精品解析：2026年广东省广州市越秀区九年级中考二模数学试卷

2026年广州市学业水平考试学情调研卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是某几何体的三视图，则该几何体为（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 7和5 C. 5和7 D. 6和5 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 现有四张形状完全相同的卡片，卡片上面分别画有线段，等边三角形，平行四边形，圆，现将画有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片图形都是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 分式方程的解为_______． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为 ___________． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是______． 15. 如图，四边形内接于，已知的半径为，，若，则劣弧的长是_______． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知折痕，且． （1）矩形的面积是_______； （2）作与四边形各边都相切的，点P在上运动，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 18. 如图，是的直径，弦，垂足为P，连接，，求证：． 19. 已知： （1）化简A； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O． （1）尺规作图：作点O关于的对称点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图中，连接，，求证：四边形是菱形． 21. 近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是 ； （3）若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的学生人数． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打折出售； B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折． 该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． （1）分别求出，与之间的函数关系式； （2）若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？ 23. 在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式； （3）将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值． 24. 某玩转数学小组以“注意用车安全”为主题开展项目式学习，该小组探究了某品牌越野车在停车场能否打开后备厢的问题，如图所示， 请认真阅读以下素材，解决问题． 注意用车安全 素材一 如图1是越野车的侧视图以及打开后备厢的示意图，已知，，连接，，当后备厢打开到最大时，与水平面的夹角．（参考数据：，，．） 素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员，使其不能再继续倒车，防止发生意外，对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所在的圆O上，设轮胎与地面相切于点Q，点M到的距离为，已知某款挡车器，，高，，． 素材三 如图3是某露天停车场搭建的一个停车棚的侧视图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，，，．现计划在停车棚每一个停车位安装与【素材二】中同款的挡车器．已知该车的高度，垂直地面l．参考数据：，，，． 问题解决： （1）如图1，求点B到的距离． （2）如图2，当越野车停在挡车器位置时，求该越野车的轮胎所在圆O的半径． （3）如图3，将越野车停在停车棚内，在后备厢盖打开的过程中，后备厢盖不与停车棚发生刮蹭，那么挡车器应安装在距离支撑杆的什么位置？ 25. 已知正方形的边长为6． （1）如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且． ①求证：； ②连接，当最大时，求的长． （2）如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市学业水平考试学情调研卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解． 【详解】解：． 2. 如图，是某几何体的三视图，则该几何体为（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由俯视图可知底面为三角形，由主视图和左视图均为长方形可知该几何体是三棱柱，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱柱． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、二次根式的加减运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解： A：，A错误； B：，B错误； C：与不是同类二次根式，不能合并，，C错误； D：，D正确． 故选：D． 4. 为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 7和5 C. 5和7 D. 6和5 【答案】A 【解析】 【分析】根据概念先对数据排序，再分别计算众数和中位数即可，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数需先排序，若数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，． ∵数据中出现次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵这组数据共个，个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数，即第个和第个数的平均数， ∴中位数为． 因此这组数据的众数和中位数分别为和． 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式 ， 移项得 ， 两边同除以得： ， 解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘，不等号方向改变，得 ， ∴不等式组的解集为． 6. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，掌握各知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，结合等边对等角，以及三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与转化思想的应用． 由的周长为，即可求得，又由，可得是线段的垂直平分线，即可得，继而可得的周长等于的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为， ， ，， ， 的周长为：． 故选：C． 8. 现有四张形状完全相同的卡片，卡片上面分别画有线段，等边三角形，平行四边形，圆，现将画有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片图形都是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据中心对称图形的概念判断四个图形中哪些是中心对称图形，再列举出随机抽取两张的所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个图形中，线段、平行四边形、圆是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形， 将四个图形分别记为(线段)，(等边三角形)，(平行四边形)，(圆)， 列表如下： ∴ 共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片图形都是中心对称图形的结果有种， 则抽到的卡片图形都是中心对称图形的概率为． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程根的判别式、二次根式的性质，考查一次函数图象的性质，先求出k的取值范围，再根据一次函数系数的符号判断图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴ 化简得， 解得． ∵ ∴， 解得． ∴k的取值范围为． 对于一次函数 ∵ ∴， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴图象一定不经过第三象限． 10. 如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义 且， 整理得， 解得． 12. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否为原分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 经检验是原分式方程的解． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 与位似， 与的位似比为， 与的相似比为， 与的面积比为， 故答案为：． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可． 【详解】解：由图象，设， 把代入，得：， ∴， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，； 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，已知的半径为，，若，则劣弧的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，根据圆内接四边形对角互补求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，结合周角定义及等弧所对的圆心角相等求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形内接于，  ，  ，  ，  ，  ， ，  ， ，  劣弧的长为． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知折痕，且． （1）矩形的面积是_______； （2）作与四边形各边都相切的，点P在上运动，则的最小值是_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质得到，利用同角的余角相等推出，结合设未知数表示各边长度，再在中利用勾股定理列方程求解矩形的长和宽，进而计算矩形的面积； （2）作与、分别相切于点、，证明四边形是正方形，利用求出内切圆的半径，再求出的长度，再在上取点构造，将转化为，把所求式子转化为，根据两点之间线段最短确定最小值为，最后作，利用求出和的长度，再用勾股定理求出，进而得到所求式子的最小值． 【详解】解：（1）在矩形中，，，， 由折叠可知 ，则，，， ， 又， ， ， 在中，， 设，，则 ， ，， 在中，， ，， ， 在中，， 即，解得 （负值舍去）， ，， ∴矩形的面积为； （2）如图，设与、相切于点、，连接、，设的半径为，则，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，在上取点，使，则，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 过点作于点N，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了解方程组，灵活选择解题的方法是解题的关键． 【详解】解： ，得， 解得. 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 18. 如图，是的直径，弦，垂足为P，连接，，求证：． 【答案】证明： ∵是的直径，弦，垂足为P， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴． 【解析】 【分析】根据垂径定理得，则，再结合，即可证明． 【详解】略 19. 已知： （1）化简A； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可； （2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴； ②是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O． （1）尺规作图：作点O关于的对称点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图中，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图，点E即为所求： （2）证明：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以B、C为圆心，的长为半径作弧，两弧在的下方交于一点，即为点E； （2）根据矩形的性质得，由作图可知，则，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是 ； （3）若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的学生人数． 【答案】（1）200；补全条形统计图如下： （2） （3）1100人 【解析】 【分析】（1）用“视力正常”的人数除以对应的占比即可得出答案；求出“中度近视”和“高度近视”的人数，补全条形统计图； （2）用“高度近视”的人数占比乘以即可求出对应扇形的圆心角的度数； （3）用2000乘以视力不正常的人数占比即可解答． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次抽样调查的样本容量为200； “中度近视”的人数：（人）， “高度近视”的人数：（人）， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：“高度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生中视力不正常的学生人数为1100人． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打折出售； B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折． 该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． （1）分别求出，与之间的函数关系式； （2）若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？ 【答案】（1）（，且为整数）； （2）当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算 【解析】 【分析】（1）按照题中礼盒售价，结合A、B两家超市促销方案，分情况求解即可； （2）由（1）中所得函数关系式，讨论与两种情况下的费用，对于时，再细分为三种情况比较求解即可． 【小问1详解】 解：礼盒在A超市售价为元/盒，打折出售， （，且为整数）； 礼盒在B超市售价为元/盒，盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折， 当时，； 当时，； ； 【小问2详解】 解：由（1）中（，且为整数）；， 当时，恒成立； 当时， ．当时，解得； ． ，解得； ．，解得； 综上所述，当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算． 23. 在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式； （3）将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线化成顶点式即可得其顶点坐标； （2）由（1）中抛物线的顶点坐标为即可得到答案； （3）先根据题意求出抛物线的表达式，进而得出，确定该抛物线开口向上、对称轴为， 结合当时，有最小值为，分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线：的顶点坐标， 当时，，则抛物线的“型亲密线”的表达式为； 【小问3详解】 解：抛物线有“型亲密线”， 抛物线的顶点在直线上， 抛物线顶点的横坐标为， 当时，，即抛物线的顶点坐标为， 抛物线是由抛物线：平移得到， 抛物线的表达式为， 抛物线与轴交点的纵坐标为， 当时，， 是一个二次函数，则抛物线开口向上、对称轴为， 由当时，有最小值为，可分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况，具体讨论如下： ①当时，对称轴在上， 即当时，的最小值在对称轴上取得，为， 解得或（不满足，舍去）； ②当时，对称轴在左侧， 即当时，二次函数在范围内，随的增大而增大， 当时，取得最小值，为， 解得（不满足，舍去）； ③当时，对称轴在右侧， 即当时，二次函数在范围内，随的增大而减小， 当时，取得最小值，为， 解得； 综上所述，若抛物线有“型亲密线”，则或． 24. 某玩转数学小组以“注意用车安全”为主题开展项目式学习，该小组探究了某品牌越野车在停车场能否打开后备厢的问题，如图所示， 请认真阅读以下素材，解决问题． 注意用车安全 素材一 如图1是越野车的侧视图以及打开后备厢的示意图，已知，，连接，，当后备厢打开到最大时，与水平面的夹角．（参考数据：，，．） 素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员，使其不能再继续倒车，防止发生意外，对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所在的圆O上，设轮胎与地面相切于点Q，点M到的距离为，已知某款挡车器，，高，，． 素材三 如图3是某露天停车场搭建的一个停车棚的侧视图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，，，．现计划在停车棚每一个停车位安装与【素材二】中同款的挡车器．已知该车的高度，垂直地面l．参考数据：，，，． 问题解决： （1）如图1，求点B到的距离． （2）如图2，当越野车停在挡车器位置时，求该越野车的轮胎所在圆O的半径． （3）如图3，将越野车停在停车棚内，在后备厢盖打开的过程中，后备厢盖不与停车棚发生刮蹭，那么挡车器应安装在距离支撑杆的什么位置？ 【答案】（1） （2） （3）挡车器应安装在距离支撑杆大于的位置 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，根据求出即可； （2）过点M作，过点N作，过点M作，根据题意得到，，设的半径，则，然后在中利用勾股定理求解即可； （3）先求出，则，过点作的垂线，垂足为，则，解，求出，，作，，保证越野车的后备厢可以完全打开，则，求得，求出，由，可求出，从而可得结论． 【小问1详解】 解：过点B作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， 解得， 即点B到的距离为； 【小问2详解】 解：由题意得，轮胎的圆心为O，与地面切点为，过点M作，过点N作，过点M作于，如图， ∴四边形是矩形， ∵挡车器高，点M到的距离为， ∴，， ∴设的半径，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴该越野车的轮胎所在圆的半径是； 【小问3详解】 解：由素材一知，，即， 由素材三知，， 如图：过点B作于点D， ，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的垂线，垂足为， ∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 如图4中，作，， ∵，，，， ∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即挡车器应安装在距离支撑杆大于的位置． 25. 已知正方形的边长为6． （1）如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且． ①求证：； ②连接，当最大时，求的长． （2）如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值． 【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，再利用证明即可；②根据全等的性质得到，进而推出，则点在以为直径的圆上运动；以为直径作，连接、，当与相切时，最大，此时，根据正方形的性质得到，，，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，，最后在中利用勾股定理即可求解； （2）连接，延长交于点，过点作交于点，以为直径作，连接、，根据正方形的性质证明，则，得到，再证明，得到，则，通过证明，求出，，再证明四点共圆，得到，利用勾股定理求出，最后利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：①略； ②由①得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动； 如图1，以为直径作，连接、， 当与相切时，最大，此时， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连接，延长交于点，过点作交于点，以为直径作，连接、， 则， ∴点在上， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴点在的外接圆上，即点在上， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $