专题02 平面直角坐标系（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

专题02 平面直角坐标系 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 写出直角坐标系中点的坐标 题型2 求点到坐标轴的距离 题型3 判断点所在的象限 题型4 已知点所在的象限求参数 题型5 已知两点坐标求两点距离 题型6 由平移方式确定点的坐标 题型7 坐标与图形变化一 轴对称 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.象限划分、各象限与坐标轴上点的坐标特征 2.点到坐标轴的距离 3.点关于x轴、y轴、原点的对称坐标规律 4.坐标平移变化规律 5.坐标系中线段长度、图形面积计算 6.利用坐标确定实际地理位置 1.坐标特征判定:根据坐标符号判断点所在象限，依托坐标轴点的特点求解参数取值，选择填空基础题型。 2.距离求值:依据坐标特点求点到两条坐标轴距离，结合线段长度反向求字母数值。 3.对称坐标变换:熟记三类对称坐标变化规则，由已知点快速写出对称点坐标，高频基础考题。 4.平移坐标变化:分清左右、上下平移对横纵坐标的改动规律，根据移动前后坐标求平移方向。 5.几何面积计算:采用割补拆分法，借助顶点坐标把不规则图形转化成长方形、三角形求面积。 6.实际情境应用:结合地图、方位场景建立平面坐标系，标注地点坐标，考查数形应用能力。 7.跨模块综合:和一次函数、反比例函数图像结合，依托坐标求解交点、图形面积。 考情解码：平面直角坐标系是衔接几何图形与函数知识的枢纽，承接之前几何内容，是后续各类函数学习的必备基础，在八下知识体系里起到过渡作用。本专题以坐标变化、数形转化为核心，是培养数形结合思想、读图解题能力的关键内容。 知识点一 平面直角坐标系 1.有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 2.平面直角坐标系 1.概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 3.点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 【特别提醒】点在坐标轴上，不属于任何象限. 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. 4.简单图形坐标表示 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 即时即练若，则点到y轴的距离是_______． 知识点二 两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 即时即练已知点，，则线段的长为________ 知识点三 用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 【特别提醒】(1)图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移.(2)平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小. 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 即时即练将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点四 平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 即时即练若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 题型1 写出直角坐标系中点的坐标 例1．在平面直角坐标系中，，，且轴，则的值为__________． 例2．平面直角坐标系第三象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为__________． 【技巧总结】 1．平行坐标轴题型 平行x轴 → 纵坐标相同；平行y轴 → 横坐标相同，据此列式求参数。 2．象限 + 点到坐标轴距离 到x轴距离=纵坐标绝对值，到y轴距离=横坐标绝对值；结合象限正负符号写坐标。 【变式训练1-1】小华家在延安初级中学向西走米，再向北走米处，如果以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向，以米为单位长度建立平面直角坐标系，那么小华家的位置的坐标是________． 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、； (1)画出关于直线对称的 (2)写出各个顶点的坐标：________；________；________． 【变式训练1-3】如图是某市部分位置的示意图，已知“文化宫”的坐标为，“超市”的坐标为，完成以下问题： (1)根据题意，在图中建立一个平面直角坐标系； (2)用坐标表示图中其他地点的位置： ①“体育场”的坐标为___________； ②“医院”的坐标为___________； ③“火车站”的坐标为___________； ④“市场”的坐标为___________． 题型2 求点到坐标轴的距离 例3．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例4．在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 【技巧总结】 1.坐标系判三角形形状 平行坐标轴算边长，对比三边长度判断等腰;边长满足勾股判定直角。 2.象限+距离求坐标 到x轴距离对应纵坐标，到y轴距离对应横坐标;按所在象限确定正负号。 【变式训练2-1】在平面直角坐标系中，已知点，则点到轴的距离是______． 【变式训练2-2】已知点到两个坐标轴的距离相等，则______． 【变式训练2-3】已知是平面直角坐标系中的一点． (1)若点A在y轴上，求a的值； (2)若点A在第二象限，求a的取值范围； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 题型3 判断点所在的象限 例5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例6．已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【技巧总结】 1.定点所在象限:熟记四个象限横、纵坐标正负规律，对照符号直接判定。 2.由原点点位推新坐标象限:先根据已知象限判断字母正负，再判断新坐标符号、确定象限。 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，如果是正数，那么点在第_____象限． 【变式训练3-2】有下列说法：①有序数对对应的点一定在第一象限；②若表示有理数，则点一定在第三象限；③若，则点一定在第一象限或第三象限；④若，则点表示原点其中，正确的是______（填序号）． 【变式训练3-3】已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 题型4 已知点所在的象限求参数 例7．在平面直角坐标系中，经过点且平行于y轴的直线可记为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 例8．点在轴上，则点的坐标为_____ 【技巧总结】 1.平行坐标轴直线:平行y轴直线横坐标固定;平行x轴直线纵坐标固定。 2.坐标轴上的点:x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0，代入求参数。 【变式训练4-1】若点在第二象限，那么的取值范围是______． 【变式训练4-2】点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 【变式训练4-3】已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 题型5 已知两点坐标求两点距离 例9．平面直角坐标系中，点与点之间的距离为________． 例10．在平面直角坐标系中，已知两点，那么__________． 【技巧总结】 1.同横坐标(竖直线段):两点纵坐标相减取绝对值得长度。 2.同纵坐标(水平线段):两点横坐标相减取绝对值得长度。 【变式训练5-1】已知三个顶点的坐标为、、，则三角形的形状为______． 【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 【变式训练5-3】上海迪士尼乐园拥有多个园区．如图是上海迪士尼度假区部分景点游览图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，此时“雷鸣山漂流”景点C和“小矮人矿山车”景点B的坐标分别是和． (1)请利用上述两个坐标，在图中画出正确的平面直角坐标系，并标注原点与坐标轴方向； (2)根据你所建立的坐标系，写出“创极速光轮”景点A的坐标为 ；“加勒比海盗”景点D的坐标为 ； (3)小明和同学假期到迪士尼游玩，从“创极速光轮”景点A处计划前往“加勒比海盗”景点D，他们看到游览图中有两条路线，分别是路线①：（图中虚线），路线②：（图中虚线），此时同学们出现了不同的选择．如果他们保持行走的速度不变，请利用平面直角坐标系的相关知识通过计算说明选择哪条路线能先到达目的地？ 题型6 由平移方式确定点的坐标 例11．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 例12．点向下平移个单位长度后，对应点的坐标为________． 【技巧总结】 1.左右平移:右加左减横坐标;上下平移:上加下减纵坐标。 2.逆向求原坐标:平移反向运算。 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【变式训练6-2】如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 【变式训练6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点、． (1)画出线段向右平移个单位长度的线段，并写出点、的坐标； (2)画出线段关于轴对称的线段，并写出点、的坐标； (3)已知点在轴上，且，求的坐标． 题型7 坐标与图形变化一 轴对称 例13．已知点和关于x轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 例14．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【技巧总结】 1.x轴对称:横坐标不变，纵坐标变号。 2.y轴对称:纵坐标不变，横坐标变号。 【变式训练7-1】在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________． 【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【变式训练7-3】如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 1．第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．点与点关于轴对称，则_____． 3．点向________平移________个单位长度后所对应的点的坐标是． 4．点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 5．点和点之间的距离是______． 6．恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________． 7．在平面直角坐标系中，线段的垂直平分线交x轴于点P，已知点A的坐标是、点B的坐标是，那么点P的坐标是______． 8．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 9．在图中画出适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为和，并直接写出点C、D的坐标． 10．已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 11．在平面直角坐标系中，已知点和点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点 (1)、两点间的距离是_________； (2)点的坐标是_________； (3)求点的坐标； 12．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 13．如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，的位置如图所示． (1)写出点A、B、C的坐标：______，B_______，C________； (2)平移，使点移动到点． ①画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标：________．（用含，的代数式表示） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 写出直角坐标系中点的坐标 题型2 求点到坐标轴的距离 题型3 判断点所在的象限 题型4 已知点所在的象限求参数 题型5 已知两点坐标求两点距离 题型6 由平移方式确定点的坐标 题型7 坐标与图形变化一 轴对称 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.象限划分、各象限与坐标轴上点的坐标特征 2.点到坐标轴的距离 3.点关于x轴、y轴、原点的对称坐标规律 4.坐标平移变化规律 5.坐标系中线段长度、图形面积计算 6.利用坐标确定实际地理位置 1.坐标特征判定:根据坐标符号判断点所在象限，依托坐标轴点的特点求解参数取值，选择填空基础题型。 2.距离求值:依据坐标特点求点到两条坐标轴距离，结合线段长度反向求字母数值。 3.对称坐标变换:熟记三类对称坐标变化规则，由已知点快速写出对称点坐标，高频基础考题。 4.平移坐标变化:分清左右、上下平移对横纵坐标的改动规律，根据移动前后坐标求平移方向。 5.几何面积计算:采用割补拆分法，借助顶点坐标把不规则图形转化成长方形、三角形求面积。 6.实际情境应用:结合地图、方位场景建立平面坐标系，标注地点坐标，考查数形应用能力。 7.跨模块综合:和一次函数、反比例函数图像结合，依托坐标求解交点、图形面积。 考情解码：平面直角坐标系是衔接几何图形与函数知识的枢纽，承接之前几何内容，是后续各类函数学习的必备基础，在八下知识体系里起到过渡作用。本专题以坐标变化、数形转化为核心，是培养数形结合思想、读图解题能力的关键内容。 知识点一 平面直角坐标系 1.有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 2.平面直角坐标系 1.概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 3.点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 【特别提醒】点在坐标轴上，不属于任何象限. 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. 4.简单图形坐标表示 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 即时即练若，则点到y轴的距离是_______． 【答案】5 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再根据点到轴距离的定义求解即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且， ， ， ∴，． 平面直角坐标系中，点到轴的距离为横坐标的绝对值，即． 知识点二 两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 即时即练已知点，，则线段的长为________ 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：∵点，， ∴． 故答案为：． 知识点三 用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 【特别提醒】(1)图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移.(2)平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小. 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 即时即练将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的平移规律：左右平移改变横坐标，右移加左移减，纵坐标不变，本题按规律计算即可得到结果. 【详解】解：将向右平移3个单位长度后得到点B， ∴ 点的坐标为，即. 知识点四 平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 即时即练若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 【答案】 【分析】根据坐标变换得到点与点的坐标特征，结合对称点的坐标特征判断对称轴即可． 【详解】解：设点的坐标为 由题意得，变换后点的坐标为 根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于轴对称． 可得点与点关于轴对称． 题型1 写出直角坐标系中点的坐标 例1．在平面直角坐标系中，，，且轴，则的值为__________． 【答案】 【分析】平行于轴的直线上的点纵坐标相等，根据该性质列方程即可求解的值． 【详解】解：∵，，且轴， 点和点的纵坐标相等，即， 解得：． 例2．平面直角坐标系第三象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征以及点到坐标轴的距离的意义，解题的关键是根据点所在象限确定横纵坐标的符号，结合点到坐标轴的距离得到点的坐标；先根据点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，再根据第三象限内点的横纵坐标均为负，推导出点的坐标． 【详解】解：∵ 点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴ 点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为； 又∵ 点在平面直角坐标系第三象限，第三象限内点的横，纵坐标均为负数， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 点的坐标为． 【技巧总结】 1．平行坐标轴题型 平行x轴 → 纵坐标相同；平行y轴 → 横坐标相同，据此列式求参数。 2．象限 + 点到坐标轴距离 到x轴距离=纵坐标绝对值，到y轴距离=横坐标绝对值；结合象限正负符号写坐标。 【变式训练1-1】小华家在延安初级中学向西走米，再向北走米处，如果以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向，以米为单位长度建立平面直角坐标系，那么小华家的位置的坐标是________． 【答案】 【分析】根据给定的平面直角坐标系的原点，正方向和单位长度，分别确定横纵坐标的符号与数值，即可得到小华家的坐标． 【详解】解：由题意得，以学校所在位置为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，以米为单位长度建立平面直角坐标系， 小华家在学校向西米，向西为轴负方向，则横坐标为， 小华家再向北走米，向北为轴正方向，则纵坐标为， 故小华家位置的坐标为． 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、； (1)画出关于直线对称的 (2)写出各个顶点的坐标：________；________；________． 【答案】(1)见解析 (2)；； 【分析】（1）利用轴对称的性质描出点，再顺次连接即可； （2）根据各个顶点的位置，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：；；． 【变式训练1-3】如图是某市部分位置的示意图，已知“文化宫”的坐标为，“超市”的坐标为，完成以下问题： (1)根据题意，在图中建立一个平面直角坐标系； (2)用坐标表示图中其他地点的位置： ①“体育场”的坐标为___________； ②“医院”的坐标为___________； ③“火车站”的坐标为___________； ④“市场”的坐标为___________． 【答案】(1)解：如图，平面直角坐标系即为所求； (2)①；②；③；④ 【分析】（1）先根据文化宫和超市的坐标，确定原点位置，以文化宫向右格、向下格的点为坐标原点，以水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系即可； （2）根据建立的坐标系，数出各地点到轴、轴的距离，结合所在象限确定横纵坐标，用有序数对表示各地点的位置即可． 【详解】（1）略 （2）解：①“体育场”的坐标为； ②“医院”的坐标为； ③“火车站”的坐标为； ④“市场”的坐标为． 题型2 求点到坐标轴的距离 例3．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 例4．在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标为正数，纵坐标为负数， 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，且点到轴和轴的距离分别是、， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为. 【技巧总结】 1.坐标系判三角形形状 平行坐标轴算边长，对比三边长度判断等腰;边长满足勾股判定直角。 2.象限+距离求坐标 到x轴距离对应纵坐标，到y轴距离对应横坐标;按所在象限确定正负号。 【变式训练2-1】在平面直角坐标系中，已知点，则点到轴的距离是______． 【答案】 【分析】根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点， ∴点到轴的距离是． 【变式训练2-2】已知点到两个坐标轴的距离相等，则______． 【答案】或2 【分析】点到两坐标轴的距离相等，可知该点的横纵坐标的绝对值相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵点到两个坐标轴的距离相等， ∴ ． ∴ 或 ． 解得或． 【变式训练2-3】已知是平面直角坐标系中的一点． (1)若点A在y轴上，求a的值； (2)若点A在第二象限，求a的取值范围； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求解即可； （2）在第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此列式求解即可； （3）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，可知该方程无解， 解方程得； 综上所述，． 题型3 判断点所在的象限 例5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题根据各象限内点的坐标的符号特征即可判断． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴横坐标，纵坐标， 四个象限的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， ∴点符合第二象限点的坐标特征，点在第二象限． 例6．已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据点A所在象限得到m，n的取值范围，再推导点B横纵坐标的符号，即可判断点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． ∴，． ∴ ，． ∵第三象限内点的横坐标和纵坐标都小于0． ∴点在第三象限． 【技巧总结】 1.定点所在象限:熟记四个象限横、纵坐标正负规律，对照符号直接判定。 2.由原点点位推新坐标象限:先根据已知象限判断字母正负，再判断新坐标符号、确定象限。 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，如果是正数，那么点在第_____象限． 【答案】一 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：由题意得，是正数，即，点的纵坐标， 因此点的横纵坐标均为正数，符合第一象限内点的坐标特征， 故点在第一象限． 【变式训练3-2】有下列说法：①有序数对对应的点一定在第一象限；②若表示有理数，则点一定在第三象限；③若，则点一定在第一象限或第三象限；④若，则点表示原点其中，正确的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，逐一判断每个说法的正确性即可. 【详解】解：① 由平方的非负性可知，，则；由绝对值的非负性可知，， ∴当时，在第一象限，当时，在 轴上，不符合题意； ② 由平方的非负性可知，，则，无法判定正负， ∴点所在位置无法判断，不符合题意； ③ ，则，此时点在第一象限，或，此时点在第三象限，符合题意； ④ ，则，点在轴上，或，点在轴上，或，点表示原点，不符合题意． 【变式训练3-3】已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 题型4 已知点所在的象限求参数 例7．在平面直角坐标系中，经过点且平行于y轴的直线可记为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据平行于y轴的直线的横坐标相同，即可得出结果. 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等， 又∵直线经过点，该点横坐标为， ∴该直线可记为. 例8．点在轴上，则点的坐标为_____ 【答案】 【分析】在x轴上的点的纵坐标为0，据此求出a的值，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【技巧总结】 1.平行坐标轴直线:平行y轴直线横坐标固定;平行x轴直线纵坐标固定。 2.坐标轴上的点:x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0，代入求参数。 【变式训练4-1】若点在第二象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，横坐标小于零，纵坐标大于零，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解不等式组得：． 【变式训练4-2】点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 【答案】 【分析】此题考查了点所在的象限，解一元一次不等式组，求平方根，根据题意列出不等式组是解题的关键．根据点所在的象限的特征列出不等式组，解一元一次不等式组得到，根据点P到x轴、y轴的距离相等得到方程，解方程得到，根据乘方和平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得， 又点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：，符合题意， 把代入， 得． ∴的平方根为， 故答案为： 【变式训练4-3】已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二，四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上的点的纵坐标相同，列方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴. 题型5 已知两点坐标求两点距离 例9．平面直角坐标系中，点与点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】根据两点之间的距离公式即可求解． 【详解】解：． 例10．在平面直角坐标系中，已知两点，那么__________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【技巧总结】 1.同横坐标(竖直线段):两点纵坐标相减取绝对值得长度。 2.同纵坐标(水平线段):两点横坐标相减取绝对值得长度。 【变式训练5-1】已知三个顶点的坐标为、、，则三角形的形状为______． 【答案】等腰直角三角形 【分析】先利用两点间距离公式计算出三边的平方，再结合勾股定理逆定理和边的数量关系判断三角形形状． 【详解】解：，，， ， ， ， 可得，即， 又， 是等腰直角三角形． 【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 【答案】是直角三角形 【分析】利用勾股定理以及逆定理解答即可． 【详解】解：∵点、、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式训练5-3】上海迪士尼乐园拥有多个园区．如图是上海迪士尼度假区部分景点游览图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，此时“雷鸣山漂流”景点C和“小矮人矿山车”景点B的坐标分别是和． (1)请利用上述两个坐标，在图中画出正确的平面直角坐标系，并标注原点与坐标轴方向； (2)根据你所建立的坐标系，写出“创极速光轮”景点A的坐标为 ；“加勒比海盗”景点D的坐标为 ； (3)小明和同学假期到迪士尼游玩，从“创极速光轮”景点A处计划前往“加勒比海盗”景点D，他们看到游览图中有两条路线，分别是路线①：（图中虚线），路线②：（图中虚线），此时同学们出现了不同的选择．如果他们保持行走的速度不变，请利用平面直角坐标系的相关知识通过计算说明选择哪条路线能先到达目的地？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)路线①先到达目的地 【分析】（1）根据“雷鸣山漂流”景点C和“小矮人矿山车”景点B的坐标分别是和即可确定作出平面直角坐标系； （2）根据坐标系即可求解； （3）根据两点之间距离公式分别求解，，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）解：由坐标系可得，“创极速光轮”景点A的坐标为；“加勒比海盗”景点D的坐标为； （3）解：路线①的路程为； 路线②的路程为， ∵ ∴， ∴路线①的路程短，故路线①先到达目的地． 题型6 由平移方式确定点的坐标 例11．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 例12．点向下平移个单位长度后，对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的平移变化，解题思路是根据点平移的坐标变化规律，向下平移时横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度，计算得到对应点的坐标. 【详解】解：在平面直角坐标系中，点平移的坐标规律为：将点向下平移个单位长度，得到的对应点坐标为. 已知点，向下平移个单位长度， 横坐标不变，为，纵坐标计算得： 因此平移后对应点的坐标为. 【技巧总结】 1.左右平移:右加左减横坐标;上下平移:上加下减纵坐标。 2.逆向求原坐标:平移反向运算。 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点平移的性质进行求解． 【详解】解：∵点的对应点为点， ∴可以看作点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的坐标为，即． 【变式训练6-2】如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，先求得到的平移方式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点A，B的坐标分别为， ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到 ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，即 【变式训练6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点、． (1)画出线段向右平移个单位长度的线段，并写出点、的坐标； (2)画出线段关于轴对称的线段，并写出点、的坐标； (3)已知点在轴上，且，求的坐标． 【答案】(1)见解析；、 (2)见解析；、 (3)或 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据轴对称的性质解答即可； （3）设点M的坐标为，根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 点、的坐标分别为、； （2）解：如图，线段即为所求； 点、的坐标分别为、； （3）解：设点M的坐标为， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵点， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点M的坐标为或． 题型7 坐标与图形变化一 轴对称 例13．已知点和关于x轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律求出和的值，再计算即可． 【详解】解：根据关于x轴对称的点的坐标规律可得，， ∴． 例14．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 【技巧总结】 1.x轴对称:横坐标不变，纵坐标变号。 2.y轴对称:纵坐标不变，横坐标变号。 【变式训练7-1】在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________． 【答案】 【分析】根据题意得：，，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ∴， ∴． 【变式训练7-2】在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解，再由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）先画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 【变式训练7-3】如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【答案】(1)见解析；，， (2)见解析 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点连线即可； （2）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于D点，根据两点之间线段最短可判断D点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作，，，． （2）解：如图，点D为所作． 1．第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴ 点纵坐标的绝对值，横坐标的绝对值， ∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴ ，， ∴ 点的坐标为． 2．点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出，，再计算的值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 3．点向________平移________个单位长度后所对应的点的坐标是． 【答案】 右 5 【分析】根据平移前后点的坐标特征，纵坐标不变，可知点沿水平方向平移，再计算横坐标的变化量，结合平面直角坐标系中点的平移规律即可得到平移方向和平移单位长度. 【详解】解：∵点，平移后对应的点的坐标为，纵坐标不变， 故点沿着水平方向平移，平移距离为． 故点A向右平移5个单位长度得到点. 4．点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据第二象限点的符号，点到直线的距离进行判定即可求解． 【详解】解：设点， ∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴， ∵点P在第二象限， ∴， ∴点P的坐标是． 5．点和点之间的距离是______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，两点之间的距离公式为． 【详解】解：． 6．恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________． 【答案】 【分析】根据规则分别确定密文中每个字母对应的明文中的字母，进一步可得答案． 【详解】解：由题意可得：向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 向前移动3位对应的是， 结合循环可得：向前移动3位对应的是， ∴当密钥，密文所对应的明文是． 7．在平面直角坐标系中，线段的垂直平分线交x轴于点P，已知点A的坐标是、点B的坐标是，那么点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，设出点坐标，结合两点间距离公式列方程求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵线段的垂直平分线交x轴于点P， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 8．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 9．在图中画出适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为和，并直接写出点C、D的坐标． 【答案】作图见解析，、． 【分析】首先根据点A、B的坐标确定坐标原点和x、y轴的正方向，进而建立平面直角坐标系，再结合图形得出C、D两点的坐标，进而判断这两个点所在的象限. 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 得、． 10．已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 【答案】(1) (2)，或， 或，． 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠性质得，则，由勾股定理求出，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分三种情况讨论，由菱形的性质得，根据题意作出相应图形，然后结合菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠性质得：，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：； （2）如图， 当四边形为菱形， ， ∴， 矩形平移距离， 即， 设交轴于，如图所示： ，轴， ， 四边形是矩形， ，， ， 点的坐标为． 若四边形是菱形， ， ， ， ， ∴， ， 的坐标为； 当四边形是菱形， ，，， ，， 点的坐标为， 综上所述：，或， 或，． 11．在平面直角坐标系中，已知点和点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点 (1)、两点间的距离是_________； (2)点的坐标是_________； (3)求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标，利用勾股定理求解； （2）利用线段中点坐标公式求解； （3）连接，利用线段垂直平分线的性质列出方程求解． 【详解】（1）解：由勾股定理，得、两点间的距离为； （2）解：∵点是线段的中点， ∴点的坐标为，即； （3）解：如图所示，连接， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 假设，根据勾股定理， ∴， 解得， ∴点的坐标． 12．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 【答案】(1)图见解析， (2)或或 【分析】（1）先根据点和点的坐标确定平移方式，再描出点、，连接成三角形即可； （2）分类讨论，由平行四边形的性质结合平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图所示： 由图可知，点的坐标为； （2）解：如图， ①当点在点的对面时， 由图可知，，， ∴点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； ③当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 13．如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，的位置如图所示． (1)写出点A、B、C的坐标：______，B_______，C________； (2)平移，使点移动到点． ①画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标：________．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)，， (2)①图见解析 ②． 【分析】（）根据平面直角坐标系坐标的规则：横坐标左负右正、纵坐标下负上正，数格点可得的坐标； （）① 点移动到点的坐标变化，得出平移规则为向右平移个单位，向下平移个单位，根据对应关系，给坐标按平移规则计算得到坐标，连接即得到平移后的三角形；② 所有点都遵循相同的平移规律，点平移后横坐标加，纵坐标减，因此对应点坐标为． 【详解】（1）解：，，； （2）解：①点移动到点， 横坐标变化：，得：向右平移个单位， 纵坐标变化：，得：向下平移个单位， ∴平移后：， 平移后：， 平移后的三个顶点坐标为，，，连接三点即可得到平移后的三角形； ②∵平移，使点移动到点， ∴点在内，向右平移个单位，向下平移个单位， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $