专题03 一次函数（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

专题03 一次函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 常量与变量 题型2 函数的概念 题型3 函数关系式 题型4 函数自变量的取值范围 题型5 函数值 题型6 函数的图像 题型7 一次函数的定义 题型8 正比例函数的定义 题型9 一次函数的图象 题型10 正比例函数的图象 题型11 一次函数的性质 题型12 正比例函数的性质 题型13 一次函数与一元一次方程 题型14 一次函数与一元一次不等式 题型15 一次函数与二元一次方程（组） 题型16 根据实际问题列一次函数关系式 题型17 一次函数的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.函数相关概念与自变量取值范围 2.正比例函数定义、图像与性质 3.一次函数定义、解析式 4.一次函数图像与增减性 5.一次函数与坐标轴交点 6.一次函数图像平移规律 7.一次函数与一元一次方程、不等式 8.两个次函数交点问题 9.一次函数实际应用(方案、最值、行程) 1．函数概念辨析：区分常量、变量，判断关系式是否为函数；变量取值范围，填空选择基础题。 2．正比例函数判定：依据 定义求参数 ；由 减性。 3．待定系数法求一次函数 解析式：代入考基础。 4．图像性质应用：由 k , b 符号判断直线经过象限； 递 值大小。 5．求与 x , y 轴交点坐标：令 求 、令 求 ，结合角形面积。 6．图像上下／左右平移：遵循＂上加下减常数项，左加右减自 7．数形结合：利用函数图像解方程 、不等式 应函数值大小。 8．联立两个一次函数解析式，方程组的解即为交点横纵坐标。 9．实际建模：从行程、利润、费用问题提炼一次函数关系式，优方案、最值。 考情解码：一次函数是初中函数入门核心，承接一元一次方程、不等式，是后续反比例、二次函数的铺垫，八下重难点。考题从单一概念辨析、解析式计算，逐步转向数形结合、图像综合、实际应用题;待定系数法求解析式、函数与方程不等式结合、实际最值问题是高频考点，常结合几何面积综合出题，侧重数形结合思想、建模列式与逻辑计算能力。 知识点一 函数的概念 1.常量和变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量.在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. 2.函数的定义 （1）一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化;当x的值确定时，y的值也随之唯一确定。变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 5.函数的图像 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 即时即练“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 【答案】时间 【分析】根据定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断求解． 【详解】解：由题意可知，气温随时间的变化而变化，其中时间是主动变化的量，气温是随时间变化的量，因此自变量是时间． 知识点二 正比例函数的概念 1.成正比例关系： 如果变量与变量的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成正比例．用数学式子表示为或，其中是一个不等于0的常数． 2.正比例函数： 形如是常数，的函数叫作正比例函数，其中非零常数称为比例系数，自变量的取值范围是一切实数．确定了比例系数，就可以给出正比例函数的表达式：． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 即时即练已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 知识点三 正比例函数的图像和性质 1.画函数图像的一般步骤 (1)列表:取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y. (2)描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来. 2.正比例函数的图像 正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y＝kx. 3.正比例函数的性质 （1）增减性： 当k＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大; 当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变量x的增大而减小． 【特别提醒】这两个性质的逆命题也是成立的. （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 即时即练如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 【答案】 【分析】先设出正比例函数的一般形式，代入已知点的坐标求出比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后根据比较与的大小． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 将 代入解析式得， 解得 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小 ∴． 知识点四 待定系数法 步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点五 一次函数的概念 1.一次函数的概念 一般地，解析式形如的函数叫做一次函数. 结构特征:①的系数:②的次数是1;③常数是任意实数;④等式右边是形如kx＋b的关于x的一次式. 2.一次函数x的取值范围 一次函数的x取值范围是一切实数（或指定的部分实数). 3.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特例. 当时,解析式就成为是常数,且),这时是的正比例函数. 【注意】（1）对于一次函数为常数，且),自变量的系数不等于0,且自变量的次数1，而可以是任意实数. （2）当一次函数中的时,被称为正比例函数.显然，正比例函数是一次函数的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 【补充】正比例函数与一次函数的关系（集合关系图示） 即时即练下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数是一次函数，正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A． 是常数函数，不符合一次函数定义，错误； B．中，，属于特殊的一次函数，符合定义，正确； C．是反比例函数，不符合一次函数定义，错误； D．中未说明，当时该函数是常数函数，不符合定义，错误． 知识点六 一次函数的图像 1.一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2.一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线,通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线. 3.直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线与轴的交点坐标是,直线的截距是. 【易错易混】 "截距"不是"截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数.如直线的截距是. 即时即练一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意． 故选：D． 知识点七 一次函数的性质 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 即时即练对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 知识点九 两条直线的的位置关系 1.相交关系 （1）已知两直线和,当时,两直线相交. （2）一般地,直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1)在坐标平面上,截距相同的直线都相交,交点坐标为. (2)在坐标平面上,的值不同,则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同.常数称为直线的斜率,关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习. 【拓展】 (1)直线与相交; (2)直线相交于轴上一点. 2.平行关系 (1)直线与直线的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2)直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 即时即练如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象找出的图象在的图象上方时，对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，， 即不等式的解集为． 知识点八 一次函数图像的平移 一次函数的平移 一次函数（）的图像是将正比例函数（）的图像沿轴平移个单位长度得到的： 若，则向上平移个单位； 若，则向下平移个单位. 【方法总结】直线平移时，的值不变。向上平移时，在表达式末尾加上平移的单位长度；向下平移时，在表达式末尾减去平移的单位长度，即“上加下减”。 即时即练直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：∵直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的， ∴直线向上平移2个单位得到直线． ∴直线：． 知识点十 一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时,求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 即时即练若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 知识点十一 一次函数与一元一次不等式的关系 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看,一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 即时即练如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴不等式的解集为． 知识点十二 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 即时即练在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 题型1 常量与变量 例1．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（　　） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【答案】 【分析】根据常量、变量的意义进行判断即可． 【详解】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量， 而购买的本数，是变化的量，因此是变量， 故选：． 【点评】本题考查常量、变量，理解在某一变化过程中“常量”“变量”的意义是正确判断的前提． 例2．“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是　 　 ． 【答案】时间． 【分析】根据常量、变量、自变量的定义确定自变量即可． 【详解】解：因为一天中，气温随时间的变化而变化，所以时间是自变量， 故答案为：时间． 【点评】本题考查常量与变量，理解常量与变量、自变量的定义是关键． 【技巧总结】 ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【变式训练1-1】“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　 　 ．（填“冰的厚度”或“时间” 【答案】时间． 【分析】根据自变量和因变量的意义，即可解答． 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是时间， 故答案为：时间． 【点评】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 题型2 函数的概念 例3下列变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间 【答案】 【分析】根据函数定义：对于函数中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：项中，长方形的宽一定，是常量，而面积长宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，是函数关系，故不符合题意； 项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值，边长即为，相应地面积为，是函数关系，故不符合题意； 项中，底边与面积虽是两个变量，但面积公式中底边上的高也是变量，即存在三个变量，不是函数关系，故符合题意； 项中，路程与时间是两个变量，且对于时间的每一个值，路程都有唯一确定的值与它对应，它们之间是函数关系，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的概念，三角形面积等，掌握其相关知识点是解题的关键． 例4下列两个变量间不存在函数关系的是（　　） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】 【分析】根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：．圆的面积随着半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； ．随着的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； ．匀速运动的火车，路程随着时间的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； ．某人的体重可能会对应两种身高，不是函数关系，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 【易错提醒】 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【变式训练2-1】下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：，，中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， 中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式训练2-2】下列图象中表示是的函数的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据函数的概念，对应的每一个值，都有唯一的值与它对应判断即可． 【详解】解：根据函数的概念，可知： 图1和图4不能表示是的函数，图2和图3能表示是的函数， 上列图象中表示是的函数的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应的每一个值，都有唯一的值与它对应是解题的关键． 【变式训练2-3】圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 　 　 函数． 【答案】正比例． 【分析】由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的正比例函数． 故答案为：正比例． 【点评】本题考查函数的概念，常量与变量，关键是掌握正比例函数的概念． 题型3 函数关系式 例5小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了本作业本，剩余费用为元，则与的函数关系式为　 　 ． 【答案】 【分析】根据剩余费用总金额单价数量解答即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系式．能够正确利用剩余费用总金额单价数量列出关系式是解题的关键． 例6某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元关于里程数（千米）的函数解析式为 　 　 ． 【分析】当时，根据“乘车费用起步价超过3千米部分的付费”解答即可． 【详解】解：， ， 与的函数解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数关系式，理解题意并得到“乘车费用起步价超过3千米部分的付费”是解题的关键． 【易错提醒】 ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【变式训练3-1】汽车以60千米时的平均速度，由地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程（千米）与行驶时间（时的函数关系式是　 　． 【分析】根据速度乘时间等于路程，可得函数关系式． 【详解】解；由“速度时间路程”，得 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系式．能够正确利用“速度乘以时间等于路程”这一关系来列函数关系式是解题的关键． 【变式训练3-2】已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是　 　 （不要求写定义域）． 【答案】． 【分析】先表示宽，再根据长方形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：长方形的长是，宽是长的一半， 宽为， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数关系式，理解题意是解题的关键． 【变式训练3-3】一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少厘米，则正方形的面积随之减少平方厘米，那么关于的函数解析式是 　 ．　 ． 【答案】． 【分析】根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 关于的函数解析式是． 故答案为：． 【点评】本题考查函数关系式，掌握正方形的面积计算公式是解题的关键． 【变式训练3-4】请根据以下素材，探索完成任务． 买新能源车到底划不划算 素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的款燃油车和款新能源车对比调查．其中、两款车的有关数据如下： 购车费用万元 购置税万元 年均保养费用万元 年均保险费用万元 预计10年后的车价万元 款燃油车 30 3.0 0.20 0.80 9.6 款新能源车 36 0 0.10 1.0 4.0 素材2 总费用（以使用10年为例）购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍 问题解决 任务1 款燃油车每公里油费是多少元； 任务2 设平均每年的行驶路程为万公里，款燃油车使用年的总费用为万元，款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于的表达式； 任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买款新能源车更划算（以使用10年为例）． 【答案】（1）款燃油车平均每公里油费用为1.6元； （2）；； （3）每年行驶里程至少为0.8万公里，购买款新能源车更划算． 【分析】（1）由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出款燃油车平均每公里的加油费用为元，利用可行驶的总路程加油费（充电费）款燃油车平均每公里的加油费用款新能源车平均每公里的充电费用），结合充电费和加油费均为400元时新能源车可行驶的总路程是燃油车的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出款新能源车平均每公里的充电费用，再将其代入中，即可求出款燃油车平均每公里的加油费用； （2）根据使用燃油车10年的总费用购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用，使用新能源车10年的总费用购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用，化简表达式，即可求解； （3）要使购买款新能源车更划算，即，可以得到一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设款新能源车平均每公里的充电费用为元，根据题意可得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元， 答：款燃油车平均每公里油费用为1.6元； （2）由条件可得， ； （3）要使购买款新能源车更划算，即， 即， 解得， 答：当每年行驶里程至少为0.8万公里，购买款新能源车更划算． 【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 题型4 函数自变量的取值范围 例7函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的性质，分母不能为0，据此计算得到的取值范围即可选出正确答案． 【详解】解：分式的分母不能为0， ， 解得， 因此函数的定义域为． 故选：． 【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围，熟练掌握该知识点是关键． 例8函数的定义域是　 　 ． 【答案】． 【分析】结合函数成立的条件确定函数自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，属于基础题． 【技巧总结】 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【变式训练4-1】函数的定义域是　 　 ． 【答案】． 【分析】根据分母不为0，二次根式可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练4-2】函数的定义域是　 　 ． 【答案】 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0． 【变式训练4-3】函数中自变量的取值范围是　 　 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【变式训练4-4】函数的定义域为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数的定义域、二次根式有意义的条件， 题型5 函数值 例9变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】 【分析】直接把代入中进行求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 故选：． 【点评】本题考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 例10已知关于的函数表达式，则当时，　 　 ． 【答案】． 【分析】把代入函数，求出即可． 【详解】解：把代入函数可得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【易错提醒】 ①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【变式训练5-1】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为5时，输出的的值为7．若输入的值为2时，则输出的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】先根据已知求得值，再求解值即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入中，得， 解得， 再将代入中，得， 则输入的值为2时，则输出的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数值，掌握函数值的定义是关键． 【变式训练5-2】已知与之间满足，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 【答案】（1）； （2）5． 【分析】（1）把、的值代入即可求出的值，从而得出与之间的函数关系式； （2）把的值代入函数关系式即可求出的值． 【详解】解：（1）当时，， ， ， ； （2）当时，， 解得． 【点评】本题考查了函数值，函数关系式，正确计算是解题的关键． 题型6 函数的图像 例11碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．是自变量 B．是的函数 C．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 【答案】 【分析】直接观察图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：．观察图象得，是自变量，说法正确，不符合题意； ．观察图象得，是的函数，说法正确，不符合题意； ．观察图象得：对于的每一个确定的值，不一定都有唯一确定的对应值，原说法不正确，符合题意； ．观察图象得：当时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键． 例12如图，当取何值时，函数的图象在第三象限？（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数图象得出答案即可． 【详解】解：根据函数图象可知：时，函数的图象在第三象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【易错提醒】 ①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上； ③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【变式训练6-1】小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米分 【答案】 【分析】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项 【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故正确； 根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了（分钟），所以公共汽车的速度为（米分），故正确； 小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是（分钟），即相遇，故正确； 小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为（米分），故错误． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数图象的综合应用，利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答． 【变式训练6-2】小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．小文走了200米后返回家拿书 B．小文在家停留了3分钟 C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．小文在第10分钟的时候赶到学校 【答案】 【分析】从图象可以知道，2分钟时小文返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校． 【详解】解：、小文走了200米后返回家拿书，正确，不合题意； 、小文在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意； 、小文以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意； 、小文在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了函数图象，正确认识图象和熟练运用待定系数法是解好本题的关键． 【变式训练6-3】某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程（单位：与行驶时间（单位：的函数关系如图所示．货车行驶4小时的路程是　　 ． 【答案】286． 【分析】根据函数图象得出22小时后货车的解析式后解答即可． 【详解】解：当时，设其解析式为：，由条件可得： ， 解得， 解析式为， 当时，， 故答案为：286． 【点评】此题考查函数图象问题，解题的关键是根据待定系数法得出解析式． 题型7 一次函数的定义 例13下列函数中，是的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：．，符合一次函数的定义，符合题意； ．，的次数为2，不符合一次函数的形式，不符合题意； ，即，的次数为，不符合一次函数中次数为1的要求，不符合题意； ．，可视为，其中，不满足的条件，属于常函数而非一次函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知形如、为常数，且的函数为一次函数是解题的关键． 例14下列四个函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如、为常数，的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【详解】解：、不是一次函数，故此选项不符合题意； 、是一次函数，故此选项符合题意； 、不是一次函数，故此选项不符合题意； 、当时不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 【易错提醒】 ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 【变式训练7-1】下列关于的函数中，一定是一次函数的是（　　） A．、是常数） B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义进行计算． 【详解】解：、若，函数不是一次函数，不符合题意； 、，不是整式，不符合一次函数定义，不符合题意； 、可化为，满足一次函数定义，符合题意； 、，的最高次数为2，不是一次函数，不符合定义，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是关键． 【变式训练7-2】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； ．是一次函数，故本选项符合题意； ．不是一次函数，故本选项不符合题意； ．不是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能熟记一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数，叫一次函数． 题型8 正比例函数的定义 例15下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：、是正比例函数，符合题意； 、是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； 、是反比例函数，不符合题意； 、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键． 例16当　 　 时，函数是常数）是正比例函数． 【答案】． 【分析】正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1，常数项为0． 【详解】解：由条件可知且， 解得且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【技巧总结】 正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 【变式训练8-1】当　 　 时，函数是正比例函数． 【答案】2． 【分析】先化简，再根据正比例函数的定义列式计算即可． 【详解】解：， 函数是正比例函数， 且， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【变式训练8-2】当　 　 时，函数是正比例函数． 【答案】． 【分析】先合并同类项化简函数解析式，再根据正比例函数的定义列不等式求解即可． 【详解】解：函数是正比例函数，合并同类项得， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键． 【变式训练8-3】已知函数是正比例函数，则　 　 ． 【答案】 【分析】由正比例函数的定义可得，且． 【详解】解：由正比例函数的定义可得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 【变式训练8-4】已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将当时，，代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题． 【详解】解：（1）与成正比例， 设关于的函数解析式为， 当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）， ， 解得． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键． 题型9 一次函数的图象 例17若，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据判断出与的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 例18一次函数与，在同一平面直角坐标系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于、的符号不确定，故应先讨论、的符号，再根据一次函数的性质进行选择． 【详解】解：（1）当，时，， 一次函数的图象一、二、三象限， 正比例函数的图象过一、三象限，无符合项； （2）当，时，， 一次函数的图象一、三、四象限， 正比例函数的图象过二、四象限，选项符合； （3）当，时，， 一次函数的图象二、三、四象限， 正比例函数的图象过一、三象限，无符合项； （4）当，时，， 一次函数的图象一、二、四象限， 正比例函数的图象过二、四象限，无符合项． 故选：． 【点评】一次函数的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 【易错提醒】 （1）①使用两点法画一次函数的图象，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【变式训练9-1】如图，在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象的位置确定的取值范围，再利用的取值范围确定一次函数的位置，则可对、、选项进行判断；根据一次函数的位置可对进行判断． 【详解】解：、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴下方，所以选项错误； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项正确； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项错误； 、由一次函数经过第一、三象限，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象的画法：经过两点、，作直线．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象． 【变式训练9-2】一次函数与，常数，且是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：的图象从左到右上升， ，与轴交于正半轴， ，即；此时的斜率，，图象应下降，且与轴交于负半轴， 与图象不符，故错误，不符合题意； 的图象从左到右上升， ，与轴交于正半轴， ；此时的斜率，，图象应下降，且与轴交于负半轴， 与图象相符合，故正确，符合题意； 的图象从左到右上升， ，与轴交于负半轴， ；此时的斜率，，图象应上升，且与轴交于负半轴， 与图象不符，故错误，不符合题意； 的图象从左到右上升， ，与轴交于负半轴， ，即；此时的斜率，，图象应上升，且与轴交于负半轴， 与图象不符，故错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 题型10 正比例函数的图象 例19下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，不在正比例函数的图象上，故不符合要求； 当时，，在正比例函数的图象上，故符合要求； 当时，，不在正比例函数的图象上，故不符合要求； 当时，，不在正比例函数的图象上，故不符合要求； 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象．熟练掌握正比例函数的图象是解题的关键． 例20如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示，，的不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】在图中画出直线，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题． 【详解】解：作直线如图所示， 则点坐标为，点坐标为，点坐标为， 结合，，三个点的位置可知， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【技巧总结】 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【变式训练10-1】如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 　 　． 【答案】． 【分析】根据图象，可知，，，再根据图象①和②的倾斜度，可知，然后即可写出，，的大小关系． 【详解】解：由图象可得， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式训练10-2】如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是　 　 ． 【答案】． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得，且，解出的值，再根据图象经过第二、四象限，可得，进而确定． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 图象经过第二、四象限， ， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为1． 题型11 一次函数的性质 例21一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可知一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 例22以下图象可以表示直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据当时，，可知图象过点，即可判断出答案． 【详解】解：当时，， 直线过点， 故只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是关键． 【技巧总结】 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b）， 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【变式训练11-1】一次函数的图象经过第　 　 象限． 【答案】一、三、四． 【分析】根据一次函数的性质，通过和的符号即可判断函数图象经过的象限． 【详解】解：，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：一、三、四． 【点评】本题考查一次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式训练11-2】已知直线经过第一、三、四象限，那么直线经过第　 　 象限． 【分析】根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ，， 直线经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知对于一次函数，当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 题型12 正比例函数的性质 例23函数是正比例函数，且随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：函数是正比例函数，且随的增大而减小， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 例24若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的值随的值的增大而　 　 ． “增大”或“减小” 【答案】增大． 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象经过第一、三象限，那么的值随的值增大而增大， 故答案为：增大． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小． 【技巧总结】 （1）正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． （2）当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 【变式训练12-1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数，和的图象如图所示，则，，的大小关系是　 　 ．（用“”连接） 【答案】． 【分析】首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：根据直线经过的象限判断的符号可知：，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【变式训练12-2】已知直线，，，若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是　 　 ． 【答案】． 【分析】画出三个函数的公共部分，最小值即求三个函数的公共部分的最小值． 【详解】解：直线，，，若无论取何值，总取，，中的最大值， 由题意，画出三个函数的图象如下： 无论取何值，总取，，中的最大值， 的最小值是和的交点的纵坐标， 联立，解得， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式训练12-3】已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式； （2）若，求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为． 【分析】（1）根据正比例函数定义求出值即可； （2）根据正比例函数性质解答出最小值即可． 【详解】解：（1），且是关于的正比例函数， ，， ， ， （2）中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握该知识点是关键． 题型13 一次函数与一元一次方程 例25如图，直线过点，，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直线过点即可得解． 【详解】解：由条件可知关于的方程的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，采用数形结合的思想是解此题的关键． 例26已知点在直线上，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：将，代入，得： ． 又待求解方程为． 方程的解为． 故选：． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，正确进行计算是解题关键． 【技巧总结】 一元一次方程的根就是它所对应的一次函数的函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【变式训练13-1】如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 　 　 ． 【答案】． 【分析】利用函数图象，函数值为0，则于的方程的解为． 【详解】解：， 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与轴的交点的横坐标是解题的关键． 【变式训练13-2】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是　 　 ． 【答案】． 【分析】一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点，关于的方程的解是．故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 题型14 一次函数与一元一次不等式 例27已知一次函数，是常数）的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断的符号，再结合与轴的交点，确定时的取值范围即可． 【解答】解：由条件可知，函数值随的增大而减小， 一次函数图象与轴交于点， 当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 例28如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围可得： 当时，，即， 由图象可知，关于的不等式的解集是． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确记忆从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题关键． 【技巧总结】 用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 【变式训练14-1】一次函数与分别与轴交于点、，交点为，在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A． B．点、关于轴对称 C． D．当时， 【答案】 【分析】根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【解答】解：一次函数与分别与轴交于点、，交点为，在同一坐标系中图象如图所示，则： ．由一次函数与轴的交点在轴的负半轴，即，故选项正确，不符合题意； ．由题意可得，，即点、关于轴对称，故选项正确，不符合题意； ．由一次函数，随增大而增大，即；由一次函数，随增大而减小，即；则，故选项错误，符合题意； ．由函数图象可得：当时，一次函数的图象在上方，即，故选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式训练14-2】一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　 　 ． 【答案】． 【分析】结合函数图象求解即可． 【解答】解：根据函数图象可知不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练14-3】如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是　 　． 【答案】． 【分析】先根据一次函数的图象与轴的交点是可知，当时函数图象在轴的上方，故可得出结论． 【解答】 解：一次函数的图象与轴的交点是，由函数图象可知，当函数图象在轴的上方， 的解集是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键． 题型15 一次函数与二元一次方程（组） 例29在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 【答案】 【分析】、由图可判断选项； 、由图象可知，一次函数与轴的交点在的上方，可判断选项； 、根据两直线的交点为，由图象可知：当时，，故可判断选项； 、关于，的方程组的解为两条直线的交点，故可判断选项． 【解答】解：、由图可知，随的增大而减小，故选项正确，不符合题意； 、由图象可知，一次函数与轴的交点在的上方，即，故选项正确，不符合题意； 、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项错误，符合题意； 、由图象可知，两条直线的交点为， 关于，的方程组的解为，故选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 例30如图，直线与交点的横坐标为1，则关于、的二元一次方程组的解为　 　． 【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 【技巧总结】 1．函数增减性： 递增， 递减，判断选项 A 。 2．截距符号：直线交 轴正半轴 ，负半轴 ，判断 B 。 3．函数不等式： 时图像在上 → 对应函数值大小，判定 4．方程组与交点：两直线交点坐标 = 对应二元一次方程组的解，直接写答案。 【变式训练15-1】已知方程组无解，那么直线不经过第　 　 象限． 【答案】一． 【分析】根据方程组无解，得出两条直线平行，由此列方程求出的值；再将代入目标直线的解析式，根据一次函数解析式判断其不经过的象限． 【解答】解：方程组无解， 直线与平行且不重合， ， 解得， 将代入，得， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握方程组无解等价于两条直线平行且不重合，再根据一次函数的斜率和截距判断其经过的象限． 【变式训练15-2】已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　． 【答案】． 【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解． 【解答】解：方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练15-3】在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　 　 ． 【答案】． 【分析】把交点坐标代入直线求解得到的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【解答】解：直线经过， ， 交点坐标为， 方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标， 关于，的方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 题型16 根据实际问题列一次函数关系式 例31某油箱容量为60 的汽车，加满汽油后行驶了100 时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则与之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案． 【解答】解：因为油箱容量为60 的汽车，加满汽油后行驶了100 时，油箱中的汽油大约消耗了， 可得：，， 所以与之间的函数解析式和自变量取值范围是：，， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题． 例32李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据汽车距张庄的路程（千米）原来两地的距离汽车行驶的距离列函数关系式即可． 【解答】解： 汽车的速度是平均每小时80千米， 它行驶小时走过的路程是， 汽车距张庄的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式是， 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距张庄的路程（千米）原来两地的距离汽车行驶的距离是解决问题的关键． 【易错提醒】 ①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上； ③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【变式训练16-1】某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 　 　． 【分析】根据乘车费用起步价超过3千米的付费得出． 【解答】解：依题意有：． 故答案为：． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用起步价超过3千米的付费． 【变式训练16-2】某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元辆，乙款车的利润为550元辆，若设甲种车购入辆，销售完这批车的总利润为元，则关于的函数解析式为 　 　． 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【解答】解：设甲种车购入辆，销售完这批车的总利润为元，根据题意得：， 即关于的函数解析式为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式训练16-3】一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间（小时）之间的函数解析式是 　 　，自变量的取值范围 　 　． 【分析】根据题意，点燃后每小时耗去，则小时后，耗去 ，而蜡烛原长为，易得与之间的函数关系式；又根据实际意义，可得，计算可得的范围． 【解答】解：根据题意，点燃后每小时耗去，则小时后，耗去 ，而蜡烛原长为， 故有与之间的函数关系式是， 又由于，可得， 故答案为：，． 【点评】此题考查了由实际问题列一次函数关系式的知识，读懂题意，找到相应的等量关系是解决本题的关键，注意求自变量的取值范围要考虑实际意义． 题型17 一次函数的应用 例33如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第　 　 秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】15． 【分析】当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案． 【解答】解：由条件可得点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ， ， 线段对应的函数表达式为：， 联立可得， 解得：， ， 点的坐标为， 则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为， 故答案为：15． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 例34智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的关系如图所示． （1）填空：　 　 ； （2）求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）5； （2）． 【分析】（1）每小时50件的速度进行派送，一共派送250件，据此可求出的值； （2）根据（1）所求可得点的坐标，据此利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的关系如图所示： 由题意得，； 故答案为：5； （2）设， 将，250，，代入得： ， 解得， ． 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，正确理解题意是解题的关键． 【变式训练17-1】如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：． （1）与的交点坐标为 ； （2）图2是，与引流时间（单位：的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为多少厘米？ 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，求出交点坐标； （2）由（1）求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【解答】解：（1）由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． 因为初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， 所以时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 故交点坐标为， 故答案为：； （2）由，得， ； 由，得， ． 因为当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， 则此时乙杯中的水面离杯底的高度比甲杯中的水面离杯底的高度多出的部分就是木垫的高度， 所以木垫的高度为：． 若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为3厘米． 【点评】本题主要考查了函数的图象、一次函数的应用，能根据所给函数图象得出和的函数解析式是解题的关键． 【变式训练17-2】某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如表所示． 温度 0 10 30 声音传播速度 324 330 336 348 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系、是常数，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）． （2）物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒．求此时实验室的温度． （3）物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数表达式； （2）先求出速度，再求出相应的温度即可； （3）根据表格中的数据可知每升高，声音传播速度提高，然后即可计算出甲、乙两个实验室的温度差， 【解答】解：（1）设与之间的函数表达式为， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数表达式为； （2）声音传播10.2米刚好用了0.03秒， 声音的传播速度为：， 将代入，得， 即此时的温度为； （3）由表格可得， 每升高，声音传播速度提高， 即每升高，声音传播速度提高， ， 即甲、乙两个实验室的温度差为． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 【变式训练17-3】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图中折线所示． （1）求线段的表达式； （2）求乙的步行速度； （3）求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 【答案】（1）； （2）80米分； （3）510米． 【分析】（1）运用待定系数法即可解答； （2）首先求出甲的速度，然后求出相遇时行走的路程，然后求解即可； （3）求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【解答】解：（1）甲、乙两人间的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图中折线所示． 设线段的表达式的解析式为，由题意可得： 代入得：， 解得：， 线段的表达式为； （2）甲的速度为（米分）， 相遇时行走的路程为（米， 甲先出发4分钟， 相遇时乙行走的时间为（分 乙的步行速度为（米分）， （3）由（2）得：相遇时行走的路程960米， 与终点的距离为米， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：分， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：分， 乙比甲早分钟到达终点， 乙到达终点时，甲离终点还有米． 【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 1．下列函数中，是的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．，符合一次函数的定义，符合题意； ．，的次数为2，不符合一次函数的形式，不符合题意； ，即，的次数为，不符合一次函数中次数为1的要求，不符合题意； ．，可视为，其中，不满足的条件，属于常函数而非一次函数，不符合题意． 故选：． 2．一次函数的图象不可能经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【解答】解：，， 一次函数的图象经过第一象限、第二象限、第三象限， 图象不经过第四象限， 故选：． 3．如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围可得： 当时，，即， 由图象可知，关于的不等式的解集是． 故选：． 4．当变化时，两条直线和的最大距离为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】 【解答】解：如图所示，图象大致如下： 这两条直线图象可分别绕着点、点旋转，可知当时，两直线之间的距离最短为的长度为1，此时与轴重合，与轴平行． 故最大距离为：． 故选：． 5．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．是自变量 B．是的函数 C．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 【答案】 【解答】解：．观察图象得，是自变量，说法正确，不符合题意； ．观察图象得，是的函数，说法正确，不符合题意； ．观察图象得：对于的每一个确定的值，不一定都有唯一确定的对应值，原说法不正确，符合题意； ．观察图象得：当时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，不符合题意； 故选：． 6．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　 　 ．（填“冰的厚度”或“时间” 【答案】时间． 【解答】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是时间， 故答案为：时间． 7．已知方程组无解，那么直线不经过第　 　 象限． 【答案】一． 【解答】解：方程组无解， 直线与平行且不重合， ， 解得， 将代入，得， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 8．当　 　时，函数是常数）是正比例函数． 【答案】． 【解答】解：由条件可知且， 解得且， ． 故答案为：． 9．如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是　 　 ． 【答案】． 【解答】 解：一次函数的图象与轴的交点是，由函数图象可知，当函数图象在轴的上方， 的解集是． 故答案为：． 10．智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的关系如图所示． （1）填空：　 　 ； （2）求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）5； （2）． 【解答】解：（1）无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的关系如图所示： 由题意得，； 故答案为：5； （2）设， 将，250，，代入得： ， 解得， ． 11．如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：． （1）与的交点坐标为 ； （2）图2是，与引流时间（单位：的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为多少厘米？ 【答案】（1）；（2）3． 【解答】解：（1）由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． 因为初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， 所以时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 故交点坐标为， 故答案为：； （2）由，得， ； 由，得， ． 因为当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， 则此时乙杯中的水面离杯底的高度比甲杯中的水面离杯底的高度多出的部分就是木垫的高度， 所以木垫的高度为：． 若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为3厘米． 12．已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）与成正比例， 设关于的函数解析式为， 当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）， ， 解得． 13．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量（人辆） 租金（元辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 （1）求与的函数解析式（不需要写定义域）； （2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】（1）； （2）共有3种租车方案； （3）租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元． 【解答】解：（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）租车总费用不超过10200元，师生共有275人， ， 解得， 为整数， 可取4，5，6， 一共有3种租车方案； （3）在中，随的增大而增大，又可取4，5，6， 当时，取最小值，最小值为（元， 租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 常量与变量 题型2 函数的概念 题型3 函数关系式 题型4 函数自变量的取值范围 题型5 函数值 题型6 函数的图像 题型7 一次函数的定义 题型8 正比例函数的定义 题型9 一次函数的图象 题型10 正比例函数的图象 题型11 一次函数的性质 题型12 正比例函数的性质 题型13 一次函数与一元一次方程 题型14 一次函数与一元一次不等式 题型15 一次函数与二元一次方程（组） 题型16 根据实际问题列一次函数关系式 题型17 一次函数的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.函数相关概念与自变量取值范围 2.正比例函数定义、图像与性质 3.一次函数定义、解析式 4.一次函数图像与增减性 5.一次函数与坐标轴交点 6.一次函数图像平移规律 7.一次函数与一元一次方程、不等式 8.两个次函数交点问题 9.一次函数实际应用(方案、最值、行程) 1．函数概念辨析：区分常量、变量，判断关系式是否为函数；变量取值范围，填空选择基础题。 2．正比例函数判定：依据 定义求参数 ；由 减性。 3．待定系数法求一次函数 解析式：代入考基础。 4．图像性质应用：由 k , b 符号判断直线经过象限； 递 值大小。 5．求与 x , y 轴交点坐标：令 求 、令 求 ，结合角形面积。 6．图像上下／左右平移：遵循＂上加下减常数项，左加右减自 7．数形结合：利用函数图像解方程 、不等式 应函数值大小。 8．联立两个一次函数解析式，方程组的解即为交点横纵坐标。 9．实际建模：从行程、利润、费用问题提炼一次函数关系式，优方案、最值。 考情解码：一次函数是初中函数入门核心，承接一元一次方程、不等式，是后续反比例、二次函数的铺垫，八下重难点。考题从单一概念辨析、解析式计算，逐步转向数形结合、图像综合、实际应用题;待定系数法求解析式、函数与方程不等式结合、实际最值问题是高频考点，常结合几何面积综合出题，侧重数形结合思想、建模列式与逻辑计算能力。 知识点一 函数的概念 1.常量和变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量.在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. 2.函数的定义 （1）一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化;当x的值确定时，y的值也随之唯一确定。变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 5.函数的图像 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 即时即练“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是___________． 知识点二 正比例函数的概念 1.成正比例关系： 如果变量与变量的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量与变量成正比例．用数学式子表示为或，其中是一个不等于0的常数． 2.正比例函数： 形如是常数，的函数叫作正比例函数，其中非零常数称为比例系数，自变量的取值范围是一切实数．确定了比例系数，就可以给出正比例函数的表达式：． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 即时即练已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 知识点三 正比例函数的图像和性质 1.画函数图像的一般步骤 (1)列表:取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y. (2)描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来. 2.正比例函数的图像 正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y＝kx. 3.正比例函数的性质 （1）增减性： 当k＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大; 当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变量x的增大而减小． 【特别提醒】这两个性质的逆命题也是成立的. （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 即时即练如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 知识点四 待定系数法 步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点五 一次函数的概念 1.一次函数的概念 一般地，解析式形如的函数叫做一次函数. 结构特征:①的系数:②的次数是1;③常数是任意实数;④等式右边是形如kx＋b的关于x的一次式. 2.一次函数x的取值范围 一次函数的x取值范围是一切实数（或指定的部分实数). 3.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特例. 当时,解析式就成为是常数,且),这时是的正比例函数. 【注意】（1）对于一次函数为常数，且),自变量的系数不等于0,且自变量的次数1，而可以是任意实数. （2）当一次函数中的时,被称为正比例函数.显然，正比例函数是一次函数的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 【补充】正比例函数与一次函数的关系（集合关系图示） 即时即练下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 知识点六 一次函数的图像 1.一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2.一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线,通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线. 3.直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线与轴的交点坐标是,直线的截距是. 【易错易混】 "截距"不是"截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数.如直线的截距是. 即时即练一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 知识点七 一次函数的性质 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 即时即练对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 知识点九 两条直线的的位置关系 1.相交关系 （1）已知两直线和,当时,两直线相交. （2）一般地,直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1)在坐标平面上,截距相同的直线都相交,交点坐标为. (2)在坐标平面上,的值不同,则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同.常数称为直线的斜率,关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习. 【拓展】 (1)直线与相交; (2)直线相交于轴上一点. 2.平行关系 (1)直线与直线的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2)直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 即时即练如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 知识点八 一次函数图像的平移 一次函数的平移 一次函数（）的图像是将正比例函数（）的图像沿轴平移个单位长度得到的： 若，则向上平移个单位； 若，则向下平移个单位. 【方法总结】直线平移时，的值不变。向上平移时，在表达式末尾加上平移的单位长度；向下平移时，在表达式末尾减去平移的单位长度，即“上加下减”。 即时即练直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 知识点十 一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时,求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 即时即练若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 知识点十一 一次函数与一元一次不等式的关系 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看,一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 即时即练如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 知识点十二 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 即时即练在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 题型1 常量与变量 例1．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（　　） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 例2．“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是　 　 ． 【技巧总结】 ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【变式训练1-1】“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　 　 ．（填“冰的厚度”或“时间” 题型2 函数的概念 例3下列变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间 例4下列两个变量间不存在函数关系的是（　　） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【易错提醒】 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【变式训练2-1】下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】下列图象中表示是的函数的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2-3】圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 　 　 函数． 题型3 函数关系式 例5小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了本作业本，剩余费用为元，则与的函数关系式为　 　 ． 例6某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元关于里程数（千米）的函数解析式为 　 　 ． 【易错提醒】 ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【变式训练3-1】汽车以60千米时的平均速度，由地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程（千米）与行驶时间（时的函数关系式是　 　． 【变式训练3-2】已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是　 　 （不要求写定义域）． 【变式训练3-3】一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少厘米，则正方形的面积随之减少平方厘米，那么关于的函数解析式是 　 ．　 ． 【变式训练3-4】请根据以下素材，探索完成任务． 买新能源车到底划不划算 素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的款燃油车和款新能源车对比调查．其中、两款车的有关数据如下： 购车费用万元 购置税万元 年均保养费用万元 年均保险费用万元 预计10年后的车价万元 款燃油车 30 3.0 0.20 0.80 9.6 款新能源车 36 0 0.10 1.0 4.0 素材2 总费用（以使用10年为例）购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍 问题解决 任务1 款燃油车每公里油费是多少元； 任务2 设平均每年的行驶路程为万公里，款燃油车使用年的总费用为万元，款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于的表达式； 任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买款新能源车更划算（以使用10年为例）． 题型4 函数自变量的取值范围 例7函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 例8函数的定义域是　 　 ． 【技巧总结】 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【变式训练4-1】函数的定义域是　 　 ． 【变式训练4-2】函数的定义域是　 　 ． 【变式训练4-3】函数中自变量的取值范围是　 　 ． 【变式训练4-4】函数的定义域为 　 　 ． 题型5 函数值 例9变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（　　） A． B． C．2 D．1 例10已知关于的函数表达式，则当时，　 　 ． 【易错提醒】 ①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【变式训练5-1】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为5时，输出的的值为7．若输入的值为2时，则输出的值为　 　 ． 【变式训练5-2】已知与之间满足，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 题型6 函数的图像 例11碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．是自变量 B．是的函数 C．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 例12如图，当取何值时，函数的图象在第三象限？（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 ①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上； ③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【变式训练6-1】小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米分 【变式训练6-2】小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．小文走了200米后返回家拿书 B．小文在家停留了3分钟 C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．小文在第10分钟的时候赶到学校 【变式训练6-3】某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程（单位：与行驶时间（单位：的函数关系如图所示．货车行驶4小时的路程是　　 ． 题型7 一次函数的定义 例13下列函数中，是的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 例14下列四个函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 【变式训练7-1】下列关于的函数中，一定是一次函数的是（　　） A．、是常数） B． C． D． 【变式训练7-2】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 题型8 正比例函数的定义 例15下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 例16当　 　 时，函数是常数）是正比例函数． 【技巧总结】 正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 【变式训练8-1】当　 　 时，函数是正比例函数． 【变式训练8-2】当　 　 时，函数是正比例函数． 【变式训练8-3】已知函数是正比例函数，则　 　 ． 【变式训练8-4】已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的值． 题型9 一次函数的图象 例17若，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 例18一次函数与，在同一平面直角坐标系的图象是（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）①使用两点法画一次函数的图象，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 【变式训练9-1】如图，在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-2】一次函数与，常数，且是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型10 正比例函数的图象 例19下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 例20如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示，，的不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【变式训练10-1】如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 　 　． 【变式训练10-2】如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是　 　 ． 题型11 一次函数的性质 例21一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例22以下图象可以表示直线的是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b）， 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【变式训练11-1】一次函数的图象经过第　 　 象限． 【变式训练11-2】已知直线经过第一、三、四象限，那么直线经过第　 　 象限． 题型12 正比例函数的性质 例23函数是正比例函数，且随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例24若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的值随的值的增大而　 　 ． “增大”或“减小” 【技巧总结】 （1）正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． （2）当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 【变式训练12-1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数，和的图象如图所示，则，，的大小关系是　 　 ．（用“”连接） 【变式训练12-2】已知直线，，，若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是　 　 ． 【变式训练12-3】已知，且是关于的正比例函数． （1）求与的函数关系式； （2）若，求函数的最小值． 题型13 一次函数与一元一次方程 例25如图，直线过点，，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 例26已知点在直线上，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 一元一次方程的根就是它所对应的一次函数的函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【变式训练13-1】如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 　 　 ． 【变式训练13-2】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是　 　 ． 题型14 一次函数与一元一次不等式 例27已知一次函数，是常数）的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 例28如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 【变式训练14-1】一次函数与分别与轴交于点、，交点为，在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A． B．点、关于轴对称 C． D．当时， 【变式训练14-2】一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　 　 ． 【变式训练14-3】如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是　 　． 题型15 一次函数与二元一次方程（组） 例29在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 例30如图，直线与交点的横坐标为1，则关于、的二元一次方程组的解为　 　． 【技巧总结】 1．函数增减性： 递增， 递减，判断选项 A 。 2．截距符号：直线交 轴正半轴 ，负半轴 ，判断 B 。 3．函数不等式： 时图像在上 → 对应函数值大小，判定 4．方程组与交点：两直线交点坐标 = 对应二元一次方程组的解，直接写答案。 【变式训练15-1】已知方程组无解，那么直线不经过第　 　 象限． 【变式训练15-2】已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　． 【变式训练15-3】在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　 　 ． 题型16 根据实际问题列一次函数关系式 例31某油箱容量为60 的汽车，加满汽油后行驶了100 时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则与之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 例32李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 ①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上； ③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【变式训练16-1】某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 　 　． 【变式训练16-2】某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元辆，乙款车的利润为550元辆，若设甲种车购入辆，销售完这批车的总利润为元，则关于的函数解析式为 　 　． 【变式训练16-3】一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间（小时）之间的函数解析式是 　 　，自变量的取值范围 　 　． 题型17 一次函数的应用 例33如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第　 　 秒时1号和2号无人机在同一高度． 例34智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的关系如图所示． （1）填空：　 　 ； （2）求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【变式训练17-1】如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：． （1）与的交点坐标为 ； （2）图2是，与引流时间（单位：的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为多少厘米？ 【变式训练17-2】某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如表所示． 温度 0 10 30 声音传播速度 324 330 336 348 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系、是常数，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）． （2）物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒．求此时实验室的温度． （3）物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 【变式训练17-3】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图中折线所示． （1）求线段的表达式； （2）求乙的步行速度； （3）求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 1．下列函数中，是的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数的图象不可能经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 4．当变化时，两条直线和的最大距离为（　　） A．1 B． C．2 D． 5．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．是自变量 B．是的函数 C．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 6．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为　 　 ．（填“冰的厚度”或“时间” 7．已知方程组无解，那么直线不经过第　 　 象限． 8．当　 　时，函数是常数）是正比例函数． 9．如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是　 　 ． 10．智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的关系如图所示． （1）填空：　 　 ； （2）求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 11．如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：． （1）与的交点坐标为 ； （2）图2是，与引流时间（单位：的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为多少厘米？ 12．已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的值． 13．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量（人辆） 租金（元辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 （1）求与的函数解析式（不需要写定义域）； （2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $