第2章 有理数能力提升测试卷-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第2章 有理数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．哈市某日的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：D． 2．一种零件的内径尺寸在图纸上是（单位：毫米）表示这种零件的标准尺寸是毫米，下列各组数据符合标准的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用． 根据正数和负数的意义，计算即可． 【详解】解：（毫米） （毫米） 根据题意可知，这种零件的尺寸不小于毫米，不大于毫米， ∴选项的四个数据中，符合标准的只有． 故选：C． 3．若，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的加减，实数的大小比较，先根据和的正负性，结合实数的加减运算法则，分别比较各数的大小关系，从而得出最大的数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故最大的数是， 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若a、b互为相反数，则 D．若，则a＞b 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，相反数，有理数的运算，根据绝对值的意义，相反数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，故选项A说法错误； B、若，则，故选项B说法错误； C、若a、b互为相反数且不为0时，，则，故选项C说法错误； D、若，则a＞b，表述是正确的； 故选：D． 5．下列比较有理数，，大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数大小比较的法则：两个负数，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴，即． 故选：A． 6．四位同学周六上午在某农场共采摘了四筐杨梅，每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这四筐杨梅中质量最重的一筐比最轻的一筐重（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数的加减法运算，用最多的减去最少的即可求解． 【详解】解： 故选：D． 7．点为数轴上表示的点，当点沿数轴移动个单位长度到达点时，则点所表示的数是(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减．与点A的距离为3个单位长度的点B有两个，一个向左，一个向右．数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移． 【详解】解：点为数轴上的表示的点， ①当点沿数轴向左移动个单位长度到达点时，点所表示的有理数为； ②当点沿数轴向右移动个单位长度到达点时，点所表示的有理数为． 综上所述，点所表示的数是或， 故选：C． 8．某服装店今年上半年每月的盈亏情况如下表所示，盈利用正数表示，亏损用负数表示，则该店上半年平均每月（   ） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 盈亏/元 A．盈利2000元 B．盈利1000元 C．亏损2000元 D．亏损1000元 【答案】D 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，求和后，除以6，根据结果，进行判断即可． 【详解】解：（元）； 故该店上半年平均每月亏损1000元； 故选D． 9．已知x，y为有理数，如果规定一种新运算则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据，求出的值为即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 10．如果，那么的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负性，有理数减法，根据绝对值的非负性，两个非负数之和为时，每个数都必须为，由此可解出和的值，再代入计算的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 11．已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到同号，均小于0，根据当时，，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴同号，均小于0， ∵当时，， ∴； 故选：D． 12．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，可令，则，进行相减即可得． 解：根据题意，令， 则， ， 即， 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，正确计算是解答本题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14．若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 15．已知、互为相反数，、互为倒数，的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，相反数，倒数，有理数加减，乘方运算，根据题意得出，，，进而分类讨论得出答案，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，， ∴，，， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故的值为或． 故答案为：或． 16．下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：①已知，，是非零的有理数， 当时， 则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时； 二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确； ②， ，，， 则， 由于时， 当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在； 、、中只有一个负数， 令，，， 原式，故②错误； ③当时，分两种情况： 当时，， 当时，， 故时的最大值为7，最小值为，故③正确； ④由且， 、互为相反数， ， ， 不妨，， 则则式子 ，故④正确； ⑤当时， 、异号， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， 又， ，， ， 根据，b}， ，，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先去括号，再利用交换律与结合律计算即可得； （2）先化简绝对值、计算乘方，再将除法转化为乘法，然后利用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（8分）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 19．（8分）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了汽车每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_____千米； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元钱？ 【答案】(1)路程最多的一天比最少的一天多行驶49千米 (2)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米 (3)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是元 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，解题关键是理解题意列出算式． （1）观察表格可知：路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，然后列出算式进行计算即可； （2）先求出这七天高于（或低于）50千米的标准所行驶的路程，再加上七天按照标准行驶的路程，进行计算即可； （3）列算式求出新能源汽车的行驶费用，进行解答即可． 【详解】（1）解：观察表格可知：路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，由题意得： （千米）， 答：路程最多的一天比最少的一天多行驶49千米； （2） （千米）， （千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米； （3）新能源汽车的行驶费用为： （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是元． 20．（8分）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，， (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ (3)在练习过程中，守门员离开球门线的最远距离是多少米？ 【答案】(1)守门员最后回到了球门线的位置 (2)54米 (3)12米 【分析】本题考查有理数加法解决实际问题，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门线的位置； （2）将所有记录数据取绝对值，再相加即可； （3）通过列式计算可得守门员离开球门线最远距离． 【详解】（1）解： ， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解： （米）， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了54米． （3）解：第1次守门员离开球门线5米； 第2次守门员离开球门线：（米）； 第3次守门员离开球门线：（米）； 第4次守门员离开球门线：（米）； 第5次守门员离开球门线：（米），（米）； 第6次守门员离开球门线：（米）； 第7次守门员离开球门线：（米）； 所以在练习过程中，守门员离开球门线的最远距离是12米． 21．（8分）股民小万上周五以每股元的价格买进某种股票股，该股票这周内与前一天相比的涨跌情况如下表（单位：元） （说明：股市六日停盘不交易） (1)本周内哪一天把股票抛出比较合算？为什么？ (2)已知小万买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)星期五，理由见解析 (2)获利6920元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正负数的意义； （1）分别求出每一天的股票价格，然后比较哪天的股票价格最高，则哪天就是最合算； （2）根据收益减去成本得出利润． 【详解】（1）解：星期五把股票抛出比较合算，理由如下： 星期一股价 (元) 星期二股价 (元) 星期三股价 (元) 星期四股价 (元) 星期五股价 (元) ∵ ∴星期五把股票抛出比较合算． （2）由题意得：(元) 答：小万在星期五收盘前将全部股票抛出，他获利元． 22．（10分）阅读材料：日常生活中，我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101通过式子可以转换为十进制数13． (1)尝试解决： ①请将二进制数10101转换为十进制数； ②请将十进制数18转换为二进制数； (2)类比迁移： 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，请求出孩子出生的天数． 【答案】(1)①21；②10010 (2)181天 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解进制数和十进制数的意义是解此题的关键． （1）①根据二进制数和十进制数的意义计算即可得解；②根据二进制数和十进制数的意义计算即可得解； （2）根据七进制数的意义列式计算即可得解． 【详解】（1）解：① ②， ， ∴二进制数为10010． （2）解：由题意可得：（天） 答：孩子出生的天数为181天． 23．（10分）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 24．（12分）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)70 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，由此求出木棒长为5， （2）根据木棒长为5，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，可求出两点所表示的数； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为，所以可知爷爷比小红大，即可求出爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知三根木棒长是， 则此木棒长为：， 故答案为：5． （2）解：∵木棒长为5，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20， ∴B点表示的数是15， ∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5， ∴A点所表示的数是10． 故答案为：10，15； （3）解：借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒， 类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为， 小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为125， ∴可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为， 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是数轴的特点，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．哈市某日的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（   ） A． B． C． D． 2．一种零件的内径尺寸在图纸上是（单位：毫米）表示这种零件的标准尺寸是毫米，下列各组数据符合标准的是 （    ） A． B． C． D． 3．若，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若a、b互为相反数，则 D．若，则a＞b 5．下列比较有理数，，大小正确的是（   ） A． B． C． D． 6．四位同学周六上午在某农场共采摘了四筐杨梅，每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这四筐杨梅中质量最重的一筐比最轻的一筐重（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 7．点为数轴上表示的点，当点沿数轴移动个单位长度到达点时，则点所表示的数是(   ) A． B． C．或 D．或 8．某服装店今年上半年每月的盈亏情况如下表所示，盈利用正数表示，亏损用负数表示，则该店上半年平均每月（   ） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 盈亏/元 A．盈利2000元 B．盈利1000元 C．亏损2000元 D．亏损1000元 9．已知x，y为有理数，如果规定一种新运算则（    ） A． B． C． D．1 10．如果，那么的值是（      ） A． B． C． D． 11．已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 12．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若，，则 ． 14．若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 15．已知、互为相反数，、互为倒数，的值是 ． 16．下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 19．（8分）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了汽车每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_____千米； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元钱？ 20．（8分）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，， (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ (3)在练习过程中，守门员离开球门线的最远距离是多少米？ 21．（8分）股民小万上周五以每股元的价格买进某种股票股，该股票这周内与前一天相比的涨跌情况如下表（单位：元） （说明：股市六日停盘不交易） (1)本周内哪一天把股票抛出比较合算？为什么？ (2)已知小万买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 22．（10分）阅读材料：日常生活中，我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101通过式子可以转换为十进制数13． (1)尝试解决： ①请将二进制数10101转换为十进制数； ②请将十进制数18转换为二进制数； (2)类比迁移： 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，请求出孩子出生的天数． 23．（10分）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 24．（12分）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $