精品解析：2026年山东省聊城市冠县二模数学试题

学科网命组卷网 二O二六年初中学业水平模拟考试（二） 数学试题 (时间120分钟 满分120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号涂 黑相应数字。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上相 应位置，否则无效. 3.尺规作图题，作图或痕迹颜色不能太浅，一定要清晰 一、单选题（每题3分，共30分） 1.-2025 的倒数是() 1 1 A.2025 B.2025 C.-2025 D.2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键.倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根 据倒数的定义回答即可， 第1页/共32页 6学科网命组卷网 1 【详解】解：，一个数a的倒数为a, 1 1 ∴.-2025的倒数为-2025=2025， 故选：B 2.“斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是( 主视方向 口 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可. 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 3.古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代 换算，1忽约等于0.00000033米.则数据0.00000033用科学记数法表示为() A.0.33×106 B3.3x106 c0.33×107 D.3.3x10-7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式 为0x10 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 第2页/共32页 6学科网 命组卷网 字前面的0的个数所决定.据此解答即可. 【详解】解：0.00000033=3.3×10-7， 故选：D A,B,C,D 4.如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关 ,现随机闭合两个开关，小灯泡发光 的概率为() 可 A B D ☒ 1 e 3 A.2 B.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可. 【详解】解：列表如下： A B C D A C A A,B A,D B B,A B,D CA C.D D C D D,A D,B 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， .P=_ 1 =9 123’ 故选B 第3页/共32页 6学科网列组卷网 5.下列计算正确的是() A.x2+x3=x5 B2x3y÷y=2x c.(2x2)°=6xr D.(x-y2=x2-y2 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项合并法则、单项式除法法则、积的乘方法则和完全平方公式，逐一判断选项正误。 【详解】解：A、:?与·不是同类项，不能合并，∴A选项错误， B、:2xy*y=2x(0*)=2r,B选项正确： C.:2r)=2.(=8r≠6x,C选顶错误， D.:(-ヅ=-2+少≠-少，D选项错误 6.我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长 一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳 去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺， 竿长y尺，根据题意得()（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） x-y=5 y-x=5 1 x-y=5 0 x-y=5 y-2x=5 2x-y=5 2x=y+5 y-2x=5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺：若将绳对折后再去量 竿，则绳比竿短5尺列方程组即可. x-y=5, 1 【详解】解：由题意得 y-x=5 2 故选A. 第4页/共32页 6学科网命组卷网 7.如图，在口ABCD中，∠A=70°，从口ABCD的顶点B引两边的重线 ,则∠EBF E,BF 的度数为 D A.70° B.110° C.20° D.80 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，垂线的定义以及四边形的内角和定理，进行求解即可 【详解】解：，口ABCD, AB∥CD. .∠D=180°-∠A=110°， :从GABCD BE,BF 的顶点B引两边的垂线 .∠BED=∠BFD=90°. ∴.∠EBF=360°-∠D-∠BED-∠BFD=70°： 故选A. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键。 8.如图， ⊙O△ABC 是 的外接圆，连接 1、0C,若∠4BC=10°，则∠A0C=() A.80 B.100 C.140 D.160 第5页/共32页 6学科网 命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先根据AC=AC,得∠AOC=2∠AEC,则 ∠ABC=100°∠AEC=80°∠AOC=160° ，故 即可作答 【详解】解：在优弧AC中取点E,连接AE,CE，如图所示： E AC=AC, .∠AOC=2∠AEC. .∠ABC=100°. ·.∠AEC=180°-100°=80°， :∠AOC=2∠AEC, .∠A0C=160°. 故选：D 9如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为③，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA1PB,且PA、 PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值() 第6页/共32页 6学科网命组卷网 y P B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】 【分析】 RA1PB中1B=20P知要使4B取得最小省，则P0背取得是小值，连接OM.交OM PO ,交 于点 P' OP' 当P位于位置时， 取得最小值，故可求解. 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AB取 得最小值时P的位置。 【详解】连接OP,:PA⊥PB,∠APB=90°，AO=BO,AB=2PO, 要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， OM⊙MP' P OP' 连接”，交 于点，当P位于F位置时， 取得最小值， MQ⊥x 过点M作 轴于点Q, 则00=3，Mg=4 :0M=V32+4=5 又MP'=2, .OP'=3 .AB=2OP'=6. 故选D. 第7页/共32页 6学科网命组卷网 BO 10.如图，点4是反比例函数在<0) 图象上一点，AC⊥x轴于点C,与反比例函数 y-(<0)图象交于点g'AC=3BC,连接01：OB,若a0AB的面积为2则m+n=（） B A.4 B.8 Q10 D.~12 【答案】B 【解析】 m 【分析】根据反比例函数的性质可知 5.0c=- 2,BC.OC=-n, 再根据反比例函数的面积关系解答 即可. m 【详解】解：：点A是反比例函数'=x<0 图象上一点， ∴设点 Ax. ,AC⊥x轴于点C, 第8页/共32页 6学科网6组卷网 “点C(x0) m<0. S.soc =-1m 1 ..AC=3BC. .AB=AC-BC=2BC. ÷Sae34B.oc-2CoC=c0c 2 :点B在反比例函数=是(x<0)图象上，川<0， :BCOC=川=-n ,△OAB的面积为2， .BC.OC=-n=2, .-n=2, 即n=-2, S.weC.OC Γ2 S.40C=S.Boc+S.O4B=3 第9页/共32页 6学科网命组卷网 1 :2ms3 .m=-6. :m+n=6+(-2)=-8 故选B 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键. 二、填空题（每题3分，共15分） x-2 11.要使分式2x+4有意义，则x的取值范围是 【答案】x≠-2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义的性质列出不等式解答即可， 熟练掌握分母不等于0，分式有意义的性质是解题的关键. 【详解】解：·分式有意义，分母不等于0， .2x+4≠0 解得：x≠一2 故答案为：x≠一2」 12若关于x的一元二次方程-2x-1=0 有实数根，则k的取值范围是 【答案】k<-1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，先根据一元二次方程的定义 及根的判别式列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可.解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行 第10页/共32页 命学科网组卷网 求解 2-2x-1=0 【详解】解：，关于x的一元二次方程 没有实数根， :△=(-2y-4xk×(-)<0,k≠0， 解得：k<-1」 故答案为：k<-1 13.已知A,B两地相距120km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车」 图中DE,OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(单位：km)与乙离开A地的时间t(单位：h)的函 数关系，则乙出发 h被甲追上. As/km 120-------- 80 40 t/h 【答案】1.8 【解析】 【分析】先分别求出甲、乙对应的路程与时间的函数关系式，再联立方程求解相遇（甲追上乙）的时间. 【详解】解：由题意和图可知， 80 80 km/h 乙的速度为3 ,乙的路程函数为 甲在=1山时出发，设甲的函数为年=+b D1,0)E(3,120) 代入点 和 [k+b=0 3k+b=120, [k=60 解得：b=-60 第11页/共32页 6学科网 命组卷网 ·甲的路程函数为年=601-60 当甲追上乙时，S甲=S乙，即： 601-60=80 3 解得：t=1.8h, 故答案为：1.8h. 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（追及问题），解题关键是根据图像求出甲、乙的路程函数关系 式，再联立方程求解追及时间 y=k(k≠0 14.如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx(m<0)与反比例函数x 交于A、B两点，点C 在轴上.且1C=10,若5c=12,则k= 【答案】 -6 【解析】 【分折】根据函数y=匹m<05反出函致收≠0交于小B两，得出4、两点大于原服 1 对称，推出Sc=5c=23c,过点A作4D1轴于点D,白三线合-可得CD=OD,从而得 第12页/共32页 6学科网命组卷网 到4cm=S0o 20c=3 ,进而可求出k的值. 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D, y=(k≠0) :函数y=mx(m<0)与反比例函数)=x 交于AB两点， ∴A、B两点关于原点对称， 即ya=ysl, s.x=0c=ocg=5e=度=6 :AC=AOAD⊥X 轴 ∴.CD=OD 1 ..c=S.-.3 2-3 ∴.k=-6 15.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四边形 第13页/供32页 6学科网 命组卷网 BD1F,它的周长记作C:取BE中点5，作气 作E,D∥FB,E,E∥EF 得到四边形DF所，它的周 长记作C，…,照此规律作下去，则C06 D D E 【答案】22024 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解 1 2,找规律可得C,=4× C1=4× 题的关键；根据三角形的中位线求解 2”,据此规律可求解。 【详解】解：，△ABC是边长为1的等边三角形， AB=BC=AC=1 E是BC边中点，ED∥AB, :DEg△ABC 是 的中位线， 2 )AC=1 2 2 :EF∥AC ∴四边形EDAF是菱形， 第14页/供32页 6学科网列组卷网 :9=4 1 2, 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的2， 即94xJ 11 111 1 x22C3=4x 5=4× 5=4× 22 C=4× 4222=42,, :C2026=4 1 22026=22×、 11 2206=22024 1 故答案为：22024 三、解答题(8大题，共75分) 164.5-小+月-2×sm45°-(r-2025. (2)先化简，再求值： a+1, 再从0,1,2中选择一个合适的a值代入求值. 【答案】(1)3：(2)a,当a=2时，原式=2 【解析】 【详解】（山解：原式=V2-1+5-2×5-1 2 =V2-1+5-√2-1 =3 (a-1)2.a(a-1) (2)解：原式(a-1(a+1)）a+1 (a-102a+1 (a-l(a+）a(a-) 第15页/供32页 学科网 命组卷网 (a-l(a+1)≠0a(a-1)≠0 .a≠±1，a≠0 当a=2时，原式2. 17.为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务 劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问 卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间x(单位：)分为 A(x<2),B(2≤x<3),C(3≤x<4),D(x≥4) 四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调 查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下， 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 人数 24 20 C 16 52% 12 B 8 6 D 28% 16% A B D劳动时间 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 (1)在学期初调查数据条形图中，B组人数是人，并补全条形图： (2)在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 (3)七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3的人数： 第16页/供32页 学科网组卷网 (4)该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由. 【答案】(1)20，图见解析 (2)14.4° (3)估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数约为340人 (4)学期末比学期初有提高，见解析 【解析】 A,C,D 【分析】(1)根据抽取的总人数50，减去 组的人数，计算B组人数，再根据计算出的B组人数 补全条形统计图； (2)先根据扇形图中各部分百分比之和为1，计算A组所占的百分比.用360°乘以A组的百分比，得到 A组所在扇形的圆心角度数： (3)用七年级总人数乘以该C、D组百分比之和，用样本估计总体得到所求人数； (4)对比学期初和学期末的平均数、中位数、众数的变化，结合统计量的意义分析劳动时间的整体变化 情况，得出结论 【小问1详解】 解：B组人数为=50-9-15-6=20（人）， 补全图形如下： 学期初调查数据条形图 人数 24 -----20 20 16 12 0 B D 劳动时间 【小问2详解】 解：A组所占百分比=1-28%-52%-16%=4%， 第17页/共32页 6学科网命组卷网 A组所在扇形的圆心角度数=360°×4%=14.4°： 【小问3详解】 解：C组占52%，D组占16%，两组百分比之和=52%+16%=68%， 因此七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数=500×68%=340（人）， 答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数约为340人： 【小问4详解】 解：该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高，理由如下： 从统计量来看，学期初劳动时间的平均数为2.8、中位数为2.9、众数为2.8，学期末的平均数为3.5、中位 数为3.6、众数为3.6，学期末的平均数、中位数、众数均高于学期初，这反映出学生一周参与劳动时间的 整体水平、中间水平和最集中的时间都有所提升，综上，学期末学生的劳动时间相比学期初有明显提高。 (理由不唯一，符合题意即可.) I8.如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：BC=FC (2)若AB=2,且AE⊥CD,求AF的长 【答案】(1)见解析 (2)2V5 【解析】 【分析】(I)证明△ADE≌aFCE(AAS) 再结合菱形的性质即可证明： (2)先证明△ABF是直角三角形，再由勾股定理求解即可： 【小问1详解】 证明：菱形ABCD, 第18页/供32页 命学科网命组卷网 AD=BC,AD‖BC :∠D=∠DCF,∠F=∠DAE 又，E是边CD的中点， .CE=DE, :△ADE≌aFCE(AAS) .AD=FC. .BC=FC: 【小问2详解】 解：由题意，AB=BC=2, .FC=BC=2, BF=4, AE⊥CD. .∠AED=90°， 又四边形ABCD是菱形，AB∥DC, .∠BAF=∠AED=90°， 在RtABF中，MF=VBF-AB=V平-2=25 图，一次函数空十5的图象与反比例丽数少的图象交于42.B,-两点， 于点C 第19页/供32页 6学科网组卷网 (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)求△AOB的面积： x+b>m (3)直接写出不等式 x的解集. 【容案】)=+，2 3 (2)2 (3)-2<x<0或x>1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式. (1)根据待定系数法求出两个函数解析式即可； (2②)求出点C坐标得到线段OC长，根据5am=S4c+Sac代入数据计算即可， C (3)根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式 红+b>m x的解集. 【小问1详解】 解：·一次函数y=@+b的图象与反比例函将P、 =x的图象交于A(1,2),B(n,-)两点， .k=1×2=n×(-1) ∴.n=-2k=2 第20页/供32页 6学科网列组卷网 y=2 ∴反比例函数解析式为： X, :A(,2),B(-2,-在一次函数y=+b的图象上， k+b=2 k=1 -2k+b=-1,解得b=1, ·一次函数解析式为： y=x+1 【小问2详解】 y=x+1 y=0 解：在一次函数 中，令0，则=1 ∴.OC=1 21x2+1 S.40B=S.A0C+S.B0C 1x1=3 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式 x+b>m x的解集为：-2<x<0或x>1. 20,如图，AB是⊙0的直径，射线BC交O0于点D,E是劣弧AD上一点，且BE平分∠CBA,过点 E作FF LBC于F,E长PE交B G 的延长线于点。 B 第21页/供32页 学科网命组卷网 GF⊙O (1)求证： 是 的切线： (2)若OB=4,∠EOG=60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）· 【答案】(1)证明：：BE平分∠CBA, ∠OBE=∠DBE=÷∠CBA .OE=OB. .∠OEB=∠OBE=∠DBE, .OE∥BF, :EF⊥BC, .EF⊥OE, .OEa⊙0 是的半径， 是 的切线： (2) 8V5-8x 【解析】 ∠CB 【分析】(1)由题意易得 OBE=∠DBE= 2 ,然后可得∠OEB=∠OBE=∠DBE,则有 OE∥BF,进而根据平行线的性质及切线的判定定理可进行求证； (2)由题意易得OE=4,则根据三角函数可得EG=4√3 然后根据扇形面积及割补法可进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第22页/供32页 6学科网组卷网 解：OB=4, .0E=4, .∠EOG=60°，EF⊥OE, :EG=OE.tan∠EOG=4V3 ÷s=Sae-S0形0e-EG.OE- 0x×4=85-8 360 . 21.综合与实践 活动主题 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射 到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°：入射光线 AC CE 射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角 ∠ACM'=60° ∠ECN'=40.5°DE∥BC MN MN' ，折射角 测量 AB,AC 法线.入射光线 BD,CE5沫线MN,MN' 和折射光线 及法线 都在同一 平面内，点A到直线BC的距离为3米， M 空气 水 ND W 参考数据 V3≈1.73sin22°≈0.37cos22°≈0.93tan22°≈0.4 第23页/共32页 6学科网命组卷网 sin40.5°≈0.65cos40.5°≈0.76tan40.5°≈0.85 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求BC的长：（结果保留根号） (2)若DE=4.46米，求水池的深（精确到0.01米）. 【答案】(4)25米 (2)水池的深约为2.22米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答， (I)根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和BF的值，然后即可计算出BC的值； (2)根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深. 【小问1详解】 解：作AF⊥BC,交CB的延长线于点F,则AF∥MN∥MN', :M iM 空气 C 水 ND .∠ABM=∠BAF,∠ACM'=∠CAF, ∠ABM=30°，∠ACM'=60°， .∠BAF=30°，∠CAF=60°. AF=3米， 第24页/供32页 6学科网命组卷网 8F=AF:am80=3×兰=BC*),CE=E,tam60e-3xg-33 BC=CF-BF=33-3=23 米)· 即BC的长为2W5米： 【小问2详解】 解：设水池的深为x米，则BN=CN'=x米， 由题意可知：∠DBN=22°，∠ECN'=40.5°，DE=4.46米， :.DN=BW.tan22°≈0.4x(米)，W'E=CW'.tan40.5°≈0.85x(米)， DN+DE=BC+N'E. :0.4x+4.46=2V3+0.85x 解得x≈2.22， 即水池的深约为222米. 2在平面直角坐标系xOy中，己知点M(2,-3)在抛物线少=x?、) mx-m 3 上 (1)求抛物线的顶点坐标： (2)点V(a,b)在抛物线上，若点N到y销的距离小于4，请直接写出b的取值范国。 (3)把直线y=x向下平移m(>0)个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围. 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（-4) (2)-4≤b<21 第25页/供32页 6学科网6组卷网 21 3<n< (3) 4 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函 数的图象和性质，是解题的关键： （)把点M(2,-3)代入函数解析式，进行求解即可： (2)根据点N到y轴的距离小于4，得到-4<a<4,根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3)由题意，得到平移后的直线的解折式为y=x-”,联立两个解折式，得到-3x+-3)0,根 据直线与抛物线有2个交点，得到△>0，再根据=3时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即 可得出结果 【小问1详解】 4 解：把M2,3)代入抛物线=二号 二mx-m-3=4--m-m ,得 3 解得m=3」 y=r2-2x-3=(6x-1y-4 抛物线的顶点坐标为，-4) 【小问2详解】 .y=x2-2x-3=(x-1-4 ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 点V(a,b)在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， 第26页/供32页 6学科网丽组卷网 ∴.-4<a<4, 六当a=1时，b最小为-4，当a=-4时，b最大为(4-)-4=21， -4≤b<21: 【小问3详解】 :直线y=x向下平移m(n>0)个单位长度， ∴平移后直线解析式为y=x-n. y=x-n, 由y=x2-2x-3,得x2-2x-3=x-n,即x2-3x+(n-3)=0. :直线y=x一n与抛物线有两个交点， “方程-3r+m-3)=0有两个不相等的实数根. :△=9-4(n-3)=21-4n>0 又当n=3时，x-3r+(3-3)=0 解得=3,5=0 “直线y=-3与抛物线的两个交点为(0，-3)，(3,0)， 恰好在坐标轴上， 21 3<n< ∴.n的取值范围为 4. 第27页/供32页 6学科网组卷网 23.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片 绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=4, BC=DE=3∠ABC=∠ADE=90° E D M B B 图① 图② 图③ 【问题探究】 BD,CE (1)如图①，连接 ,在纸片ADE绕点旋转过程中，求证：△1DB,△AEC 【问题解决】 (2)如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在△ABC的高线BM的延长线上，连接CD, 求CE的长； 【问题拓展】 (3)如图③，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在△ABC的中线BV的延长线上，连接CE, 第28页/供32页 6学科网6组卷网 求△ACE的周长. 【答案】(1)见详解 (2)CE=6 (3)△ACE的周长为18 【解析】 【分析】(1)根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证： (2)根据题意可证 tAMB≌Rt△MMD(HL),得BM=DM,再证△BCM≌△DCM(SMS),得 BC=DC=3 由此即可求解： BD,CE (3)如图所示，设 CE交于点G,连接4G,可得∠D1B=∠ADB,AEBD ,可证 CN CG NG 1 △CNG△CAE,得CA CE AE2,点G为CE的中点，再证明四边形ABCG是矩形，得到 AB=CG=4 CE=8 ,则 ，由此即可求解. △ABC,△ADE,AB=AD=4,∠ABC=∠ADE=90°，BC=DE=3 【详解】解：(1)证明：在 中， △ABC≌AADE, AD AE .ABAC,∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠BAD=∠CAE, .△ADBAAEC (2):BM是AC边上的高，即BM⊥AC,点D恰好落在高线BM的延长线上， 第29页/供32页 6学科网 组卷网 .∠AMC=∠AMD=90°， Rt△AMB,Rt△AMD 在 中， AB=AD AM=AM, :.R△AMB≌Ri△AMD(HL) .BM=DM, 在△BCM,aDC 中， BM=DM ∠BMC=∠DMC MC=MC :△BCM≌aDCM(SAS) .BC=DC=3, 又BC=DE=3, .CE=CD+DE=6: BD,CE (3)如图所示，设 交于点G,连接1G ·旋转， 第30页/供32页 6学科网命组卷网 .∠BAC=∠DAE, AB=AD. ,∠ABD=∠ADB, .∠DAE=∠ADB. AEIBD .△CNG∽ACAE, CN CG NG ∴.CA CE AE, :点N是AC中点， CN CG NG 1 .CA CE AE 2, ∴点G为CE的中点， AC=AE=VAB2+BC2=42+32=5 .AG⊥CE, 在RtABC中， BN=14C=AN=CN,在RIAAGC中，GN=AC 2 .BN =CN=GN=AN, ∴四边形ABCG是平行四边形， 又∠ABC=90°， ∴.平行四边形ABCG是矩形， 第31页/供32页 6学科网命组卷网 。 .BC=AG=3.AB=CG=4. .CE=2CG=8, ∴△ACE的周长为AC+AE+CE=5+5+8=18」 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和 性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键. 第32页/共32页 二〇二六年初中学业水平模拟考试（二） 数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号涂黑相应数字． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，否则无效． 3．尺规作图题，作图或痕迹颜色不能太浅，一定要清晰． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，从的顶点B引两边的垂线，则的度数为（　　） A. 70° B. 110° C. 20° D. 80° 8. 如图，是的外接圆，连接、，若，则（ ）° A. 80 B. 100 C. 140 D. 160 9. 如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数 图象交于点，，连接，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 12. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 _________． 13. 已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑摩托车，乙骑自行车．图中，分别表示甲、乙离开地的路程（单位：）与乙离开地的时间（单位：）的函数关系，则乙出发__________被甲追上． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 15. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 三、解答题（8大题，共75分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值． 17. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 人，并补全条形图； （2）在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 ． （3）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （4）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 18. 如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，且，求的长． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 20. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 21. 综合与实践 活动主题 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，，为法线．入射光线和折射光线及法线，都在同一平面内，点A到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求的长；（结果保留根号） （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 22. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． （3）把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $