第1章 有理数（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 人教版初中数学有理数单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖有理数概念、运算、数轴等核心知识，融合文化传承与生活应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|负数意义、相反数、数轴距离|战国负数文化情境，数轴与圆滚动结合（几何直观）| |填空题|6/18|正负数表示、绝对值化简|结合吊篮升降等生活场景（应用意识）| |解答题|9/72|数的分类、规律探究、实际问题|快递车续航（模型意识）、绝对值几何意义（推理能力）|

第1章 有理数·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5个红算筹记作，那么3个黑算筹应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，用正负数表示具有相反意义的量，根据题目给出的计数规则直接推导即可． 【详解】解：∵规则为红算筹记正，黑算筹记负，且5个红算筹记作 ∴3个黑算筹应记作． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数的概念，依据正数、负数的定义即可判断出结果． 【详解】解：A、是负数，不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，符合题意； C、1是正数，不符合题意； D、2024是正数，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）2026首个春假，小鸣出门踏青，2026的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为． 4．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上的点M，N分别表示，2， ∴点M到点N的距离为 ． 5．（24-25七年级上·云南昭通·月考）下列各数：，，0，，其中比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数，熟练掌握正负数比较大小是解题的关键．根据负数绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 6．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，，且，则（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，运用分类讨论思想是关键． 根据绝对值的定义得出和的可能取值，结合的取值范围，分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时，无论或，都有，不符合题意，故舍去； 当，时， ，符合题意， 此时； 当，时， ，符合题意， 此时； 综上所述，或． 故选：B． 9．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为 ，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性即可． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：， ， ， ， ， ， ， ． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足， ∴必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②由①得第一次回到换电站时，显示剩余续航，故②错误． ③根据题意：第一次换电：完成点后返回(行驶)， 第二次换电：完成点后返回(行驶)， 第三次行程：(无需换电)． 需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“配送车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如果吊篮升高5米记作米，那么米表示吊篮_______． 【答案】下降20米 【分析】本题主要考查正负数的意义．正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．据此直接得出结论即可． 【详解】解：吊篮升高5米记作米，那么米表示吊篮下降20米； 故答案为：下降20米． 12．（25-26六年级上·山东淄博·期末）化简：____________． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数的概念，解决本题的关键是熟练掌握相反数的概念． 先计算内层括号，再计算外层负号由此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 13．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）在中，是负有理数的为__________． 【答案】 【分析】本题考查了负有理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握负有理数的概念． 负有理数是指负数且是有理数的数，包括负整数和负分数，从给定数中筛选即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数； 5是正数； 是负分数，属于负有理数； ，是正数； 0.22是正小数； 是负小数，属于负有理数； 是正分数， 因此，负有理数为和． 故答案为：． 14．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 15．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）写出一个比小的有理数是_______（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（25-26九年级下·福建泉州·阶段检测）已知a，b是有理数，，则_____ ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·重庆江北·期中）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． (4)整数：_______________________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 (4)66，，0 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数的概念知，正数有：，，，； 故答案为： ，，，； （2）解：根据负数的概念知，负数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：既不是正数也不是负数的是0； 故答案为：0； （4）解：整数有66，，0； 故答案为：66，，0． 18．（6分）（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴的特点，数轴上表示数，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键 ． （1）根据点表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数是， 所以原点如图所示， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为点表示的数为， 所以当点在点左边时，点表示的数为； 当点在点的右边时，点表示的数为， 故答案为：或． 19．（6分）（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面各数：，，，，，，，，，...... (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2025是否在这列数中？若在，请写出2025是第几个数；若不在，请说明理由． 【答案】(1)第100个数为100，第2023个数为 (2)正数有1012个，负数有1012个 (3)不在，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）先分别从奇数位和偶数位，符号和绝对值方面进行找规律，再分别代入计算； （2）利用规律进行求解； （3）根据奇数位是负数即可判断． 【详解】（1）解：因为这列数中奇数位是负数，偶数位是正数，所以这列数中的第100个数为100，第2023个数为． （2）解：在前2024个数中，正数有1012个，负数有1012个． （3）．解：2025不在这列数中。理由：因为这列数的绝对值等于其项数，所以如果2025在这列数中，它必然是第2025个数。根据规律，奇数项为负数，所以第2025个数应为，故2025不在这列数中． 20．（8分）（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知a、b互为相反数()，c是最小的自然数，d是最小的正整数． (1)填空：_____． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相反数，有理数的相关概念，解题的关键是掌握以上概念． （1）根据相反数的定义求值即可； （2）根据相反数，有理数的相关概念，列出等式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，且， ∴， 故答案为：； （2）解：∵a、b互为相反数， ∴； ∵是最小的自然数， ∴； ∵d是最小的正整数 ∴    ∴． 21．（8分）（25-26六年级上·上海金山·期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了数轴上的数，相反数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）先求得的相反数为，根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】解：（1）点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）的相反数为，如图， （3）由数轴知：． 22．（9分）（25-26七年级上·河南周口·期末）安徽巢湖水系近三年的水量进出大致如下（“”表示进，“”表示出，单位：亿立方米）：． (1)最近年，巢湖水系的水量总体是增加还是减少了？ (2)若水量的进出都需要费用为每亿立方米万元，那么这三年的水量进出共需要多少费用？ 【答案】(1)增加了亿立方米 (2)万元 【分析】（1）将近三年的水量进出数据求代数和即可； （2）将近三年的水量进出数据先取绝对值、再求和，将求和结果乘以每亿立方米费用即可． 【详解】（1）解： （亿立方米） 最近年，巢湖水系的水量总体是增加亿立方米； （2）解： （亿立方米） 这三年的水量进出共需费用为（万元）． 23．（9分）（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）如图，数轴上点表示的数为1． (1)点向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为___________，再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为___________． (2)若数轴上点表示的数为，且，求点与点之间的距离． 【答案】(1)2， (2)2或4 【分析】本题考查了数轴上点的移动与数轴上两点间的距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据数轴上点的移动求出点的坐标； （2）根据绝对值的意义先求出，再分情况求出结果即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1， 向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为， 再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为， 故答案为：2，； （2）， ， 点表示的数为1， 当时，， 当时，， 点与点之间的距离为2或4． 24．（10分）（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4 (2)五 (3)爸爸这七天一共跑步千米 【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为计划路程与对应增减量的和． （1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程； （2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可； （3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程． 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米）， 故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五， 故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米）， 答：爸爸这七天一共跑步千米． 25．（10分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末） 阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数B对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与1之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【答案】(1)或 (2)1或5 (3) (4)7 【分析】（1）根据绝对值表示的几何意义即可进行求解； （2）根据在数轴上，某点到3所对应的点的距离为2，即可得到符合条件的数； （3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为5，得出满足条件的整数x的值，再求和即可； （4）由的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离与数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离之和，则当x在与3之间的数轴上时，最小，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵表示数轴上数与数对应点之间的距离， ∴数轴上与1之间的距离为或； （2）解：表示：在数轴上，某点到3所对应的点的距离为2， ∴或， 可以表示数轴上的数1或数5； （3）解：，表示为在数轴上某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为5， ∴， ∴满足条件的整数x可为，，，0，1，2， ∴整数的和为； （4）解：表示在数轴上到3和的距离之和， 所以当x在与3之间的数轴上时，有最小值为， 即的最小值为7． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5个红算筹记作，那么3个黑算筹应记作（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）2026首个春假，小鸣出门踏青，2026的相反数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 5．（24-25七年级上·云南昭通·月考）下列各数：，，0，，其中比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 6．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，，且，则（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 9．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为 ，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如果吊篮升高5米记作米，那么米表示吊篮_______． 12．（25-26六年级上·山东淄博·期末）化简：____________． 13．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）在中，是负有理数的为__________． 14．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 15．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）写出一个比小的有理数是_______（写出一个即可）． 16．（25-26九年级下·福建泉州·阶段检测）已知a，b是有理数，，则_____ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·重庆江北·期中）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． (4)整数：_______________________． 18．（6分）（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 19．（6分）（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面各数：，，，，，，，，，...... (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2025是否在这列数中？若在，请写出2025是第几个数；若不在，请说明理由． 20．（8分）（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知a、b互为相反数()，c是最小的自然数，d是最小的正整数． (1)填空：_____． (2)求的值． 21．（8分）（25-26六年级上·上海金山·期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 22．（9分）（25-26七年级上·河南周口·期末）安徽巢湖水系近三年的水量进出大致如下（“”表示进，“”表示出，单位：亿立方米）：． (1)最近年，巢湖水系的水量总体是增加还是减少了？ (2)若水量的进出都需要费用为每亿立方米万元，那么这三年的水量进出共需要多少费用？ 23．（9分）（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）如图，数轴上点表示的数为1． (1)点向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为___________，再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为___________． (2)若数轴上点表示的数为，且，求点与点之间的距离． 24．（10分）（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 25．（10分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末） 阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数B对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与1之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $