专题02一元二次方程及其应用期末复习讲义 (26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题02一元二次方程及其应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程的定义、相关概念，能准确识别一元二次方程，掌握一般形式并确定各项系数。 2.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，理解每种解法的适用条件。 3.掌握根的判别式的含义与用法，能判断方程根的情况；了解 根与系数的关系（韦达定理）并简单运用。 4.掌握列一元二次方程解应用题的基本思路，熟悉常见实际问题的等量关系。 1.能根据方程特点灵活选择最优解法，提升解方程的运算能力与变形能力。 2.会利用根的判别式求解含参数方程中字母的取值范围，结合根的性质进行推理计算。 3.能借助根与系数的关系，不解方程完成代数式求值、根的相关计算。 4.学会分析实际问题，提炼等量关系，建立一元二次方程数学模型，提升建模与问题解决能力。 1.基础题：准确辨析方程类型、写出一般形式、规范求解简单一元二次方程，做到零失误。 2.中档题：熟练运用判别式、根与系数关系解题，步骤书写完整，计算准确。 3.拓展题：解决含参数的一元二次方程综合题、多解法综合题型。 4.应用题：精准审题、正确列方程、规范作答，检验结果是否符合实际意义。 5.规避漏写二次项系数不为 0、配方出错、公式记错、解不检验、应用题舍去不合理解等高频失分点。 题型01.一元二次方程的定义 题型02.一元二次方程一般式化简 题型03.由一元二次方程定义求参数 题型04.一元二次方程解的判定 题型05.由一元二次方程的解求参数 题型06.一元二次方程解的估算 题型07.直接开平法 题型08.配方法 题型09.配方法的应用 题型10.公式法 题型11.因式分解法 题型12.判别式判定根的情况 题型13.由根的情况求参数 题型14.一元二次方程根与系数的关系 题型15.换元法解一元二次方程 题型16.传播问题 题型17.增长率问题 题型18.与图形有关的问题 题型19.数字问题 题型20.营销问题 题型21.动态几何问题 题型22.工程问题 题型23.行程问题 题型24.图标信息问题 题型25.握手循环赛问题 题型26.其他实际应用问题 知识点01:一元二次方程的定义 1.完整定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 2.三大判定条件（缺一不可） (1)是整式方程（分母、根号内不含未知数）； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数为 2。 知识点02:一元二次方程的一般形式 1.标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.各项名称与系数: ax2二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项（不含未知数的项）。 3.核心强调 a0：若a=0，方程最高次数变为 1，不再是一元二次方程； 整理要求：移项后右边必须为 0，习惯按未知数降幂排列。 知识点03:一元二次方程的解（根） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，一元二次方程的解也称为根。 2.基础应用：已知方程的根，将根代入原方程，可求解方程中字母参数的值。 3.补充：一元二次方程在实数范围内，根的个数为 0 个、1 个（两个相等实数根）或 2 个。 知识点04:一元二次方程四种解法（考试核心、按优先级排序） 解法选择口诀：先分解、再开平、不行配方、最后公式 解法 适用题型 标准步骤 考试要求 因式分解法（最快） 能提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 1. 移项使右边 = 0 2. 左边彻底分解 3. 各因式分别 = 0 求解 日常解题首选，必须熟练十字相乘 直接开平方法 无一次项、平方式结构()2=非负数 直接开方，一正一负两根 最简单，不能乱用在普通方程 配方法（必考步骤） 所有方程，考试常 “指定用配方法” 移项→化二次项系数为 1→配方→写成平方→开方 必考大题步骤，扣分重灾区 公式法（万能） 无法分解、复杂参数方程 找 a、b、c→算 Δ→代入公式 保底解法，不会错 1. 求根公式 (Δ≥0 a0) 2. 配方法标准满分步骤（死死背住） (1)移项：常数项右移 (2)化 1：二次项系数化为 1 (3)配方：两边加一次项系数一半的平方 (4)写成完全平方形式 (5)开方求解 知识点05:根的判别式（本章重难点、选择填空压轴） 1.判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3. 含参数题型黄金规则 题目：一元二次方程 → a≠0 + Δ 条件 题目：有实数根 → Δ≥0 且 a≠0 题目：有两个相等实数根 → Δ=0 且 a≠0 （90% 学生漏 a≠0，直接扣分） 知识点06:根与系数的关系（韦达定理 沪科必考） 使用前提：方程必须有实数根 Δ≥0，且 a≠0 若 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​ 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 考试高频变形（不用推导，直接用） 知识点07:一元二次方程应用题（期末大题必考） 1.标准解题六步（阅卷严格按步骤给分） 审 → 设 → 列 → 解 → 双重检验 → 答 双重检验： 是否是方程的根 是否符合实际（负数、超范围、不合理必须舍去） 2. 经典题型模型速览. 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点08:本章所有易错点（老师天天强调、阅卷必扣） 1.看到一元二次方程忘记 a≠0（最大坑） 2.配方法不先化二次项系数为 1，直接乱配方 3.公式法、判别式代错符号 4.因式分解不把右边化为 0，导致丢根 5.韦达定理不判断 Δ≥0 直接用 6.应用题不解舍不合理根 7.增长率分不清一次增长、两次增长 题型01.一元二次方程的定义 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：A、含有和两个未知数，不符合定义，∴A错误； B、满足定义，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，∴B正确； C、未说明二次项系数，若，方程不是一元二次方程，∴C错误； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴D错误． 2．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 3．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 题型02.一元二次方程一般式化简 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 6．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 题型03.由一元二次方程定义求参数 7．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 8．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 9．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 10．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、完全平方公式、平方差公式．解题思想与方法：利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，再通过代数式的化简，整体代入求值，体现了整体思想．解题关键：根据方程的根的定义求出的值，然后对代数式进行正确化简，以便整体代入．易错点：在化简代数式时，完全平方公式和平方差公式的运用容易出错，尤其是符号问题；另外，整体代入时容易忘记将作为一个整体进行代入计算． 首先因为m是方程的根，所以把代入方程，就能得到，进而得出．接下来，需要对代数式进行化简，利用完全平方公式展开得到，利用平方差公式计算得到，然后合并同类项，将化简后的式子整理成含有的形式，即．最后，把之前求出的整体代入这个式子，计算出结果． 【详解】解：将代入方程中，可得： ， ． 又 将代入中，可得： ． 综上，代数式的值为11． 题型04.一元二次方程解的判定 11．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 12．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 13．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 题型05.由一元二次方程的解求参数 14．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 15．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 16．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 题型06.一元二次方程解的估算 17．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 18．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 19．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 题型07.直接开平法 20．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 21．若，则的值为__________． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解： ∴或 解得：或 22．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 23．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题是一元二次方程求解问题． 三个小题分别采用直接开平方法、公式法、因式分解法求解． 用到等式的性质、平方根的定义、一元二次方程求根公式、提取公因式因式分解等初中数学知识点． 解题思路为将方程整理后，选择合适的方法求出根． 【详解】（1）解：， 移项得 ， 两边同时除以3得 ， 开平方得 ， 解得 ，； （2）解：， 这里，，， ∴ ， ∴， 解得： ，； （3）解：， 移项变形得 ， 提取公因式得 ， 整理得 ， 可得 或 ， 解得 ，． 题型08.配方法 24．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 25．用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 26．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 27．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）（2）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （4）先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可． 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，， ， 解得，． 题型09.配方法的应用 28．把方程化为，（其中、为常数）的形式后为______． 【答案】 【分析】本题考查配方法，配方时先将二次项系数化为1，然后将常数项移到方程右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：， 移项：， 同时加4得：， 写成完全平方形式得：， 故答案为：． 29．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 30．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 31．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 题型10.公式法 32．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 33．已知，当时，x的值为___________________ ． 【答案】或 【分析】根据列出一元二次方程，然后整理成一般式，最后利用一元二次方程的求根公式求解即可． 【详解】解：当时，可得，整理得：， ∴， ∴， 即，． 34．我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 35．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解： 直接开平方得，， ∴或， 解得：，． （4）解： 整理得，， ∴， 解得：，． 题型11.因式分解法 36．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 37．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 38．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 39．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 题型12.判别式判定根的情况 40．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 41．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 42．已知整式：，其中，为正整数，（，1，…，）且均为整数，．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式中有且仅有3个单项式； ②当，时，满足条件的所有整式的和为； ③当，时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为3． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】依次验证三个说法，根据题干给出的整式系数条件，分别找出每种情况的所有整式，再判断说法是否正确． 【详解】解：先明确题干条件：为正整数， 且为整数（ ），． 验证①： 当时，，是正整数， ． 单项式满足，此时 ，得正整数 ，共3个单项式，故①正确． 验证②： 当，，为正整数，分和： 时， ， ，得 ，，，对应 ； 时， ， ， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴必为完全平方数， ∴ ，则， ， 所有组合对应 ； 将所有相加： ，故②正确． 验证③： 当，， ，为正整数， ，得， ，故 ，逐个判断： 1. ，方程， ，两根相等，不符合； 2. ，方程，，符合，最高次系数为； 3. ，方程，，两根相等，不符合； 4. ，方程，，符合，最高次系数为； 所有符合条件的最高次项的系数和为，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 题型13.由根的情况求参数 43．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据有两个相等实数根可得根的判别式的值为.据此列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程中， ，，， 因为方程有两个相等的实数根， 所以， 代入系数得：， 整理得， 解得． 44．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为关于的方程有实数根，当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式，可得，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：当时， 方程为， 解得：， 方程有一个实数根； 当时， 整理可得：， 关于的方程有实数根， ， 解得：； 综上所述，当时，方程有实数根． 45．若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程判别式的应用．将已知方程展开并整理成关于a的一元二次方程，结合判别式分析得出的比例关系，代入的表达式比较大小即可． 【详解】解：原方程展开并整理为：， 将方程视为关于a的一元二次方程：， ， 由题可知方程有解，故判别式非负，故， 此时方程的解为， 设，则，则： ， ， ， 因此，， 故选：B． 46．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 题型14.一元二次方程根与系数的关系 47．若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：设该方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系，得， 解得， 即该方程的另一个根为 48．已知，是方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若，是方程的两根，有，．利用一元二次方程的根与系数关系求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，其中，，， ，， ∴． 49．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 50．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 题型15.换元法解一元二次方程 51．已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 52．若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 【答案】 【分析】将所求方程变形为关于的一元二次方程，结合原方程的根，即可求出所求方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则方程化为， 由已知得，一元二次方程的两根为，， 即或 分别解得，． 53．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 54．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染_____人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染x人，根据两轮传染后总患病人数列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人． 经过第一轮传染后，患病人数为； 经过第二轮传染后，患病人数为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一人传染11人． 故答案为：11． 题型16.传播问题 55．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 56．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 57．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 题型17.增长率问题 58．我国2021年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2023.年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 【答案】年均增长率为 【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 根据题意得：， ， ， ，， 增长率不能为负数， 不合题意，舍去， ． ∴年均增长率为． 59．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 60．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，根据“2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出，根据“销售额成本利润”，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为． （2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， ， 解得，（舍）， 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出． 题型18.与图形有关的问题 61．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 62．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 63．如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入 【分析】（1）先求出正方形卡片和长方形封皮的边长，再将正方形卡片的边长与长方形封皮的宽进行比较即可； （2）根据题意可知，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽，据此调整即可． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 设长方形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 长方形的长为、宽为， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片不能装入封皮； （2）解：由（1）知，封皮的宽为，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽， 此时正方形面积为， 因此方案为：保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入． 题型19.数字问题 64．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 65．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 66．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 题型20.营销问题 67．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 68．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 69．某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 【答案】(1)184册 (2)元 (3)8元 【分析】（1）根据题意得到增加的费用，再用增加的费用得到未被借出的册数，最后，用总册数未被借出的册数=图书的借阅量即可； （2）根据每本书的月借阅费增加a元，得未被借出的图书数量为册，进而得到借出的图书数量为册，最后，运用每册月维护成本借出的图书数量未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量，即可得出月维护与管理成本的总和； （3）根据题意找出等量关系式：(每本书的月借阅费-每本书的维护成本)借出的图书数量-未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润，列出关于x的方程，然后，解方程即可． 【详解】（1）解：(元)，(册)， ∴借出的图书为（册）；                        （2）解：∵每本书的月借阅费增加a元， ∴未被借出的图书数量为册， 借出的图书数量为册，则月维护与管理成本的总和为：， 整理，得  ， ∴该图书室月维护与管理成本的总和为元； （3）解：设每本书的月借阅费为x元，则该月未被借出的图书册数为， 可列方程：， 解得， 由题意，月借阅费增加不超过5元，即，解得，故舍去， ∴若每月借阅利润为1144元，则每本书的月借阅费为8元． 题型21.动态几何问题 70．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 71．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 72．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 题型22.工程问题 73．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 74．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 75．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 题型23.行程问题 76．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 77．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 78．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型24.图标信息问题 79．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 80．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 题型25.握手循环赛问题 81．某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有支队伍参加了比赛，根据一共进行了场比赛，列方程求解． 【详解】解：设有支队伍参加了比赛， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该小组参加比赛的队伍共有支． 故答案为：． 82．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 83．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 题型26.其他实际应用问题 84．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； (2)请继续完成本题的解答． 【答案】(1)①；②；③ (2)每个支干长出个小分支 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程解应用题，读懂题意，准确表示相关量的代数式，并由等量关系建立方程求解是解决问题的关键． （1）设主干长出了个支干，根据题意，即可得到主干和支干的总数；小分支的个数；主干、支干和小分支的总数；直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）中所得代数式，由题中主干、支干和小分支的总数是111，由等量关系建立方程，由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设主干长出了个支干， 在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是， 故答案为：； ②设主干长出了个支干， 当每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为， 故答案为：； ③由①②可知，在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为， 故答案为：； （2）解：设主干长出了个支干， 由（1）可得， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：每个支干长出个小分支． 85．某车间加工生产一种农用手推车厢和车轮，生产的农用手推车由1个车厢搭配2个车轮组成，现在车间有28名工人，每人每天生产车厢12个或车轮18个． (1)应分配多少人生产车厢，多少人生产车轮，才能使生产的车厢和车轮刚好配套(1个车厢要配2个车轮)； (2)在(1)问条件下，车间只引进了生产车轮的先进设备，使得每人生产车轮的个数提高，而每人生产车厢的个数不变，于是从生产车轮的工人中调走部分工人去生产车厢，并发现，只有现在每天每位工人生产车轮的个数在原来基础上增加了调走工人人数的倍，才能使生产的车厢和车轮刚好配套，则需要从原生产车轮的工人中调走多少人？ 【答案】(1)生产车厢有12人，生产车轮有16人． (2)4人 【分析】（1）设分配人生产车厢，则有人生产车轮根据生产的车厢和车轮刚好配套(1个车厢要配2个车轮)，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设从原生产车轮的工人中调走人，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设分配人生产车厢，则有人生产车轮 由题意得：． 解得：． （2）解：设从原生产车轮的工人中调走人， 由题意得： 化简得： 解得：或(舍) 答：需要从原生产车轮的工人中调走4人． 86．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）则最小的“喜鹊数”是___________； （2）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，则满足条件的k的最大值是___________． 【答案】 121 484 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． （1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又，得出，求出，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵， ∴最小的“喜鹊数”是121； 故答案为：121． （2）∵是喜鹊数， ∴，即， ∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ∴， 将两边同除以得：， ∴将m、看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 即满足条件的k的最大值是484． 故答案为：484． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程及其应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程的定义、相关概念，能准确识别一元二次方程，掌握一般形式并确定各项系数。 2.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，理解每种解法的适用条件。 3.掌握根的判别式的含义与用法，能判断方程根的情况；了解 根与系数的关系（韦达定理）并简单运用。 4.掌握列一元二次方程解应用题的基本思路，熟悉常见实际问题的等量关系。 1.能根据方程特点灵活选择最优解法，提升解方程的运算能力与变形能力。 2.会利用根的判别式求解含参数方程中字母的取值范围，结合根的性质进行推理计算。 3.能借助根与系数的关系，不解方程完成代数式求值、根的相关计算。 4.学会分析实际问题，提炼等量关系，建立一元二次方程数学模型，提升建模与问题解决能力。 1.基础题：准确辨析方程类型、写出一般形式、规范求解简单一元二次方程，做到零失误。 2.中档题：熟练运用判别式、根与系数关系解题，步骤书写完整，计算准确。 3.拓展题：解决含参数的一元二次方程综合题、多解法综合题型。 4.应用题：精准审题、正确列方程、规范作答，检验结果是否符合实际意义。 5.规避漏写二次项系数不为 0、配方出错、公式记错、解不检验、应用题舍去不合理解等高频失分点。 题型01.一元二次方程的定义 题型02.一元二次方程一般式化简 题型03.由一元二次方程定义求参数 题型04.一元二次方程解的判定 题型05.由一元二次方程的解求参数 题型06.一元二次方程解的估算 题型07.直接开平法 题型08.配方法 题型09.配方法的应用 题型10.公式法 题型11.因式分解法 题型12.判别式判定根的情况 题型13.由根的情况求参数 题型14.一元二次方程根与系数的关系 题型15.换元法解一元二次方程 题型16.传播问题 题型17.增长率问题 题型18.与图形有关的问题 题型19.数字问题 题型20.营销问题 题型21.动态几何问题 题型22.工程问题 题型23.行程问题 题型24.图标信息问题 题型25.握手循环赛问题 题型26.其他实际应用问题 知识点01:一元二次方程的定义 1.完整定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 2.三大判定条件（缺一不可） (1)是整式方程（分母、根号内不含未知数）； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数为 2。 知识点02:一元二次方程的一般形式 1.标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.各项名称与系数: ax2二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项（不含未知数的项）。 3.核心强调 a0：若a=0，方程最高次数变为 1，不再是一元二次方程； 整理要求：移项后右边必须为 0，习惯按未知数降幂排列。 知识点03:一元二次方程的解（根） 1.定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，一元二次方程的解也称为根。 2.基础应用：已知方程的根，将根代入原方程，可求解方程中字母参数的值。 3.补充：一元二次方程在实数范围内，根的个数为 0 个、1 个（两个相等实数根）或 2 个。 知识点04:一元二次方程四种解法（考试核心、按优先级排序） 解法选择口诀：先分解、再开平、不行配方、最后公式 解法 适用题型 标准步骤 考试要求 因式分解法（最快） 能提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 1. 移项使右边 = 0 2. 左边彻底分解 3. 各因式分别 = 0 求解 日常解题首选，必须熟练十字相乘 直接开平方法 无一次项、平方式结构()2=非负数 直接开方，一正一负两根 最简单，不能乱用在普通方程 配方法（必考步骤） 所有方程，考试常 “指定用配方法” 移项→化二次项系数为 1→配方→写成平方→开方 必考大题步骤，扣分重灾区 公式法（万能） 无法分解、复杂参数方程 找 a、b、c→算 Δ→代入公式 保底解法，不会错 1. 求根公式 (Δ≥0 a0) 2. 配方法标准满分步骤（死死背住） (1)移项：常数项右移 (2)化 1：二次项系数化为 1 (3)配方：两边加一次项系数一半的平方 (4)写成完全平方形式 (5)开方求解 知识点05:根的判别式（本章重难点、选择填空压轴） 1.判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3. 含参数题型黄金规则 题目：一元二次方程 → a≠0 + Δ 条件 题目：有实数根 → Δ≥0 且 a≠0 题目：有两个相等实数根 → Δ=0 且 a≠0 （90% 学生漏 a≠0，直接扣分） 知识点06:根与系数的关系（韦达定理 沪科必考） 使用前提：方程必须有实数根 Δ≥0，且 a≠0 若 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​ 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 考试高频变形（不用推导，直接用） 知识点07:一元二次方程应用题（期末大题必考） 1.标准解题六步（阅卷严格按步骤给分） 审 → 设 → 列 → 解 → 双重检验 → 答 双重检验： 是否是方程的根 是否符合实际（负数、超范围、不合理必须舍去） 2. 经典题型模型速览. 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点08:本章所有易错点（老师天天强调、阅卷必扣） 1.看到一元二次方程忘记 a≠0（最大坑） 2.配方法不先化二次项系数为 1，直接乱配方 3.公式法、判别式代错符号 4.因式分解不把右边化为 0，导致丢根 5.韦达定理不判断 Δ≥0 直接用 6.应用题不解舍不合理根 7.增长率分不清一次增长、两次增长 题型01.一元二次方程的定义 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 题型02.一元二次方程一般式化简 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 6．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 题型03.由一元二次方程定义求参数 7．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 8．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 9．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 10．已知是方程的一个根，求代数式的值． 题型04.一元二次方程解的判定 11．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 12．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 13．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 题型05.由一元二次方程的解求参数 14．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 15．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 题型06.一元二次方程解的估算 17．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 18．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 19．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 题型07.直接开平法 20．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 21．若，则的值为__________． 22．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 23．解方程： (1) (2) (3) 题型08.配方法 24．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 25．用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 26．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 27．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 题型09.配方法的应用 28．把方程化为，（其中、为常数）的形式后为______． 29．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 30．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 31．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 题型10.公式法 32．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 33．已知，当时，x的值为___________________ ． 34．我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 35．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11.因式分解法 36．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 37．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 38．解方程 (1) (2) 39．解方程： 题型12.判别式判定根的情况 40．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 41．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 42．已知整式：，其中，为正整数，（，1，…，）且均为整数，．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式中有且仅有3个单项式； ②当，时，满足条件的所有整式的和为； ③当，时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为3． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型13.由根的情况求参数 43．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 44．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 45．若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 46．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 题型14.一元二次方程根与系数的关系 47．若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（     ） A． B．0 C．1 D．2 48．已知，是方程的两个根，则______． 49．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 50．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 题型15.换元法解一元二次方程 51．已知方程的解是，则方程的解是___________． 52．若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 53．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 54．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染_____人． 题型16.传播问题 55．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 56．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 57．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型17.增长率问题 58．我国2021年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2023.年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 59．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 60．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 题型18.与图形有关的问题 61．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 62．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 63．如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 题型19.数字问题 64．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 65．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 66．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 题型20.营销问题 67．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 68．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 69．某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 题型21.动态几何问题 70．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 71．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 72．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 题型22.工程问题 73．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 74．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 75．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 题型23.行程问题 76．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 77．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 78．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 题型24.图标信息问题 79．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 80．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 题型25.握手循环赛问题 81．某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 82．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 83．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 题型26.其他实际应用问题 84．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； (2)请继续完成本题的解答． 85．某车间加工生产一种农用手推车厢和车轮，生产的农用手推车由1个车厢搭配2个车轮组成，现在车间有28名工人，每人每天生产车厢12个或车轮18个． (1)应分配多少人生产车厢，多少人生产车轮，才能使生产的车厢和车轮刚好配套(1个车厢要配2个车轮)； (2)在(1)问条件下，车间只引进了生产车轮的先进设备，使得每人生产车轮的个数提高，而每人生产车厢的个数不变，于是从生产车轮的工人中调走部分工人去生产车厢，并发现，只有现在每天每位工人生产车轮的个数在原来基础上增加了调走工人人数的倍，才能使生产的车厢和车轮刚好配套，则需要从原生产车轮的工人中调走多少人？ 86．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）则最小的“喜鹊数”是___________； （2）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，则满足条件的k的最大值是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $