第02讲 特殊的二次函数y=ax2和y=ax2+k的图像和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第02讲 特殊的二次函数y=ax2和y=ax2+k的 图像和性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数y=ax2的图像 题型2 二次函数y=ax2的性质 题型3 二次函数y=ax2图像的应用 题型4 二次函数y=ax2中的几何问题 题型5 二次函数y=ax2的规律应用 题型6 二次函数y=ax2+k的图像 题型7 二次函数y=ax2+k的性质 题型8 二次函数y=ax2+k的图像平移 题型9 二次函数y=ax2+k的图像的应用 题型10 二次函数y=ax2+k的几何应用 题型11 二次函数y=ax2+k新定义与分段函数问题 题型12 二次函数y=ax2+k最值问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、描点法、对称轴、顶点、开口方向、开口大小、增减性、最值、上下平移、上加下减、待定系数法、图像比较、几何应用、区间最值、新定义函数 1. 掌握描点法画、的图像，认识抛物线的基本特征。 2. 熟练掌握、的开口、对称轴、顶点、增减性与最值，理解、的几何意义。 3. 理解抛物线上下平移规律“上加下减”，能根据平移写解析式、由解析式反推平移过程。 4. 会利用两类二次函数解决坐标判断、函数值比较、图像共存、几何图形结合、区间最值等基础题型。 5. 结合数形结合思想，能处理含参数、新定义类拓展题型，建立图像分析解题思维。 学习重点： 1. 、的图像画法与全套性质（开口、对称轴、顶点、增减、最值）。 2. 系数决定开口方向与开口大小，控制抛物线上下平移。 3. 上下平移规律“上加下减”的理解与直接运用。 4. 基础题型：判断点是否在抛物线上、比较函数值、简单图像综合、基础几何应用。 学习难点： 1. 区分|a|对开口宽窄的影响，易混淆正负对应的增减变化趋势。 2. 平移规律灵活运用，已知顶点/平移结果反求原函数解析式。 3. 给定自变量取值区间求最值（顶点不在区间内时，最值在端点）。 4. 数形综合题：抛物线与正方形、坐标系几何图形结合求参数、线段面积。 5. 一次函数与二次函数同图判断、新定义类创新题型的图像分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次函数 y=ax² 的图像与性质 1. 二次函数的图象的作法 在平面直角坐标系中，按照下列步骤画二次函数的图像. (1)列表:取自变量的一些值，计算出相应的函数值. 1 4 （2）描点：分别以所取的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点. （3）连线：用光滑的曲线将描出的点顺次连接起来，得到函数的图像，如图27－2－1所示． 二次函数的图像是一条曲线，这类特殊形状的曲线是抛物线．二次函数的图像也可称为抛物线． 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式． 抛物线 有什么性质？ 通过观察可以看到，抛物线 开口向上，分别向左上方和右上方无限延伸。 还可以看出， 轴是抛物线 的对称轴[说明抛物线是轴对称图形]．抛物线 与其对称轴的交点 称为抛物线 的顶点[顶点是原点]，它也是抛物线 的最低点． 2. 二次函数的图像和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】(1)，对称轴为y轴 (2)点不在此函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可； （2）求出当，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴； （2）解：在中，当时，， ∴点不在此函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0） 【分析】（1）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可； （2）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可； （3）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可； （4）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线解析式为 ∴a＝3＞0， ∴抛物线y＝3x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （2）∵抛物线解析式为：， ∴a＝-3＜0， ∴抛物线y＝-3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （3）∵抛物线解析式为：， ∴a＝ ∴抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （4）∵抛物线解析式为：， ∴a＝， ∴抛物线y＝x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 知识点02 二次函数y=ax²+k的图像与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2.二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解； （2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 题型1 二次函数y=ax2的图像 【例1】已知二次函数 的图象开口向下，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的定义和开口向下，可以求得的值． 【详解】解：二次函数 的图象开口向下， ，， 解得， 故答案为： ． 【例2】请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题主要考查了描点法画函数图象，二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，解题的关键是画出函数图象． （1）利用描点法可画出函数图象； （2）再结合图象可求得开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： （2）解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上；顶点坐标为；对称轴为y轴；函数有最小值0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【变式1-1】函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 【变式1-2】抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1-4】抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小依此进行判断即可． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， 对于抛物线，二次项系数， ∵， ∴的开口比的开口更小， 故选：B． 题型2 二次函数y=ax2的性质 【例3】二次函数的性质： 一般地，当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点是______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越______． 一般地，当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点是______，顶点是抛物线的最______点，a越小，抛物线的开口越______． 【答案】 向上 y轴 原点 低 小 向下 y轴 原点 高 小 【解析】略 【例4】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用二次函数的图象及其性质即可求解． 【详解】、图象与轴交点的坐标是，此选项判断错误，不符合题意； 、图象的对称轴是轴，此选项判断错误，不符合题意； 、图象的顶点坐标为，此选项判断错误，不符合题意； 、当时，随的增大而增大，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象性质，掌握相关性质利用数形结合思想解题的关键． 【变式2-1】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 【变式2-2】已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 【变式2-3】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 把点坐标代入二次函数解析式可求得的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ，解得， 二次函数解析式为， 当时，，当或时，， 故点在抛物线上. 故选：B． 【变式2-4】抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】根据二次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧部分随着的增大而减小． 故答案为：下降． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键． 【变式2-5】已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：抛物线方程为， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， 因此， 故选：B． 【变式2-6】已知函数是关于x的二次函数，求： (1)满足条件m的值． (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)2或 (2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大 (3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值； （2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性； （3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性． 【详解】（1）解：根据题意得且， 解得，， 所以满足条件的m值为2或． （2）解：当时，抛物线有最低点， 所以， 此时抛物线解析式为， 所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大． （3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值； 此时抛物线解析式为， 所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零． 题型3 二次函数y=ax2图像的应用 【例5】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 【例6】关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 【变式3-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除A，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除A； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，排除B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C． 故选：D． 【变式3-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小； 【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为； 由图像可知：； 故选：D 【变式3-3】如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 题型4 二次函数y=ax2中的几何问题 【例7】如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与x轴的夹角为，然后求出点B的坐标是解题的关键． 【变式4-1】如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确定线段的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标． 1． 代入点坐标求出抛物线解析式； 2． 根据旋转规则确定点的坐标，得到的纵坐标； 3． 将的纵坐标代入抛物线解析式，求出点的横坐标，得到点坐标． 【详解】解：将代入， 得， 解得， 故抛物线解析式为． 绕点顺时针旋转得到， 则旋转后对应 且， 故的纵坐标为． 点在上，故其纵坐标为； 将代入抛物线，得（舍去负根，因在第一象限）， 旋转后对应， 故是从到的线段， 纵坐标恒为． 代入得（舍去）， 故． 故选：C． 【变式4-2】已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： (1)求a和k． (2)求点B坐标． (3)的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； （3）解：在中，令，得， ， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． (1)求直线和抛物线的函数解析式． (2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为 (2)或或或 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，面积问题； （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出，的值即可得出的解析式；将代入求出即可得出抛物线解析式； （2）需要分类讨论：，，，利用线段的长度来求点的坐标； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式列出方程，然后解出的值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； （2）∵ ∴， ①当时，或； ②当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点． 设 解得： ． ③当时， ； 解得：（舍去）或 ∴； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或． （3）联立， 解得：， ∴， ∴ 设， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 题型5 二次函数y=ax2的规律应用 【例8】定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上的任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数．根据以上定义，判断下面所给的函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的定义，把和分别代入函数解析式进行判断即可． 【详解】解：在A中，，，此时，不是偶函数，不合题意； 在B中，，，此时，不是偶函数，不合题意； 在C中，，，此时，是偶函数，符合题意； 在D中，，，此时，不是偶函数，不合题意； 是偶函数的为C， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，理解题目中偶函数的定义是解题的关键． 【变式5-1】如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键． 由可得，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴令，可得纵坐标为，纵坐标为 ， ，， ． ， ． 故选：D． 【变式5-2】如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 【变式5-3】定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：画出函数与函数的图象， 则两个函数的图象的公共点的横坐标就是方程的根， 根据图象可知两个函数的图象共有两个公共点， 其中一个点是， 另一个点也在第三象限，且纵坐标为， 令 解得：（舍去）， ∴两个函数图象的公共点是， ∴方程的解为 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式5-4】定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【答案】(1)①（答案不唯一）②和 (2)①不是，理由如下： 设点、均在直线上， 则两式相减，得． ， ，此时点和点为同一个点， 故不是“纵轴点对称函数”； ② 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为轴的二次函数，即可求解； ②根据关于轴对称的点的坐标特征，设对称点为和，分别代入反比例函数和二次函数，求得的值，即可求解； （2）①设点、均在直线上，得出，则点和点为同一个点，即可判断不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则，得出，根据点，均为抛物线与直线的交点，得出、是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得当时，，即可得出定点的坐标． 【详解】（1）解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为轴的二次函数，都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； ②设对称点为和，则，， ，解得， 当时，，所以纵坐标对称点坐标为和． （2）①略； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则， ． 当时，， 点，均为抛物线与直线的交点， 、是方程的两根， ，， ， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 题型6 二次函数y=ax2+k的图像 【例9】已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上， ∴ 抛物线图象交于轴负半轴， ∴ ∴的图象开口向下，交于轴的正半轴 故答案选A 【变式6-1】已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由反比例函数图象与性质确定参数范围，再由二次函数图象与性质判断选项中的图象即可． 【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限， ， 则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上， 观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求． 【变式6-2】若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 【变式6-3】如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 【变式6-4】当时，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式6-5】抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点是原点， 抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点是， 故抛物线和共有的特征是对称轴都是y轴， 故选：C． 题型7 二次函数y=ax2+k的性质 【例10】函数图像开口方向是______，对称轴是_________顶点坐标是__________，这个顶点是图像的最____点（填“高”或“低”）． 【答案】 向下 y轴 (0，-3) 高 【分析】根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：，抛物线的最高点可得答案． 【详解】解：函数中， ∵， ∴开口向下； ∵，对称轴是y轴； ∴顶点坐标是(0，-3)； 开口向下则顶点是最高点； 故答案是：向下，y轴，(0，-3)，高． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【例11】抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y=ax2+c（a≠0）的基本形式，根据它的性质，进行解答． 【详解】解：抛物线y=-x2+3的开口向下，对称轴是y轴； 当x＞0时，y随x的增大而减小； -，则函数有最大值． 综上，选项D不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+c（a≠0）的性质是解答此题的关键． 【变式7-1】对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时，随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．最小值是1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其相关性质是解题的关键．根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵ 对称轴为 ，且开口向下， ∴ 当时，随增大而减小，故B正确，不符合题意； 顶点坐标为 ，故C正确，不符合题意； ∵ 开口向下，函数有最大值1，没有最小值，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式7-2】已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 【变式7-3】二次函数 的最大值为________． 【答案】5 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当时，二次函数 的最大值为5； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 【变式7-4】抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定． 【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2， ∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0< -x1<x2或0<x1< -x2, 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 【变式7-5】如图，抛物线与矩形交于E、F两点，与矩形交于A、D两点，与矩形交于B、C两点，若点A的横坐标为，则图中阴影部分面积的和为__． 【答案】/0.75 【分析】把点A的横坐标代入函数解析式求出点A、B的纵坐标，从而求出的长度，再根据二次函数的对称性求出的长，并得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵点A的横坐标为， ∴，， ∴点，， ∴， 根据二次函数的对称性，， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键，也是本题的难点． 题型8 二次函数y=ax2+k的图像平移 【例12】抛物线的图象相当于把抛物线的图象______（k＞0）或______（k＜0）平移______个单位． 【答案】 向上 向下 |k| 【解析】略 50．抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 【变式8-1】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 【变式8-2】若一条抛物线经过平移后与抛物线重合，且顶点坐标为(4，－2)，则它的表达式为____________． 【答案】． 【分析】一条抛物线经过平移后与抛物线重合，所以所求抛物线的二次项系数为，再根据顶点坐标写出表达式则可． 【详解】解：根据题意，可设所求的抛物线的解析式为； 此抛物线经过平移后与抛物线重合， ； 此抛物线的顶点坐标为， 其解析式为：． 【点睛】本题考查抛物线顶点坐标式表达时的顶点坐标，抛物线的开口方向和开口大小只与有关．的顶点坐标是． 【变式8-3】把函数的图象向上平移一个单位后得到函数（    ）的图象． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． 二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，据此即可得解． 【详解】解：根据二次函数的平移规律可得： 函数的图象向上平移一个单位得到的函数应为． 故选：． 【变式8-4】抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是____________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律可得平移后的抛物线解析式，由此即可得出答案． 【详解】抛物线向上平移5个单位所得抛物线为， 则其顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律、二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 【变式8-5】如图，已知抛物线，，将向下平移2个单位长度后得抛物线，则图中阴影部分的面积________． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积． 【详解】解：根据题意知，图中阴影部分的面积可以转化成平行四边形的面积，故阴影部分面积为：． 故答案为：8． 题型9 二次函数y=ax2+k的图像的应用 【例13】一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 【变式9-1】如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， 把代入得，， ∴点B的坐标为， 在正方形中，，且与互相垂直平分，则点A的坐标为， 将代入得，， 解得， 故选：B． 【变式9-2】若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 【变式9-3】已知函数则下列图像正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围． 【详解】A选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围； B选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围； C选项正确； D选项错误，当时，图象不应该是一条直线． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象． 【变式9-4】若二次函数的图象不经过第一象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分析列出不等式，从而求解． 【详解】解：∵若二次函数的图象不经过第一象限， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质利用数形结合思想解题是关键． 题型10 二次函数y=ax2+k的几何应用 【例14】如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________． 【答案】 【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可． 【详解】设AB交x轴于C ∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A， ∴A（2，1）， ∵过点A作y轴的平行线交抛物线于点B， ∴B的横坐标为2，OC=2 把x=2代入得y=-3， ∴B（2，-3）， ∴AB=1+3=4， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键． 【变式10-2】如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 【变式10-3】如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______． 【答案】或 【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度． 题型11 二次函数y=ax2+k新定义与分段函数问题 【例15】定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标，设抛物线，把，代入得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：利用特殊情况，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标， 设抛物线，把，代入，得：， 解得：， 故答案为：． 【变式11-1】已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可． 【详解】解：对于， 顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为，， 对于，顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为， 如图， 观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误； ②函数图象上纵坐标为0的点有点，共3个，结论②正确； ③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点或且平行于轴两条直线与图象的交点，此时或，结论③正确； ④点，是该函数图象上的两个点，由图象知，当时，则的最大距离即，结论④正确． 故答案为：②③④． 【变式11-2】定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 故答案为： 【变式11-3】定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是__________． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则； ∴的值是或 故答案为：或 【变式11-4】如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 题型12 二次函数y=ax2+k最值问题 【例16】二次函数有最_________值为__________． 【答案】 大 5 【分析】根据开口方向向下得到有最大值，根据对称轴为y轴得到当x=0时，y最大为5． 【详解】解：由可知： ，开口向下， ∴二次函数有最大值， 又其对称轴为y轴， ∴当x=0时，y最大为5， 故答案为：大，5． 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 【变式12-1】已知二次函数，当时，y的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 【变式12-2】已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，利用勾股定理求出，根据题意推出的周长，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：5． 【变式12-3】对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 1．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 2．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 3．已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数值的计算与比较，关键是根据函数解析式求值并排序． 通过计算各函数在给定x值处的y值，并比较大小，判断是否满足． 【详解】解：选项A：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项B：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项C：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项D：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，满足； ∴这个函数可能是． 故选：D． 4．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 5．二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴， ∴在对称轴右侧随的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升． 6．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 7．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 8．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为___________． 【答案】3 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值． 【详解】画出函数和的图象，如图： 由图可知：当x＝1时，函数有最大值，最大值为3， 所以的最大值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解． 9．已知抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小 【答案】(1)， (2)顶点坐标为，对称轴为轴 (3)时，随的增大而减小 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点综合，抛物线函数图像性质，函数交点坐标求函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）先将代入到可求得的值，再将点代入到即可求得的值； （2）由（1）可得抛物线解析式，将其化为顶点式即可解题； （3）根据抛物线函数图像性质，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得：， ， 将代入得：， 解得：， ，； （2）解：由（1）可得：抛物线即， 其顶点坐标为，对称轴为轴； （3）解：由（1）可得：抛物线， ， 函数图像开口向上， 对称轴为直线， 在时，随的增大而减小． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 特殊的二次函数y=ax2和y=ax2+k的 图像和性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数y=ax2的图像 题型2 二次函数y=ax2的性质 题型3 二次函数y=ax2图像的应用 题型4 二次函数y=ax2中的几何问题 题型5 二次函数y=ax2的规律应用 题型6 二次函数y=ax2+k的图像 题型7 二次函数y=ax2+k的性质 题型8 二次函数y=ax2+k的图像平移 题型9 二次函数y=ax2+k的图像的应用 题型10 二次函数y=ax2+k的几何应用 题型11 二次函数y=ax2+k新定义与分段函数问题 题型12 二次函数y=ax2+k最值问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、描点法、对称轴、顶点、开口方向、开口大小、增减性、最值、上下平移、上加下减、待定系数法、图像比较、几何应用、区间最值、新定义函数 1. 掌握描点法画、的图像，认识抛物线的基本特征。 2. 熟练掌握、的开口、对称轴、顶点、增减性与最值，理解、的几何意义。 3. 理解抛物线上下平移规律“上加下减”，能根据平移写解析式、由解析式反推平移过程。 4. 会利用两类二次函数解决坐标判断、函数值比较、图像共存、几何图形结合、区间最值等基础题型。 5. 结合数形结合思想，能处理含参数、新定义类拓展题型，建立图像分析解题思维。 学习重点： 1. 、的图像画法与全套性质（开口、对称轴、顶点、增减、最值）。 2. 系数决定开口方向与开口大小，控制抛物线上下平移。 3. 上下平移规律“上加下减”的理解与直接运用。 4. 基础题型：判断点是否在抛物线上、比较函数值、简单图像综合、基础几何应用。 学习难点： 1. 区分|a|对开口宽窄的影响，易混淆正负对应的增减变化趋势。 2. 平移规律灵活运用，已知顶点/平移结果反求原函数解析式。 3. 给定自变量取值区间求最值（顶点不在区间内时，最值在端点）。 4. 数形综合题：抛物线与正方形、坐标系几何图形结合求参数、线段面积。 5. 一次函数与二次函数同图判断、新定义类创新题型的图像分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次函数 y=ax² 的图像与性质 1. 二次函数的图象的作法 在平面直角坐标系中，按照下列步骤画二次函数的图像. (1)列表:取自变量的一些值，计算出相应的函数值. 1 （2）描点：分别以所取的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点. （3）连线：用光滑的曲线将描出的点顺次连接起来，得到函数的图像，如图27－2－1所示． 二次函数的图像是一条曲线，这类特殊形状的曲线是抛物线．二次函数的图像也可称为抛物线． 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式． 抛物线 有什么性质？ 通过观察可以看到，抛物线 开口_________，分别向左上方和右上方无限延伸。 还可以看出，_____轴是抛物线 的对称轴[说明抛物线是轴对称图形]．抛物线 与其对称轴的交点_________称为抛物线 的顶点[顶点是原点]，它也是抛物线 的最____点． 2. 二次函数的图像和性质 图象 开口方向与大小 开口向_________ 开口向_________ 越大，开口越_________ 对称性 关于_________轴对称，对称轴是直线_________ 顶点与最值 顶点坐标是_________ 当=_________时，最小值＝0 当=_________时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递_________ 在对称轴右侧递_________ 在对称轴左侧递_________ 在对称轴右侧递_________ （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最_____值； 当时，抛物线开口向下，函数有最_____值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越_________，抛物线的开口越_________，越_________，抛物线的开口越_________. 已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点02 二次函数y=ax²+k的图像与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向_____ 向_____ 对称轴 _____轴（或直线_____） 顶点坐标 _____ 最大（小）值 当=_____时，最小值＝_____ 当=_____时，最大值＝_____ 增减性 当时，随的增大而_____， 当时，随的增大而_____. 当时，随的增大而_____， 当时，随的增大而_____. 2.二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 题型1 二次函数y=ax2的图像 【例1】已知二次函数 的图象开口向下，则的值为________． 【例2】请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【变式1-1】函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【变式1-2】抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 题型2 二次函数y=ax2的性质 【例3】二次函数的性质： 一般地，当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点是______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越______． 一般地，当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是______，顶点是______，顶点是抛物线的最______点，a越小，抛物线的开口越______． 【例4】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式2-1】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【变式2-2】已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【变式2-3】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）． 【变式2-5】已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-6】已知函数是关于x的二次函数，求： (1)满足条件m的值． (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 题型3 二次函数y=ax2图像的应用 【例5】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 【例6】关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 题型4 二次函数y=ax2中的几何问题 【例7】如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： (1)求a和k． (2)求点B坐标． (3)的面积． 【变式4-3】如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． (1)求直线和抛物线的函数解析式． (2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 题型5 二次函数y=ax2的规律应用 【例8】定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上的任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数．根据以上定义，判断下面所给的函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【变式5-3】定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为_________． 【变式5-4】定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 题型6 二次函数y=ax2+k的图像 【例9】已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【变式6-4】当时，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 题型7 二次函数y=ax2+k的性质 【例10】函数图像开口方向是______，对称轴是_________顶点坐标是__________，这个顶点是图像的最____点（填“高”或“低”）． 【例11】抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【变式7-1】对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时，随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．最小值是1 【变式7-2】已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【变式7-3】二次函数 的最大值为________． 【变式7-4】抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【变式7-5】如图，抛物线与矩形交于E、F两点，与矩形交于A、D两点，与矩形交于B、C两点，若点A的横坐标为，则图中阴影部分面积的和为__． 题型8 二次函数y=ax2+k的图像平移 【例12】抛物线的图象相当于把抛物线的图象______（k＞0）或______（k＜0）平移______个单位． 50．抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 【变式8-1】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【变式8-2】若一条抛物线经过平移后与抛物线重合，且顶点坐标为(4，－2)，则它的表达式为____________． 【变式8-3】把函数的图象向上平移一个单位后得到函数（    ）的图象． A． B． C． D． 【变式8-4】抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是____________． 【变式8-5】如图，已知抛物线，，将向下平移2个单位长度后得抛物线，则图中阴影部分的面积________． 题型9 二次函数y=ax2+k的图像的应用 【例13】一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数则下列图像正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式9-4】若二次函数的图象不经过第一象限，则a的取值范围是________． 题型10 二次函数y=ax2+k的几何应用 【例14】如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________． 【变式10-2】如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【变式10-3】如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______． 题型11 二次函数y=ax2+k新定义与分段函数问题 【例15】定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是____． 【变式11-1】已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 【变式11-2】定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是_______． 【变式11-3】定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是__________． 【变式11-4】如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 题型12 二次函数y=ax2+k最值问题 【例16】二次函数有最_________值为__________． 【变式12-1】已知二次函数，当时，y的最小值为________． 【变式12-2】已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是______． 【变式12-3】对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 1．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 2．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 3．已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 4．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）． 6．对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 7．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________．    8．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为___________． 9．已知抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $