2027年高三数学模拟试卷（新高考Ⅰ卷）

**基本信息** 2027年高考数学模拟卷，以一轮复习为导向，融合文化传承（如沈括“隙积术”）与生活实践（如投篮比赛），覆盖函数、几何、概率等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|统计（中位数）、向量、集合、导数切线、抛物线、函数最值、文化数学（隙积术）、集合子集、复数、立体几何、曲线与直线|第7题结合“隙积术”考查数列求和，体现文化传承；第8题集合子集问题考查抽象思维| |填空题|3题15分|双曲线离心率、三角函数性质（奇偶性、单调性）、数列构造|第14题通过数列构造考查逻辑推理，体现创新意识| |解答题|5题77分|立体几何证明与距离、解三角形、概率分布与期望（投篮比赛）、抛物线综合、函数性质与零点|17题以投篮比赛为情境考查概率应用，体现数学语言表达现实世界；19题函数零点问题综合考查逻辑推理与创新思维|

绝密★启用前 2027年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 数 学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．样本数据、、、、、的中位数为（    ） A． B． C． D． 2．如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 6．已知函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 7．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 8．已知集合含有个元素，其中，先后两次随机､独立地选取集合的两个子集，记为与.设为集合中元素的个数，则为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数（为虚数单位），则（   ） A．的虚部为2 B． C． D． 10．直棱柱中，分别是的中点，．则下列判断正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．二面角的平面角的正弦值为 11．已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（    ） A．当时，与只有1个公共点 B．当时，与有3个公共点 C．椭圆与有6个公共点 D．当抛物线与有5个公共点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线方程为：，则离心率为______． 13．已知函数是偶函数，且在[0，]上是减函数，则φ=__________，ω的最大值是__________． 14．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. （1）求证:平面; （2）若,求到平面的距离. 16．（15分） 在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． （1）若，求的面积； （2）求的取值范围． 17．（15分） 为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三（1）班利用课余时间开展一次投篮趣味比赛．已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为，且次投篮至少命中次的概率为． （1）求； （2）若甲同学连续投篮次，每次投进记分，未投进记分，记甲同学的总得分为，求的分布列和数学期望； （3）若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮次，设随机变量为投篮的次数，证明：． 18．（17分） 抛物线上一点到焦点的距离为2． （1）求抛物线的方程． （2）过的直线交此抛物线于，（，不与原点重合）两点，的外接圆圆心为． （ⅰ）证明：为锐角； （ⅱ）求直线的斜率的最大值． 19．（17分） 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 试卷第1页，共3页 数学试题第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B A B D C A 9 10 11 ACD ABD ACD 1．C 【详解】这组数据的中位数为. 2．C 【分析】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知空间向量不共线，且，即， 则，即，故选：C. 3．B 【分析】根据题意，将集合分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ，所以.故选：B. 4．A 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为.故选：A 5．B 【分析】根据题意，联立方程得，再结合距离公式得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据题意，联立方程得，整理得， 解得，，代入得，， 所以与的交点为，， 因为，所以， 解得，所以，，， 因为为的焦点，所以，根据焦半径公式， 6．D 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】的定义域为，求导得， 因为在单调递减，则在单调递增， 所以在单调递增， 又当时，，当时，， 所以存在唯一使得，即①， 则，在单调递减，在单调递增， 所以，则， 代入①得，解得． 故选：D. 7．C 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】当时，最底层小球的数量为，即，， 从而有， 整理得，由皆为正整数，得是不超过10的正偶数， 当时，，无解；当时，，无解； 当时，，无解；当时，，解得或，符合题意； 当时，，无正整数解， 所以该垛积的第一层小球个数. 故选：C 8．A 【分析】根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可. 【详解】根据集合的子集个数，可知集合的可能情况有种； 同理，集合B也可能有种， 因此，两集合的所有可能情况数为， 随机变量的所有取值为， 当时，先从个元素中选出个元素，记为，有种可能情况， 对于这个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况， 因此，事件“”的所有可能情况数为，则， 由，可知，则. 9．ACD 【详解】由，则的虚部为2，故A正确；而，故B错误；而，故C正确；而，故D正确. 10．ABD 【分析】根据线面平行、面面垂直、线线垂直、二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，连接交于，连接，易知为中点， 而是中点，所以，因为平面，平面， 所以平面，选项A正确； 依题意，，所以， 所以，则，根据直棱柱的性质可知， 而平面， 所以平面，而平面，所以， 又，由于平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，选项B正确； 令，则， 不满足勾股定理，故选项C错误； 由于．所以，因为，所以． 又因为是直棱柱．所以平面． 法一（三正弦定理）： 所以三面角即为“直三面角”，分离后如图． 设，二面角的平面角为． 由“直三面角”基本关系得：， 所以．选项D正确； 法二（面积射影）： 连接，故， 由于，平面， 所以平面在平面的射影为， 设二面角大小为，，， 所以，，D正确； 故选：ABD． 11．ACD 【分析】根据题意，得到或，得出曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，结合选项，结合直线与圆的位置关系，以及曲线与曲线的位置关系的判定方法，联立方程组，逐项计算，即可求解； 【详解】由方程，可得，所以或， 则曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，如图所示， 又由直线的斜率为，且过点， 可得直线的方程为，即， 对于A，当直线与圆相离时，则圆心到直线的距离大于半径， 即，解得，所以或， 所以当时，直线与圆没有公共点， 又由直线与轴只有一个公共点， 所以时，直线与曲线只有一个公共点，所以A正确； 对于B，当时，直线的方程为， 则直线与轴的交点为，点恰好在圆上， 所以时，直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 即直线与圆的交点为， 此时直线与曲线只有两个公共点，所以B不正确； 对于C，由椭圆的方程，令，可得，解得， 所以椭圆与轴有两个交点，即为和， 联立方程组，解得，对应4个交点， 综上可得，椭圆与曲线共有6个公共点，所以C正确； 对于D，由抛物线与轴的交点为，即抛物线与轴有一个交点， 当时，显然与圆没有公共点，不符合题意，所以， 联立方程组，整理得， 令，方程即为， 要使得抛物线与有5个公共点，则满足方程有2个正根，设为， 则满足，解得，所以D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】由双曲线方程得到双曲线的值，进而可求离心率. 【详解】由题意得双曲线的方程为，其中，，，， 则， 故离心率. 故答案为：. 13． 2 【分析】利用偶函数及已知范围可求得，结合余弦函数的单调性可得的最大值． 【详解】因为函数是偶函数，所以，又，所以， 则，当时，由于，所以，而函数在上递减，所以，，所以的最大值为2．故答案为：；2． 14．7 【详解】设第次构造后数列的总和为，单次构造新增插入数字的和为.初始数列总和. 由插入规则，单次插入数字和为原数列所有相邻两项之和， 可得，. 联立化简得，变形为， 因此，是以为首项、为公比的等比数列，，， 前次插入所有数字的总和满足， 结合题设，可得，，， 解得，即. 归纳首次插入数规律：第次，第次，第次，……，第次. 因此，第次构造时，. 15．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接,如图: 因为,四边形为菱形, 所以, 又为棱的中点,所以, 因为,所以, 因为平面,平面,所以, 又平面,平面,所以平面. （2）因为平面,平面, 所以平面, 则到平面的距离即为点到平面的距离, 设点到平面的距离为, 因为,,平面,,四边形为菱形, 所以,解得,即到平面的距离为. 16．(1)； (2). 【详解】（1），； 由正弦定理得. ，；； . ，;，即； ，.，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，；，，即. 17．(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，建立方程，即可求解； （2）由题知的可能取值为，根据条件，求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （3）易知随机变量可能取值为，表示出数学期望，再利用错位相减法，求得，即可求解. 【详解】（1）由题知两次均未投中的概率为，即，解得. （2）易知甲同学连续投篮次有：次均未命中，恰好命中次，命中次，次全命中， 所以的可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . （3）易知随机变量可能取值为， 又易知， 所以， 则， 所以； ，又易知，所以. 18．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，由此可求出的值，进而得到抛物线方程； （2）（ⅰ）利用韦达定理得到、两点坐标的关系，再通过计算的正负来判断是否为锐角；（ⅱ）利用外心性质列方程：外心在的垂直平分线上，结合向量垂直关系，推导出满足的方程，结合韦达定理，用表示，利用垂直平分线及由在的垂直平分线上，得，写出斜率，用均值不等式求得最大值. 【详解】（1）对于抛物线，其准线方程为. 已知点到焦点的距离为2，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，解得.所以抛物线的方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，联立，将代入可得：，即.由韦达定理可得，. 因为，所以 将代入上式可得：. 因为，所以为锐角. （ⅱ）设的中点为，即， 易知. 将代入化简，得(*)，同理，， ，得，由，得， 故故， 当时，易知；当时，的中点为， 故由，得，得故， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 19．(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $