专题04 反比例函数（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

专题04 反比例函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 反比例函数的定义 题型2 反比例函数的图象 题型3 反比例函数图象的对称性 题型4 反比例函数的性质 题型5 反比例函数系数k的几何意义 题型6 反比例函数图象上点的坐标特征 题型7 待定系数法求反比例函数解析式 题型8 反比例函数与一次函数的交点问题 题型9 根据实际问题列反比例函数关系式 题型10 反比例函数的应用 题型11 反比例函数综合题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.反比例函数定义、解析式 2.自变量取值范围 3.反比例函数图像与象限: 4.k的几何意义 5.增减性规律 6.反比例与一次函数交点 7.数形结合比较函数大小 8.反比例实际应用(行程、工程、面积) 1.概念求值:依据y=kx-1(k≠0)，未知数次数-1、系数k≠0; 2.待定系数法:单组坐标代入求k，确定函数表达式。 3.象限判定:k>0图像在一、三象限;k<0在二、四象限，快速判断点所在象限。 4.k几何面积:图像上任一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积、直角三角形面积 5.联立正反比例解析式，解方程得交点坐标，常结合坐标求不规则图形面积。6.图像上下位置定函数大小，分段写出参数取值范围。 7.从实际情境提炼反比例模型，结合实际限制自变量取值，解决最值、方案问题。 考情解码：反比例函数是初中函数体系关键内容，承接分式与一次函数，为九年级二次函数铺垫，是八下核心难点。考题由基础概念识记，转向k几何面积、一次与反比例综合、实际建模题型;k几何含义、两函数综合是高频重难点常和坐标系、几何面积融合出题，侧重数形结合、数学建模与逻辑计算能力。 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果变量与变量的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成反比例，用数学表达式表示为或者，其中是一个不等于0的常数. 2.反比例函数基本概念 (1)概念：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数.非零常数称为比例系数.反比例函数由比例系数的值确定 【特别提醒】反比例函数的表达式也可写成或（是常数，）的形式. (2)自变量x的取值范围：不等于零的一切实数. (3)函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 即时即练下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 知识点二 用待定系数法求反比例函数的表达式 1.求反比例函数表达式的一般方法是待定系数法 在反比例函数（是常数，）中，只有一个待定系数，因此只要给出一对、的对应值，就可以求出待定系数的值，从而确定反比例函数的表达式. 2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 （1）设→设反比例函数的表达式为（） （2）列→把已知与的一对对应值同时代入（），得到关于的方程 （3）解→解方程，求出的值 即时即练当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 知识点三 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 即时即练函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 知识点四 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 即时即练设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 知识点五 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 即时即练如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 题型1 反比例函数的定义 例1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 例2．下列关系式中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【变式训练1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是　 　 （填入序号）． 题型2 反比例函数的图象 例3函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 例4函数与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【变式训练2-1】在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型3 反比例函数图象的对称性 例5若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 例6如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 反比例函数图象的对称性 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形， 对称轴分别是： ①二、四象限的角平分线y=﹣x； ②一、三象限的角平分线y=x； 对称中心是：坐标原点． 【变式训练3-1】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　 　 ． 【变式训练3-3】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　． 题型4 反比例函数的性质 例7下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 例8关于反比例函数，下列结论错误的是（　　） A．图象位于二四象限 B．随的增大而增大 C．图象关于原点对称 D．点在这个函数图象上 【技巧总结】 当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； 当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【变式训练4-1】关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 【变式训练4-2】反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则的取值范围为 　 　 ． 【变式训练4-3】如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点、在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到的值是　 　 ． 题型5 反比例函数系数k的几何意义 例9如图，的顶点，，均在坐标轴上，与轴交于点，且，若反比例函数经过点，则的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 例10如图，点在双曲线上，轴于，点是轴上的任意点，且，则（　　） A．2 B． C．4 D． 【技巧总结】 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【变式训练5-1】如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若△的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，在△中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A．6 B． C． D． 【变式训练5-3】如图，点在反比例函数的图象上，轴于，点在轴上，若△面积为4，则的值为（　　） A． B．4 C． D．8 题型6 反比例函数图象上点的坐标特征 例11若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 例12若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【变式训练6-1】若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练6-2】在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-3】在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可能是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【变式训练6-4】已知是的反比例函数，其部分对应值如下表所示．若，则，，的大小关系是（　　） 1 2 3 A． B． C． D． 题型7 待定系数法求反比例函数解析式 例13如图，已知点，，点为线段的中点，将△沿轴向右平移至△处，若一个反比例函数的图象恰好经过点，则该反比例函数的表达式为　 ． 例14如图，轴于，若△的面积等于2，则图象过点的反比例函数关系式是　 ． 【技巧总结】 （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【变式训练7-1】已知△的位置如图所示，其中点，分别在轴、轴上，轴．反比例函数的图象经过点，且，则该反比例函数的表达式为　 ． 【变式训练7-2】一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求的值． 【变式训练7-3】如图，的顶点，分别在双曲线和上，顶点在轴上，已知点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求的面积． 题型8 反比例函数与一次函数的交点问题 例15已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 例16如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交坐标轴于、两点．若，则△的面积为（　　） A．1 B． C． D．4 【技巧总结】 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【变式训练8-1】反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式训练8-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为2，当时，的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练8-3】已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，则使的的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 题型9 根据实际问题列反比例函数关系式 例17矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与的函数关系是（　　） A． B． C． D． 例18已知近视眼镜的度数与镜片焦距成反比例，若400度近视眼镜镜片的焦距是，则与的函数关系式为 　 　． 【技巧总结】 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 【变式训练9-1】近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例（即，已知200度近视眼镜的镜片焦距为，则与之间的函数关系式是　 　． 【变式训练9-2】某工厂现有煤200吨，这些煤能烧的天数与平均每天烧煤的吨数之间的函数关系式是　 　． 【变式训练9-3】某厂有煤2500吨，则这些煤能用的天数与每天用煤的吨数之间的函数关系式为 　 　． 题型10 反比例函数的应用 例19阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力关于动力臂的函数图象为（　　） A． B． C． D． 例20为了预防某种流行性疾病，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．如图，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克为杀灭病菌的有效浓度，则此次药物维持有效浓度的时长是　 　 分钟． 【技巧总结】 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【变式训练10-1】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分．根据函数图象回答下列问题： （1）点的注意力指标数是　 　 ． （2）当时，求注意力指标数随时间（分的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【变式训练10-2】如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：与总电阻（单位：成反比例，其中，已知． 可变电阻（单位：与油量体积（单位：之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． （1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【变式训练10-3】人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 接触面积 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强 （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 题型11 反比例函数综合题 例21如图，在平面直角坐标系中，点，点是函数图象上的动点，不重合），点是的中点，点是的中点，作垂直轴于点，交图象于点，作垂直轴于点，交图象于点．给出下面四个结论： ①△与△的面积一定相等； ②连接，，则△的面积是△面积的2倍； ③连接，，，，则△与△的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 例22如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，当△是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【变式训练11-1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接，，△的面积为5． （1）求点，的坐标及反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）探究在轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练11-2】已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点关于轴对称的点为，求△的面积． （3）请直接写出不等式的解集． 【变式训练11-3】已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点点． （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，直接写出时自变量的取值范围； （3）如果点与点关于轴对称，求△的面积． 【变式训练11-4】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图象经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图象上，且，求点的坐标． 【变式训练11-5】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且△的面积为20．点在双曲线上． （1）求点的坐标以及的值； （2）联结，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标． 【变式训练11-6】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限的反比例函数图象上，过点作．垂足为，设． （1）直接写出点、的坐标及的大小； （2）求点的坐标（用含的式子表示）； （3）已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，联结，如果轴，求的值． 【变式训练11-7】如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； （3）设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 1．如果反比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，那么一次函数的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 2．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，函数值随的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 4．双曲线与直线且在一、三象限分别相交于、两点，与直线在一、三象限分别相交于、两点，那么四边形的形状一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，则使函数值的自变量的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 6．将反比例函数图象向上平移两个单位后与轴的交点坐标为　 ． 7．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是　 （用“＞”连接）． 8．已知反比例函数的图象经过点，则其图象在　 　 象限． 9．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则△的面积为　 ． 10．如图，△，△，△，，△都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为　 ． 11．如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）求△的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点；直线与轴交于点，且与直线交于点． （1）求点、点、点的坐标； （2）若反比例函数经过点，求反比例函数解析式． 13．如图，的顶点，分别在双曲线和上，顶点在轴上，已知点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 反比例函数的定义 题型2 反比例函数的图象 题型3 反比例函数图象的对称性 题型4 反比例函数的性质 题型5 反比例函数系数k的几何意义 题型6 反比例函数图象上点的坐标特征 题型7 待定系数法求反比例函数解析式 题型8 反比例函数与一次函数的交点问题 题型9 根据实际问题列反比例函数关系式 题型10 反比例函数的应用 题型11 反比例函数综合题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.反比例函数定义、解析式 2.自变量取值范围 3.反比例函数图像与象限: 4.k的几何意义 5.增减性规律 6.反比例与一次函数交点 7.数形结合比较函数大小 8.反比例实际应用(行程、工程、面积) 1.概念求值:依据y=kx-1(k≠0)，未知数次数-1、系数k≠0; 2.待定系数法:单组坐标代入求k，确定函数表达式。 3.象限判定:k>0图像在一、三象限;k<0在二、四象限，快速判断点所在象限。 4.k几何面积:图像上任一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积、直角三角形面积 5.联立正反比例解析式，解方程得交点坐标，常结合坐标求不规则图形面积。6.图像上下位置定函数大小，分段写出参数取值范围。 7.从实际情境提炼反比例模型，结合实际限制自变量取值，解决最值、方案问题。 考情解码：反比例函数是初中函数体系关键内容，承接分式与一次函数，为九年级二次函数铺垫，是八下核心难点。考题由基础概念识记，转向k几何面积、一次与反比例综合、实际建模题型;k几何含义、两函数综合是高频重难点常和坐标系、几何面积融合出题，侧重数形结合、数学建模与逻辑计算能力。 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果变量与变量的乘积是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成反比例，用数学表达式表示为或者，其中是一个不等于0的常数. 2.反比例函数基本概念 (1)概念：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数.非零常数称为比例系数.反比例函数由比例系数的值确定 【特别提醒】反比例函数的表达式也可写成或（是常数，）的形式. (2)自变量x的取值范围：不等于零的一切实数. (3)函数值y的取值范围：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 即时即练下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【答案】D 【分析】形如（为常数，，）的函数叫做反比例函数，两个变量的乘积为定值．依次写出每个选项的函数关系式，对照定义判断． 【详解】解：A、根据题意，得，所以圆的面积与半径的关系是二次函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，所以矩形的长与宽的关系是反比例函数关系，故本选项正确． 知识点二 用待定系数法求反比例函数的表达式 1.求反比例函数表达式的一般方法是待定系数法 在反比例函数（是常数，）中，只有一个待定系数，因此只要给出一对、的对应值，就可以求出待定系数的值，从而确定反比例函数的表达式. 2.用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 （1）设→设反比例函数的表达式为（） （2）列→把已知与的一对对应值同时代入（），得到关于的方程 （3）解→解方程，求出的值 即时即练当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 知识点三 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 即时即练函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 知识点四 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 即时即练设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的比例系数判断图象所在的象限及每个象限内的增减性，再结合已知条件分析点A、B的位置关系，进而确定点B所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 当点A和点B都在第二象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A和点B都在第四象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A在第二象限，点B在第四象限时，满足，且满足； 综上所述，点B在第四象限， 故答案为：四． 知识点五 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 即时即练如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可； 【详解】解：点P在上，轴于点A，交于点B，且是，是， ，， ． 题型1 反比例函数的定义 例1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的一般形式为为常数，，选项为正比例函数，不符合反比例函数定义． 【详解】解：反比例函数形式为， ，是反比例函数，不符合题意； ，是反比例函数，不符合题意； ，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； ，是反比例函数，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 例2．下列关系式中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如为常数，的函数称为反比例函数，据此进行判断即可． 【详解】解：，不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数， 中是的反比例函数，而非的反比例函数， 中是的反比例函数， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【技巧总结】 反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【变式训练1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：根据反比例函数的定义逐项分析判断如下： 、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； 、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； 、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； 、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练1-2】下列函数中，是关于的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：、函数是一次函数，不符合题意； 、函数是正比例函数，不符合题意； 、函数不是反比例函数，不符合题意； 、函数是反比例函数，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟知形如的函数叫反比例函数是解题的关键． 【变式训练1-3】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是　 　 （填入序号）． 【答案】②③． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意． 【详解】解：①是二次函数； ②是反比例函数； ③是反比例函数； ④不是反比例函数； ⑤不是反比例函数； 故答案为：②③． 【点评】此题主要考查了反比例函数定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，． 题型2 反比例函数的图象 例3函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ，一次函数， 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有符合上述特征． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 例4函数与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论，能同时成立的即为正确答案． 【详解】解：根据一次函数和反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论如下： 当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，一次函数的图象过一、二、四象限；符合题意； 当时，反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数的图象过一、三、四象限，没有符合题意的图象． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象，熟练掌握以上知识点是关键． 【易错提醒】 由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【变式训练2-1】在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用正比例函数以及反比例函数图象分布规律进而分析得出即可． 【详解】解：、当正比例函数图象正确，则， 则， 故中，，则其图象分布在第二、四象限， 故此选项符合题意； 、当正比例函数图象正确，则， 则， 故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； 、当正比例函数图象正确，则， 则， 故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； 、当正比例函数图象正确，则， 则， 故中，，则其图象分布在第二、四象限， 故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数以及正比例函数的性质，正确记忆图象分布与系数关系是解题关键． 【变式训练2-2】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先一次函数化为一次函数的一般形式，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：①当时，反比例函数的图象在第二、四象限， ， ， 一次函数的图象过一、二、四象限； ②当时，反比例函数的图象在一、三象限， ， ， 一次函数的图象过一、三、四象限； 故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象，灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【变式训练2-3】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，选项的图象符合要求． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键． 题型3 反比例函数图象的对称性 例5若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 两函数的交点关于原点对称， 一个交点的坐标是， 另一个交点的坐标是． 故选：． 【点评】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 例6如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：． 【点评】此题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数的图象关于原点对称． 【技巧总结】 反比例函数图象的对称性 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形， 对称轴分别是： ①二、四象限的角平分线y=﹣x； ②一、三象限的角平分线y=x； 对称中心是：坐标原点． 【变式训练3-1】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点与关于原点对称，且点坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 【变式训练3-2】如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　 　 ． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决． 【变式训练3-3】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　． 【分析】先利用反比例函数解析式确定点坐标为，由于正方形的中心在原点，则正方形的面积为4，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的． 【详解】解：设反比例函数解析式， 由题意可得：点坐标为：， 故图中阴影部分的面积为：． 故答案为：1． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线；②一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点． 题型4 反比例函数的性质 例7下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：、， 随的增大而增大，不符合题意； 、， 随的增大而减小，符合题意； 、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，不符合题意； 、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键． 例8关于反比例函数，下列结论错误的是（　　） A．图象位于二四象限 B．随的增大而增大 C．图象关于原点对称 D．点在这个函数图象上 【答案】 【分析】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可求解． 【详解】解：、，故图象在第二、四象限内，故选项不符合题意； 、，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，故选项符合题意； 、图象关于原点对称，故选项不符合题意； 、，故点在这个函数图象上，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 【技巧总结】 当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； 当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【变式训练4-1】关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，， 、当时，，图象经过点，正确，不符合题意； 、，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意； 、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意； 、，当时，在第二象限，随的增大而增大，原说法错误，符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【变式训练4-2】反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则的取值范围为 　 　 ． 【分析】依据题意，根据反比例函数的性质可得不等式：，进而可以得解． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【变式训练4-3】如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点、在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到的值是　 　 ． 【答案】4． 【分析】根据题意可设，则，则，据此求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键． 题型5 反比例函数系数k的几何意义 例9如图，的顶点，，均在坐标轴上，与轴交于点，且，若反比例函数经过点，则的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】 【分析】先利用相似三角形和面积条件求出、的长度，再根据平行四边形的性质得到点的坐标，最后代入反比例函数求出的值． 【详解】解：已知，且四边形是平行四边形，故，， 因此，△△，相似比为， 设，则，， 由，即，得， 由相似比，得，故， 因此， ，且在轴上， 的横坐标为，纵坐标为，即， 反比例函数经过点，则： ． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与平行四边形、相似三角形的综合应用，核心是利用相似三角形的性质和面积关系求出点的坐标．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解决这类问题的关键． 例10如图，点在双曲线上，轴于，点是轴上的任意点，且，则（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据轴可知平行于轴，且的长度为；△以为底时，高为点的纵坐标；利用三角形面积公式结合反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 ； 轴， 轴，且， 点在轴上， ； 图象在第二象限，，； ， ， ， ， 如图可知：， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 【技巧总结】 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【变式训练5-1】如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若△的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、，由反比例函数系数的几何意义可得，，又，所以，代入计算即可得出的值． 【详解】解：连接、， 轴， 轴， ， ， ， 由反比例函数系数的几何意义可得： ，， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，利用平行线转化△的面积为△的面积是解决问题的关键． 【变式训练5-2】如图，在△中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，交轴于， 轴， 轴， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 过第二象限， ， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式训练5-3】如图，点在反比例函数的图象上，轴于，点在轴上，若△面积为4，则的值为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】 【分析】连接，则有，根据的几何意义得，根据图像所在的象限即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， 轴，反比例函数的图像在一、三象限， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 题型6 反比例函数图象上点的坐标特征 例11若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应值后直接比较大小，即可得出结果． 【详解】解：将各点横坐标代入解析式，得，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 例12若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】可将三个点的坐标分别代入反比例函数，求出、、的值，再比较大小即可，也可以根据反比例函数的性质进行求解． 【详解】解：把，代入，得，解得； 把，代入，得，解得； 把，代入，得，解得； ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【技巧总结】 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【变式训练6-1】若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】先求出的值，结合一次函数的性质即可解答． 【详解】解：由条件可得：， 解得：， 一次函数为， 一次函数比例系数为，常数项为， 该一次函数图象经过一、三、四象限， 该一次函数图象不经过第二象限． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练6-2】在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出是解此题的关键． 【变式训练6-3】在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可能是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】 【分析】根据题目中随增大而增大的条件，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，再从选项中筛选符合条件的数值． 【详解】解：反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大， ，解得． 只有，因此的值可能是2， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练6-4】已知是的反比例函数，其部分对应值如下表所示．若，则，，的大小关系是（　　） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，，是的反比例函数确定出在每个象限内，随的增大而增大，再判断，，的大小即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 时，时，且，， ， 反比例函数图象的两个根分式分别位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定义，熟知以上知识是解题的关键． 题型7 待定系数法求反比例函数解析式 例13如图，已知点，，点为线段的中点，将△沿轴向右平移至△处，若一个反比例函数的图象恰好经过点，则该反比例函数的表达式为　 ． 【答案】． 【分析】利用中点公式可得，再根据平移规律可得，代入即可求得答案． 【详解】解：点，，点为线段的中点， ， 将△沿轴向右平移至△处， △沿轴向右平移4个单位， ， 反比例函数的图象恰好经过点， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的特征，中点公式，平移的性质等，求出点的坐标是解题的关键． 例14如图，轴于，若△的面积等于2，则图象过点的反比例函数关系式是　 ． 【答案】． 【分析】结合轴于，△的面积等于2，故，再结合的几何意义，得出，即可作答． 【详解】解：由条件可知， 则， 设图象过点的反比例函数关系式为， 则， 即图象过点的反比例函数关系式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），熟练掌握该知识点是关键． 【技巧总结】 （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【变式训练7-1】已知△的位置如图所示，其中点，分别在轴、轴上，轴．反比例函数的图象经过点，且，则该反比例函数的表达式为　 ． 【答案】． 【分析】连接，由轴，可知轴，，根据同底等高的三角形面积相等可知，利用系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴，， ， ， ， ， 该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，明确是解题的关键． 【变式训练7-2】一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将点代入即可得出，从而求得这个函数的解析式； （2）将代入（1）中的解析式，求出即可． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点． ， 函数的解析式为； （2）函数的解析式为， 当时， ． 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，是基础知识要熟练掌握． 【变式训练7-3】如图，的顶点，分别在双曲线和上，顶点在轴上，已知点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）． （2）7． 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与轴交于点，根据反比例函数系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】解：（1）将点代入， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）如图，连接，设与轴交于点， 四边形为平行四边形，点在轴上， 轴， 点和点分别在双曲线和上， ，， ， ． 【点评】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识点是解题的关键． 题型8 反比例函数与一次函数的交点问题 例15已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】根据题意，得出的取值范围，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为关于的一元二次方程无实数根， 所以△， 解得． 由得， ， 所以． 因为， 所以， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以函数与函数的图象的交点个数为2． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 例16如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交坐标轴于、两点．若，则△的面积为（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】 【分析】先分别表示出，，故，，根据得，再联立方程组得，运用根与系数的关系得，，整理得，然后表示，，，，再运用勾股定理列式计算，得，建立方程，解得，最后把数值代入△的面积公式计算，即可作答． 【详解】解：令，则， 则， ， 令，则，解得， 则； ， ， 由条件可知， 联立， 整理得， 设、两点的横坐标分别是，， ， ， 则， 点、在一次函数上， ，， 即，，，， 则， ， ， ， ， 整理得， ， △的面积． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 【技巧总结】 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【变式训练8-1】反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】把点坐标代入一次函数解析式，求出的值，可得出点坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：把，代入，得， 点坐标为，， 点为反比例函数图象与一次函数图象的交点， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图象的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键． 【变式训练8-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为2，当时，的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】 【分析】由正、反比例的对称性结合点的横坐标即可得出点的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为2， 点的横坐标为． 观察函数图象，发现： 当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方， 当时，的取值范围是或． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称． 【变式训练8-3】已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，则使的的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】 【分析】先利用交点坐标求出两个函数的解析式．再通过分类讨论解不等式得到满足的的取值范围．需注意反比例函数的自变量．乘除不等号两边的负数时要改变不等号方向． 【详解】解：由条件可得，解得，即； 又点在反比例函数上， 代入坐标得解得，即， （1）当时，不等式两边同乘，不等号方向不变得： ，整理得， 因式分解得， ， ． 解得． （2）当时．不等式两边同乘，不等号方向改变得： ，整理得． 因式分解得． ， ． 解得． 综上，使的的取值范围是或． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 题型9 根据实际问题列反比例函数关系式 例17矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等量关系“矩形的另一边长矩形面积一边长”列出关系式即可． 【详解】解：由于矩形的另一边长矩形面积一边长， 矩形的另一边长与的函数关系是． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系． 例18已知近视眼镜的度数与镜片焦距成反比例，若400度近视眼镜镜片的焦距是，则与的函数关系式为 　 　． 【分析】设，把相关数据代入即可求得函数的解析式． 【详解】解：设， 度近视眼镜镜片的焦距是， ， ． 【点评】用到的知识点为：函数图象上点的横、纵坐标应适合所在函数的解析式． 【技巧总结】 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 【变式训练9-1】近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例（即，已知200度近视眼镜的镜片焦距为，则与之间的函数关系式是　 　． 【分析】由于近视镜度数（度与镜片焦距（米之间成反比例关系可设，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得的值． 【详解】解：由题意设， 由于点适合这个函数解析式，则， ． 故眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 【变式训练9-2】某工厂现有煤200吨，这些煤能烧的天数与平均每天烧煤的吨数之间的函数关系式是　 　． 【分析】根据等量关系“工作时间工作总量工效”即可列出关系式． 【详解】解：由题意得：煤能烧的天数与平均每天烧煤的吨数之间的函数关系式是． 故本题答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 【变式训练9-3】某厂有煤2500吨，则这些煤能用的天数与每天用煤的吨数之间的函数关系式为 　 　． 【分析】根据工作时间工作总量工效可列出关系式，注意时间应为正数． 【详解】解：由题意得：这些煤能用的天数与每天用煤的吨数之间的函数关系式为． 故本题答案为：． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．除法一般写成分式的形式，除号可看成分式线． 题型10 反比例函数的应用 例19阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力关于动力臂的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据阻力阻力臂动力动力臂写出与之间的函数关系式，从而判断其图象即可． 【详解】解：根据题意，得， 与之间的函数关系式为，为反比例函数， ， 符合题意． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据阻力阻力臂动力动力臂写出与之间的函数关系式是解题的关键． 例20为了预防某种流行性疾病，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．如图，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克为杀灭病菌的有效浓度，则此次药物维持有效浓度的时长是　 　 分钟． 【答案】12． 【分析】把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差即为所求． 【详解】解：设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为， 设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为， 药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 所以此次药物维持有效浓度的时长是12分钟， 故答案为：12． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 【技巧总结】 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【变式训练10-1】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分．根据函数图象回答下列问题： （1）点的注意力指标数是　 　 ． （2）当时，求注意力指标数随时间（分的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）24； （2）； （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 【分析】（1）设的解析式为，将代入可得双曲线的解析式，把代入解析式中即可得解； （2）当时，设的解析式为，代入，两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断． 【详解】解：（1）设的解析式为：，由条件可得， ， 当时，， ， 由图可知：点的注意力指标数是24． 故答案为：24． （2）由条件可知， 当时，设的解析式为，由条件可知： ，解得． ． （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 理由：当时，， 解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． 当时，注意力指标数都不低于36． 而， 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． 【变式训练10-2】如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：与总电阻（单位：成反比例，其中，已知． 可变电阻（单位：与油量体积（单位：之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． （1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】（1）当油箱内油量体积为时，总电阻的值为； （2）； （3）． 【分析】（1）依据题意，设，结合图象，，从而，可得，进而当时，，故，即可得解； （2）依据题意，由电流与总电阻成反比例，则，又当油箱内油量体积为时，电流表显示为，故结合（1），进而可得，从而可以得解； （3）依据题意，由，则，从而，进而，即，故可得解． 【详解】解：（1）由题意，设， 结合图象，， ． ，． ． 当时，． ． 答：当油箱内油量体积为时，总电阻的值为； （2）由题意，电流与总电阻成反比例， ， 又当油箱内油量体积为时，电流表显示为， 结合（1）， ． 关于总电阻的函数解析式为； （3）由题意，， ． ． ，即． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【变式训练10-3】人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 接触面积 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强 （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】（1）地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）将代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【详解】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将，代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 题型11 反比例函数综合题 例21如图，在平面直角坐标系中，点，点是函数图象上的动点，不重合），点是的中点，点是的中点，作垂直轴于点，交图象于点，作垂直轴于点，交图象于点．给出下面四个结论： ①△与△的面积一定相等； ②连接，，则△的面积是△面积的2倍； ③连接，，，，则△与△的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】 【分析】设点、点坐标推出点、点、点、点坐标，利用图象和坐标得出三角形的面积，分析①②③结论，利用，所在直线的解析式进行切入，假设，分析④结论． 【详解】解：过点作，过点作，如图， 设点坐标为，，点坐标为，， 点是的中点，点是的中点， 点坐标为，，点坐标为，，点坐标为，点坐标为， 点，点是函数图象上的点， ，， 根据图象可知：，， ， 故①正确，符合题意； ， ， ， ， 故②不正确，不符合题意； ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； 设所在直线的函数表达式为，将，，，代入， 得：， 解得：， 设所在直线的函数表达式为， 将点坐标为，点坐标为，代入， 得：， 解得：， 若，则， 即：， 整理得：， ， ，， 等式恒成立，即， 故④不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，主要考查反比例函数的图象与性质、坐标与图形的面积关系、中点坐标公式以及平行线的判定，重难点在于利用点的坐标得出线段的长度，进而计算三角形面积，以及通过坐标关系判断直线的平行关系，解题核心是设点、点坐标推出点、点、点、点坐标． 例22如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，当△是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．将点、点的坐标分别代入得： ， 解得：， ， 把点，点的坐标分别代入，得： ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）由图象可知，不等式的解集为或； （3）点的坐标为或或．理由如下： 设， ， ，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不合题意，舍去）或； 当时，， 解得：； 综上所述，点的坐标为或或． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． 【变式训练11-1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接，，△的面积为5． （1）求点，的坐标及反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）探究在轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，反比例函数解析式为； （2）； （3）点坐标为或或或，． 【分析】（1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）根据三角形的面积公式即可求出点坐标； （3）①如图，点在点左侧，②如图，此点在点右侧，③如图，、为对角线，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为，， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 综上，，，反比例函数解析式为； （2）过作轴，交于点， 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， ； （3）， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ，； 综上，点坐标为或或或，． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式训练11-2】已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点关于轴对称的点为，求△的面积． （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）24； （3）或． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据对称点坐标的特征可得，则，根据题意可知点到的距离为8，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据（2）可知，，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）将代入得， ，则 将代入得， ，解得， 则； （2）由（1）可知，， 点关于轴对称的点为， ， ， 将代入得， ，则， 点到的距离为， ； （3）由（2）问可知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，结合图象可知，此时或． 【点评】本题考查待定系数法求解析式，对称点坐标的特征，函数与不等式，能够熟练掌握函数的基础知识，运用数形结合思想是解题的关键． 【变式训练11-3】已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点点． （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，直接写出时自变量的取值范围； （3）如果点与点关于轴对称，求△的面积． 【答案】（1），； （2）使得成立的自变量的取值范围是； （3）12． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，把的坐标代入反比例解析式，确定出的值，从而得出反比例函数解析式，又也在反比例函数图象上，把的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出的值，从而得到的坐标，由和都在一次函数图象上，故把和都代入到一次函数解析式中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而确定出一次函数解析式； （2）根据图象结合交点坐标即可求得； （3）根据轴对称的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）函数的图象过点， ，即， 又点在上， ， ， 又一次函数过、两点， 即， 解得， ， 综上可得，； （2）使得成立的自变量的取值范围是； （3）点与点关于轴对称， ， △的面积． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 【变式训练11-4】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图象经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图象上，且，求点的坐标． 【答案】（1）直线的表达式为； （2）． 【分析】（1）把点代入中得，把代入得，求得；于是得到直线的表达式为； （2）解方程得到，，求得，，如图，过作轴于，设，得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）把点代入中得， ， 把代入得， ； 直线的表达式为； （2）在中，令，则，令，则， ，， ，， 如图，过作轴于， 设， ，， ， ， △△， ， ， 解得（负值舍去）， ． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【变式训练11-5】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且△的面积为20．点在双曲线上． （1）求点的坐标以及的值； （2）联结，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【分析】（1）先求出的坐标，根据三角形的面积公式得到的纵坐标，把的坐标代入即可得到结论； （2）先求出的坐标，再求出直线的解析式为，设点，根据菱形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）设，分两种情况：①当点在点的下方时，②当点在点的上方时，分别求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得， 点的坐标为， ， ， 点在第二象限， ， 把代入，得， ， 把点的坐标代入中得； （2）由（1）知，双曲线的解析式为， 把代入得，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 四边形是菱形， ， 设， 则， 解得，（不合题意舍去）， ； （3）设， ①当点在点的下方时， 如图，过作轴，过于，过作于， 则， 点的坐标为， ，， 四边形是正方形，，， ， ， ， △△， ，， 点的坐标为， 把代入直线得， 解得，， ； ②当点在点的上方时，同理可得， 代入直线可得， 点， 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式等知识，综合性强，熟练掌握相关性质并灵活掌握，正确作出图形添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【变式训练11-6】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限的反比例函数图象上，过点作．垂足为，设． （1）直接写出点、的坐标及的大小； （2）求点的坐标（用含的式子表示）； （3）已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，联结，如果轴，求的值． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【分析】（1）分别令，即可得到点、坐标，进而求出、，可得，即可得解； （2）由题可得，再解△即可得解； （3）由“”可证△△，可得，，可求点坐标，由反比例函数的性质可得，可求的值，即可求解． 【详解】解：（1）对于直线，令，得，令，得， ，，； ，， ， ； （2）在矩形中，， ， ， ， ， ，， ， 在△中，， ， ，； （3）如图，连接，交轴于点， 轴， ， ，且，，， ，且，， △△ ，， 点，， 点，， 当时，， 点坐标为，， 点，点都在反比例函数上， ， （不合题意舍去），； ，， ． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点坐标是本题的关键． 【变式训练11-7】如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； （3）设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）或； （3）存在点，使；点的坐标为或． 【分析】（1）由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）先联立直线和双曲线求得点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标． 【详解】解：（1）如图，四边形是菱形，连接，交轴于点， ，，， ， ，， ，， ， 一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，将点的坐标代入直线得： ， 解得：， 将点的坐标代入反比例函数得： ， 解得：； 一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或；理由如下： 联立得：， 解得：或， ，， 由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （3）存在点，使；点的坐标为或．理由如下： ，， ， ， ， 设点坐标为， 则， ， ， 当在的左侧时，， ，， ， 当在的右侧时，， ，， ， 综上所述，存在点，使；点的坐标为或． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键． 1．如果反比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，那么一次函数的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】 【详解】解：反比例函数是常数，的图象经过第一、三象限， ， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：． 2．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：当时，，反比例函数在二，四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，，反比例函数在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合． 故选：． 3．下列函数中，函数值随的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：、，函数的函数值随的增大而增大，故符合题意； 、，函数的函数值随的增大而减小，故不符合题意； 、，函数在第一象限和第三象限内的函数值随的增大而减小，故不符合题意； 、，函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，故不符合题意； 故选：． 4．双曲线与直线且在一、三象限分别相交于、两点，与直线在一、三象限分别相交于、两点，那么四边形的形状一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【答案】 【详解】解：双曲线与直线且在一、三象限分别相交于、两点，与直线在一、三象限分别相交于、两点， ，， 四边形是平行四边形， 由，解得， ，，，， 同理，，，， ， ， 四边形是矩形， 和过一、三象限， 与不会垂直， 四边形不会是菱形和正方形， 故选：． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，则使函数值的自变量的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】 【详解】解：根据函数图象可知：则使函数值的自变量的取值范围是或． 故选：． 6．将反比例函数图象向上平移两个单位后与轴的交点坐标为　 ． 【答案】． 【详解】解：平移后所得函数的解析式为：， 令， ， 所得函数图象与轴的交点坐标是． 故答案为：． 7．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是　 （用“＞”连接）． 【答案】y1＞y2． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以改反比例函数的图象位于第二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大． 因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上且x1＜0＜x2， 所以y1＞0，y2＜0， 所以y1＞y2． 故答案为：y1＞y2． 8．已知反比例函数的图象经过点，则其图象在　 　 象限． 【答案】二、四． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 9．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则△的面积为　 ． 【答案】． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． 由条件可知． 点是点关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ，， ， 又， △△， ，， ． 延长，交于点，则， ． 故答案为：． 10．如图，△，△，△，，△都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为　 ． 【答案】． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 故答案为：． 11．如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）求△的面积． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【详解】解：（1）把代入，， 得：， 所以反比例函数解析式为， 把代入， 得：， 解得， 把和代入， 得， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）观察图象，不等式的解集为或． （3）当时，， 解得， 所以点， 所以． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点；直线与轴交于点，且与直线交于点． （1）求点、点、点的坐标； （2）若反比例函数经过点，求反比例函数解析式． 【答案】（1），，； （2）． 【详解】解：（1）令，得， 解得， ， 对于直线， 令，得， 解得， ， 联立两直线方程：， 解得， ； （2）反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式为． 13．如图，的顶点，分别在双曲线和上，顶点在轴上，已知点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）． （2）7． 【详解】解：（1）将点代入， 得， 解得， 双曲线的解析式为； （2）如图，连接，设与轴交于点， 四边形为平行四边形，点在轴上， 轴， 点和点分别在双曲线和上， ，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $