四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期人教A版数学周测1　平面向量的概念与平面向量的运算

**基本信息** 以平面向量概念与运算为核心，通过C60分子、蜜蜂巢房等真实情境设计问题，覆盖概念辨析、数量积运算、几何应用等，梯度从基础巩固到综合创新，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6/30|平行向量概念、投影向量、模长计算|结合C60分子结构考查数量积（数学眼光）| |多项选择|3/18|共线向量判定、正六边形向量运算、三角形重心|蜜蜂巢房情境体现文化传承（数学语言）| |填空题|3/15|向量和的数量积、最值问题、夹角参数范围|综合方程与不等式思想（数学思维）| |解答题|3/37|三点共线证明、单位向量夹角、平行四边形应用|分层设计，从推理到实际应用（逻辑推理）|

周测1　平面向量的概念与平面向量的运算 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.下列命题中正确的有 A.平行向量就是共线向量 B.相反向量就是方向相反的向量 C.若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D.两个向量平行是这两个向量相等的充分不必要条件 2.若=3e1，=-5e1，e1是非零向量，且||=||，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰的梯形 3.已知向量a，b满足|b|=2|a|，且向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量是 A.b B.b C.b D.b 4.已知|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，则|a-b|等于 A. B.2 C. D. 5.C60分子是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，A，B，C为正多边形的顶点，则·等于 A.1 B.2 C.3 D.4 6.设向量α，β的夹角为θ，定义：α⊗β=|α||β|sin θ.若平面内不共线的两个非零向量a，b满足：|a|=|b|=1，a-b与b的夹角为，则a⊗b的值为 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出a∥b的是 A.a=-3e1，b=2e1 B.a=e1-e2，b=-e1 C.a=e1-e2，b=e1+e2+ D.a=2e1+3e2，b=4e1+6e2 8.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的正六边形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图，已知一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是 A.-= B.+= C.·=· D.在上的投影向量为 9.已知O是△ABC所在平面内的一点，下列说法正确的有 A.若++=0，则O为△ABC的重心 B.若(+)·=(+)·=0，则O为△ABC的垂心 C.若动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心 D.若O是△ABC内的一点，且2++3=0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC=1∶6 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 10.已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，a·b+b·c+c·a= 　　　.  11.在△ABC中，E为AC上的一点，且=4，P为BE上的一点，且满足=m+n(m>0，n>0)，则+的最小值为　　　　　　.  12.已知e1，e2是平面内两个夹角为120°的单位向量，若a=e1-2e2，b=e1+ke2，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是　　　　　.  四、解答题(本题共3小题，共37分) 13.(12分)已知e1，e2是两个不共线的向量. (1)若=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2，求证：A，B，D三点共线；(6分) (2)若2λe1+e2和e1+λe2共线，求实数λ的值.(6分) 14.(12分)已知a，b，c为单位向量. (1)若a+b+c=0，求a，b的夹角；(6分) (2)若a·(a+b+c)=-b·c，求|a+b+c|的值.(6分) 15.(13分)已知在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60°，E是线段BC的中点. (1)求·的值；(6分) (2)若=+λ，且BD⊥AF，求实数λ的值.(7分) 参考答案 1.答案　A 解析　对于A选项，平行向量就是共线向量，A对； 对于B选项，相反向量是方向相反且长度相等的向量，B错； 对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错； 对于D选项，“两个向量平行”⇏“这两个向量相等”，另一方面，“两个向量相等”⇒“这两个向量平行”，所以两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D错. 2.答案　C 解析　因为=-，所以AB∥CD，且||≠||.而||=||，所以四边形ABCD是等腰梯形. 3.答案　D 解析　a·b=|a||b|cos〈a，b〉=|b|2×=|b|2，则a在b方向上的投影向量是·b=·b=b. 4.答案　A 解析　因为|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得 a·b=|a||b|cos =1×2×=， 因此，|a-b|= = ==. 5.答案　B 解析　连接BC，如图. 由对称性可知，BA=BC， 取AC的中点H，连接BH，则AC⊥BH，AH=AC， 又因为正六边形的边长为1，所以AC=2， 所以·=||·||cos∠BAC=||·||=2. 6.答案　A 解析　设向量a与b的夹角为θ，因为|a|=|b|=1，所以a·b=cos θ， 由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2(1-cos θ)，所以|a-b|=. 又a-b与b的夹角为，所以=cos，即=cos， 所以=-，解得cos θ=-， 又θ∈[0，π]，所以sin θ=，所以a⊗b=|a|·|b|sin θ=1×1×=. 7.答案　ABD 解析　对于A，因为a=-3e1，b=2e1，故b=-a，即a∥b，故A正确；对于B，因为a=e1-e2，b=-e1=-e1+e2，则b=-a，即a∥b， 故B正确；对于C，a=e1-e2，b=e1+e2+=(e1+e2)，由于e1，e2不共线，故不存在实数λ，使得b=λa，所以向量a，b不平行，故C错误；对于D，a=2e1+3e2，b=4e1+6e2，故b=2a，即a∥b，故D正确. 8.答案　BCD 解析　连接AE，AC，AD，BF，BD，CE，如图所示. 对于A，-==-，故A错误； 对于B，结合正六边形的性质易得 =，=， 所以+=++=++=+=，故B正确； 对于C，设正六边形ABCDEF的边长为a， 则·=||||cos =-a2， ·=||||cos =-a2， 所以·=·，故C正确； 对于D，易知∠ABD=，则在上的投影向量为，故D正确. 9.答案　ACD 解析　对于A，如图1，取AB的中点D，连接OD，则+=2=-， ∴O，D，C三点共线，CD是△ABC的中线，且||=2||， ∴O为△ABC的重心，故A正确； 对于B，∵(+)·=0，∴(+)·(-)=-=0，即||=||， 又(+)·=0，∴(+)·(-)=-=0，即||=||， 则||=||=||，∴O是△ABC的外心，故B错误； 对于C，∵，分别表示向量，方向上的单位向量， ∴向量+在∠BAC的角平分线上， 又∵=+λ，∴-==λ， ∴向量在∠BAC的角平分线上，又∵λ∈[0，+∞)，∴点P一定通过△ABC的内心，故C正确； 对于D，如图2，E，F分别是AC，BC的中点， ∵2++3=0， ∴2(+)+(+)=0， ∴4+2=0，即=-2， ∴OE=EF=AB， 则S△AOC∶S△ABC=1∶6，故D正确. 10.答案　- 解析　因为向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2， 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0， 因此a·b+b·c+c·a=-. 11.答案　9 解析　因为=4，所以=m+n=m+4n(m>0，n>0)，又B，P，E三点共线，所以m+4n=1，所以+=(m+4n)=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即m=，n=时，等号成立. 12.答案　(-∞，-2)∪ 解析　因为a与b的夹角为锐角， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉>0， 又因为e1·e2=1×1×cos 120°=-， 则a·b=(e1-2e2)·(e1+ke2)=+(k-2)e1·e2-2k=1-(k-2)-2k>0， 解得k<. 当a∥b时，存在λ∈R，使得a=λb，即e1-2e2=λ(e1+ke2)=λe1+kλe2，则解得 综上所述，k<且k≠-2. 13.(1)证明　∵=+=4e1+e2+(8e1-9e2)=12e1-8e2，又=3e1-2e2， ∴=4，∴∥，又AB∩BD=B， ∴A，B，D三点共线. (2)解　∵向量2λe1+e2和e1+λe2共线， ∴存在实数k使2λe1+e2=k(e1+λe2) =ke1+kλe2， 又e1，e2不共线，∴解得λ=±. 14. 解　(1)由于a+b+c=0，所以a+b=-c， 两边平方得a2+2a·b+b2=c2，又a，b，c为单位向量， 所以a·b=-，设a，b的夹角为θ，则cos θ==-，因为θ∈[0，π]， 所以θ=，故a，b的夹角为. (2)因为a·(a+b+c)=-b·c，所以a2+a·b+a·c+b·c=0， 由a2=1，故a·b+a·c+b·c=-1， 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=3-2=1， 故|a+b+c|=1. 15.解　(1)在平行四边形ABCD中，AD=BC=6，AB=3，∠DAB=60°， 所以·=||||cos∠DAB=3×6×=9， 因为点E是线段BC的中点， 所以=+=+， 则·=·=+·=9+×9=， 故·的值为. (2)由(1)知，·=9，=+， 则=+λ=+，=-， 又因为BD⊥AF，则·=(-)·=0， 即-+·-·=0， 即×62-32+9-×9=0，解得λ=-， 故实数λ的值为-. 学科网（北京）股份有限公司 $