精品解析：福建厦门市厦门大学附属实验中学2025-2026学年高一下学期第二次月考

厦门大学附属实验中学2025-2026学年下学期第二次月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 已知复数，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第三象限 D. 10. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 11. 如图，在正三棱柱中，，M，N，D，Q分别为棱AB，AC，，的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面QMN B. C. 点Q到平面DMN的距离为 D. 三棱锥D－QMN的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是纯虚数，则__________． 13. 在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 14. 把正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 17. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，. （1）已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. （2）已知，且，求AC的最大值. 19. 如图所示，在直角梯形BCEF中，，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，（），，将四边形沿向上翻折，连接BE，BF，CE，在翻折的过程中，设（），记几何体体积为V． （1）求证：平面； （2）若平面⊥平面． ①求证：； ②当取得最大值时，求V的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属实验中学2025-2026学年下学期第二次月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，，， ，解得． 2. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 3. 已知复数，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ，， ∴ . ∵ ，，∴ . ∴ . ∴ . 4. 已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 5. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 6. 在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台的特点作出高，利用线面垂直及勾股定理可求得正四棱台上、下底面的边长和高，即可求得体积. 【详解】，为异面直线与所成的角，即， 过作平面的投影，易知在上，过作，垂足为， 因为平面，故，同理， 而，平面， 平面，而平面，， ，，，， ，，，， ，，，， 该正四棱台的体积． 故选：B. 7. 已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 作出轴截面图，显然球心在圆锥的高所在的直线上，记球半径为， 由勾股定理得，解得，可得圆柱的底面半径为， 高为，故其体积. 8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】B 【解析】 【详解】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第三象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简复数，利用复数的性质依次判断即可. 【详解】首先化简复数， 对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确； 对于B，，其中虚部为的系数，故B正确； 对于C，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故C错误； 对于D，根据完全平方公式计算，故D正确. 10. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】考查向量的分解，求模长，向量基底运算，数量积运算以及投影向量公式，结合条件求解即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，，M，N，D，Q分别为棱AB，AC，，的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面QMN B. C. 点Q到平面DMN的距离为 D. 三棱锥D－QMN的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用线面平行判定定理判断A；应用勾股定理计算判断B；应用等体积法求出点Q到平面的距离判断C；利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D. 【详解】由题，，所以，平面，平面， 故平面，A正确； 由题可得，， 设，易得，， 因为，即，解得， 故，B错误； 因为，所以，得， ，平面，得出平面， ， 所以， 又， 设点Q到平面的距离为d，则，得，C正确； 将三棱锥补成以为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 其球心O位于上下底面外心的中点，， 故的外接圆半径， 设外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球表面积，D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是纯虚数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列方程组，求解即可． 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 13. 在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 【答案】 【解析】 【分析】判断出三角形有两解时分析A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可． 【详解】根据正弦定理，，则.​ 有两解，则角有两个不同的取值. 因为，所以存在两个不同的对应同一个， 因此，即， 因此的取值范围是. 14. 把正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二面角的定义找出其平面角，由线面角的定义作辅助线，由几何法求解即可. 【详解】设正方形边长为1，取线段的中点，连接，则有， 又平面，所以平面， 则为二面角的平面角，即， 则， 取的中点，连接，， 则，， 又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面， 则为直线与平面所成角， ， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 ∵，且与夹角为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出，进而求出； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理构造方程，进而求出． 【小问1详解】 由正弦定理，则， 代入并化简得， ， 由余弦定理得， ， ． 【小问2详解】 已知，则， ，解得， 由余弦定理可知， 即， 化简得，解得． 17. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法的规则还原平面图形，得到原图形为直角梯形，利用梯形面积公式求解. （2）旋转体的结构特征：该几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，分别计算圆柱底面积和侧面积、挖去的圆锥侧面积，这些面积之和即为所求. 【小问1详解】 如图所示，由斜二测的画法规则，得到原图形为直角梯形且，， ，，. 所以，. 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所形成的几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，如图所示： 圆柱的底面半径为3，母线长为6；圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5. 则圆柱侧面积，圆柱底面积，圆锥侧面积. 则几何体的表面积为. 18. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，. （1）已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. （2）已知，且，求AC的最大值. 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答. （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【小问1详解】 （i）设，在中，由余弦定理得，解得， 在中，，则底边上的高， 所以的面积. （ii）设，依题意，， 则，，即，而， 所以. 【小问2详解】 连接，中，，， 由余弦定理得， 则，，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19. 如图所示，在直角梯形BCEF中，，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，（），，将四边形沿向上翻折，连接BE，BF，CE，在翻折的过程中，设（），记几何体体积为V． （1）求证：平面； （2）若平面⊥平面． ①求证：； ②当取得最大值时，求V的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）得到线面平行，面面平行，从而证明出结论； （2）①由面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直，线面垂直的判定定理和性质定理可证； ②分割求体积，得到，证明线面垂直，得到，得到，由基本不等式可得，取得最小值，此时，从而得到体积. 【小问1详解】 根据题意可知，， 因为平面DCE，平面DCE，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 ①证明：过点C作⊥交于点H， 因为平面⊥平面，平面平面，所以⊥平面， 又平面，则⊥； 根据题意平面图形翻折后⊥，⊥，且，是平面内两条相交直线， 所以⊥平面，又，得⊥平面， 又平面，则BF⊥BC， 因为CH，BC是平面BCE内两条相交直线，所以⊥平面； ②直角梯形中，，，且， 由①可知⊥平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以E到底面的距离为， 在中，设点E到DC的高为，即EK⊥CD， 因为BC⊥平面CDE，所以BC⊥EK， 因为，所以EK⊥平面ABCD， 设点E到底面ABCD的高为EK， 在中，根据三角形的面积公式 ，因此． 几何体EFABCD的体积为 ， 取DE的中点S，连接SC， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以，， 因为⊥平面，所以⊥平面，又因为平面，所以⊥， 在中，， 在中，， 在中，，因此，化简得到， 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $