点，且，连接，，与相交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 9. 如图，在的网格中建立平面直角坐标系，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过网格中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设以为顶点的抛物线（）与直线（）的两个交点为，，且．若是该抛物线的内接格点三角形，且点，，的横坐标，，满足，则在该的网格中，符合上述条件的抛物线的条数有（） A. 8条 B. 10条 C. 12条 D. 14条 10. 如图，C为以为直径的上的一点，且，在所在的平面内取点D，连接，．若，，则长的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 请写出一个使二次根式 有意义的的值________(写出一个即可)． 12. 因式分解：______． 13. 如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 14. 如图，在平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的点，连接，，与对角线相交于点M，分别取，的中点P，Q，并连接．若，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交x轴于点；将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；将线段绕点顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；…，按此规律，则的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位置上） 16. 解不等式组：． 17. 如图，已知，点、、在同一条直线上，，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 18. 定义：对于一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且），我们称函数（，为常数，且）为一次函数，的“组合函数”． （1）若函数为一次函数和一次函数的“组合函数”，求，的值； （2）已知一次函数的图象与一次函数（）的图象相交于点．若点在一次函数，的“组合函数”的图象上，求的值． 19. 阅读是一个民族、一个国家永久的功课，文化强国建设呼唤书香浸润，深化全民阅读活动，推进书香社会建设，使命光荣，责任重大．某学校在以“书香筑梦·奋楫笃行”为主题的学校第十六届读书月活动中，组织了读“中华文化优秀经典”知识竞赛．竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）请你将下面的表格补充完整： 平均数（分） 中位数 众数 一班 87.6 90 二班 87.6 100 （2）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析，哪个班的成绩更好： ①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩； ③从B级以上（包括B级）的人数的角度来比较一班和二班的成绩； （3）若从一班参加竞赛的同学中，随机抽取一名同学的成绩，再从二班参加竞赛的同学中，随机抽取一名同学的成绩，则抽到的两位同学的成绩都为A级的概率是多少？（请直接写出结果） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 22. 【尺规作图】：小强同学在学习了三角形的中线后，知道“三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分”． （1）如图1，在中，请用尺规作出过顶点A且平分面积的直线（点D在边上）；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【学以致用】： （2）小强同学在后来又学习了平行四边形的相关性质后，借助“平行线之间的距离处处相等”，对图形面积的等分问题有了更深入的理解． 如图2，在中，已知，，，P是边上的一点，且．请用尺规作出过点P且平分面积的直线（点D在边上），并求的长；（尺规作图只保留作图痕迹，不要求写作法） 【用以致学】： （3）小强在以上深刻理解的基础上，继续深入思考． 如图3，在中，已知，，过点B作，连接，使，P为四边形的边的中点． ①请画出过点P且平分四边形面积的直线（点D在边上）；（无需尺规作图，只需根据（2）中已完成的作图，画出直线平分四边形面积的草图即可） ②连接，问的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出当的面积最大时的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图2，是二次函数在第三象限内的图象上的一点，连接，，两线段相交于点，求当时的点的坐标； （3）在该二次函数图象的对称轴上取一动点，连接，．若，且，请直接写出在该条件下的点纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 如图，下面四种中国传统窗户图案中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，将2和3分别转化为和，通过比较被开方数的大小即可确定答案．  【详解】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间， ，， 点A表示的数满足， A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，计算错误； B、根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，再将所得幂相乘．，计算错误； C、根据合并同类项法则：合并同类项时，同类项系数相加，字母和字母指数不变．，计算错误； D、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，计算正确． 4. 如图，能推断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补两直线平行”，“内错角相等两直线平行”，直接根据判定定理判定即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能推出； B、， ∴，故本选项B正确； C、∵， ∴， ∴，不能推出； D、∵， ∴，不能推出； 故选：B． 5. 为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试成绩绘制成折线统计图（如图所示）．九年级1班引体向上成绩的方差记为，九年级2班引体向上成绩的方差记为，已知这两个班引体向上成绩的平均数相等，则可估计和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，九年级二班的数据波动比九年级一班的数据波动大， 所以九年级一班数据的方差小于九年级二班数据的方差，即． 6. 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案． 【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零， 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大， 当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意． 故选：D． 7. 某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3500米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ） A. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成 C. 每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成 D. 每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成 【答案】A 【解析】 【分析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．此题得解． 【详解】解：利用工作时间列出方程：， 缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键． 8. 如图，在等边中，，分别是边，上的点，且，连接，，与相交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作，易得为等腰直角三角形，为含30度角的直角三角形，求出的长，证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴. 9. 如图，在的网格中建立平面直角坐标系，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过网格中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设以为顶点的抛物线（）与直线（）的两个交点为，，且．若是该抛物线的内接格点三角形，且点，，的横坐标，，满足，则在该的网格中，符合上述条件的抛物线的条数有（） A. 8条 B. 10条 C. 12条 D. 14条 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线和定长，列举出网格内全部6组符合条件的格点线段，依据题干顶点横坐标介于横坐标之间的要求，确定每组对应的顶点整数横坐标仅有两种取值，设抛物线顶点式，代入每组坐标列方程组求解，通过顶点位于连线上方或下方，区分开口向下、向上两种抛物线，结合网格范围舍去超出边界的无效顶点，最后统计所有有效格点顶点，每个有效顶点对应唯一条抛物线，即可得出符合题意的抛物线总数． 【详解】直线上，满足的线段共6组，依次为：与与与与与与．设抛物线顶点为格点，解析式为，由题意得，逐组求解： ①.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得顶点，超出网格范围，舍去； 时，解得顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共1条有效抛物线； ②.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共2条有效抛物线； ③.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共2条有效抛物线； ④.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下． 两点均为格点，本组共2条有效抛物线． ⑤.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，在上方，开口向下； 两点均为格点，本组共2条有效抛物线； ⑥.取， 由为整数，得，代入解析式： ， 时，解得，顶点，在下方，开口向上； 时，解得，顶点，超出网格，舍去． 本组仅1条有效抛物线． 综上：有效抛物线总数为条． 10. 如图，C为以为直径的上的一点，且，在所在的平面内取点D，连接，．若，，则长的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，且，连接，勾股定理求出的长，根据圆周角定理，得到，证明，求出的长，根据，即可得出结果. 【详解】解：作，且，连接，则，，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴长的最大值是. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 请写出一个使二次根式 有意义的的值________(写出一个即可)． 【答案】3(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴， ∴可以等于， 故答案为：3(答案不唯一)． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 【答案】 【解析】 【分析】分别作出的垂直平分线，即可确定旋转中心． 【详解】如图，连接，分别作出的垂直平分线，交点为， 故该旋转的旋转中心是点． 14. 如图，在平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的点，连接，，与对角线相交于点M，分别取，的中点P，Q，并连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作，连接，作交的延长线于点，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，进而得到P，Q分别为的中点，三角形的中位线定理，得到，证明，求出的长，进而求出的长，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】解：作，连接，作交的延长线于点，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵P，Q分别为，的中点，， ∴P，Q分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴. 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交x轴于点；将线段绕点O顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；将线段绕点顺时针旋转到线段，扫过的面积记为，作交轴于点；…，按此规律，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，分别求出，，，利用扇形面积求出，概括出相应的规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴，，，， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位置上） 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，已知，点、、在同一条直线上，，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质结合即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴，， ∴ ∴． 18. 定义：对于一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且），我们称函数（，为常数，且）为一次函数，的“组合函数”． （1）若函数为一次函数和一次函数的“组合函数”，求，的值； （2）已知一次函数的图象与一次函数（）的图象相交于点．若点在一次函数，的“组合函数”的图象上，求的值． 【答案】（1）的值为3，的值为1 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）由“组合函数”的定义，得，即，可得，求解即可； （2）联立函数得，得到点的坐标为，根据点在一次函数，的“组合函数”的图象上，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数为一次函数和一次函数的“组合函数”， ∴由“组合函数”的定义，得， 整理得，， ∴，解得， 所以，m的值为3，n的值为1； 【小问2详解】 解：∵点为一次函数的图象与一次函数（）的图象的交点， ∴联立得，解得，， ∴点的坐标为， ∵一次函数，的“组合函数”为， 且点在一次函数，的“组合函数”的图象上， ∴， 整理得，， ∵， ∴． 19. 阅读是一个民族、一个国家永久的功课，文化强国建设呼唤书香浸润，深化全民阅读活动，推进书香社会建设，使命光荣，责任重大．某学校在以“书香筑梦·奋楫笃行”为主题的学校第十六届读书月活动中，组织了读“中华文化优秀经典”知识竞赛．竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）请你将下面的表格补充完整： 平均数（分） 中位数 众数 一班 87.6 90 二班 87.6 100 （2）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析，哪个班的成绩更好： ①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩； ③从B级以上（包括B级）的人数的角度来比较一班和二班的成绩； （3）若从一班参加竞赛的同学中，随机抽取一名同学的成绩，再从二班参加竞赛的同学中，随机抽取一名同学的成绩，则抽到的两位同学的成绩都为A级的概率是多少？（请直接写出结果） 【答案】（1）一班竞赛成绩的众数：90，二班竞赛成绩的中位数：80 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）①比较中位数的大小，即可得出结论；②比较众数的大小，即可得出结论；③求出B级以上（包括B级）的人数所占的百分比，即可得出结论； （3）分别求出两个班随机抽取一名同学的成绩为A级的概率，再相乘即可. 【小问1详解】 解：由条形图可知，B等级的人数最多，即一班的众数为90分； 两个班的人数均为， 由扇形图可知，等级C，D的学生的总人数为， 故将数据排序后，第13个数据为C等级所对应的分数即80分， 故二班的中位数为80； 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 一班 87.6 90 90 二班 87.6 80 100 【小问2详解】 解：①一班和二班得分的平均数相同，一班的中位数高于二班的中位数，故一班的成绩更好； ②一班和二班得分的平均数相同，一班的众数低于二班的众数，故二班的成绩更好； ③一班得分B级以上（包括B级）的人数为，二班得分B级以上（包括B级）的人数为，，故一班的成绩更好； 【小问3详解】 解：从一班参加竞赛的同学中，随机抽取一名同学的成绩，成绩是A级的概率为； 从二班参加竞赛的同学中，随机抽取一名同学的成绩，成绩是A级的概率为； ∴抽到的两位同学的成绩都为A级的概率. 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） （3）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标为，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，；在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点的坐标为，通过证明得到，，进而列出关于的方程组，解方程组即可得出答案． 【小问1详解】 解：将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入中，得， ∴点的坐标为， 将，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象得，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴关于的不等式的解集为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 21. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）该零件的实际售价应定为50元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【小问1详解】 解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该零件的实际售价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 【小问3详解】 解：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 22. 【尺规作图】：小强同学在学习了三角形的中线后，知道“三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分”． （1）如图1，在中，请用尺规作出过顶点A且平分面积的直线（点D在边上）；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【学以致用】： （2）小强同学在后来又学习了平行四边形的相关性质后，借助“平行线之间的距离处处相等”，对图形面积的等分问题有了更深入的理解． 如图2，在中，已知，，，P是边上的一点，且．请用尺规作出过点P且平分面积的直线（点D在边上），并求的长；（尺规作图只保留作图痕迹，不要求写作法） 【用以致学】： （3）小强在以上深刻理解的基础上，继续深入思考． 如图3，在中，已知，，过点B作，连接，使，P为四边形的边的中点． ①请画出过点P且平分四边形面积的直线（点D在边上）；（无需尺规作图，只需根据（2）中已完成的作图，画出直线平分四边形面积的草图即可） ②连接，问的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出当的面积最大时的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：如图，直线即为所求， ； （2）解：如图，点D即为所求， ， 的长为 （3）①如图，直线即为所求， ； ②存在，当的面积最大时的四边形的面积为102 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于D，作直线即可； （2）连接，过A作的平行线，交的延长线于M，作线段的垂直平分线，交于D，作直线即可；过A作于E，在中，解直角三角形求出，，在中，解直角三角形求出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解； （3）过E作的平行线，交的延长线于M，过A作的平行线，交的延长线于N，作线段的垂直平分线，交于D，作直线即可；取中点H，过H作，且，连接，则，，根据勾股定理求出，根据正切定义求出，则，根据三线合一的性质可得出，则点A在以J为圆心，5为半径的圆上运动，过B作，且，连接，，过I作于G，证明，求出，则点E在以I为圆心，10为半径的圆上运动，故当E、I、G三点共线，且G在的延长线时，最大，则的面积最大，证明，求出，，根据勾股定理求出，进而求出，过A作于K，同理可证，则，然后根据四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图略， 过A作于E， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由作图知：点D是中点， ∴； 【小问3详解】 解：①略； ②如图，取中点H，过H作，且，连接，则，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A在以J为圆心，5为半径的圆上运动， ∴ 过B作，且，连接，，过I作于G， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴点E在以I为圆心，10为半径的圆上运动， ∴当E、I、G三点共线，且G在的延长线时，最大，则的面积最大， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过A作于K， 同理可证， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图2，是二次函数在第三象限内的图象上的一点，连接，，两线段相交于点，求当时的点的坐标； （3）在该二次函数图象的对称轴上取一动点，连接，．若，且，请直接写出在该条件下的点纵坐标的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，轴于点，设，则，，证明，求得，，证明是等腰直角三角形，推出，据此列式计算即可求解； （3）由题意得，先求得时，点或，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴相交于点，， ∴； 【小问2详解】 解：作轴于点，轴于点， ∴，令， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵，，且， ∴， ∵，， ∴，点、的中点坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，取直线上的，使得， ∴， 解得或， ∴或， ∴， ∴， ∴，， 当点在或时，满足， ∴点纵坐标的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $