第03讲 公式法解一元二次方程（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材人教版

第03讲 公式法解一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 公式法解一元二次方程 用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).你有什么发现？ 【知识点1 一元二次方程根的判别式】 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【知识点2 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式， 这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型1 不解方程判断一元二次方程根的情况】 【例1】不解方程，请你判别下列方程根的情况： (1)； (2) 【答案】(1)无实数根 (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题考查判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． （1）计算其判别式，根据的符号即可判断； （2）计算其判别式，根据的符号即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该一元二次方程无实数根； （2）解：∵， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1-1】不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无实数根； (2)无实数根； (3)有两个不相等的实数根． 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （2）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （3）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：整理， 可得：， ， 原方程没有实数根； （2）解：整理， ， ， 原方程没有实数根； （3）解：整理， 可得：， ， 原方程有两个不相等的实数根． 【变式1-2】不解方程，判断下列关于的一元二次方程根的情况： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)原方程没有实数根 (2)原方程有两个不相等的实数根 (3)原方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,利用判别式直接判断一元二次方程的根的情况,解题关键是掌握判别式与根的关系． （1）计算判别式的值，即可快速判断根的情况； （2）先把方程化为一般形式，计算判别式的值，即可快速判断根的情况； （3）先把方程化为一般形式，计算判别式的值，即可快速判断根的情况 【详解】（1）解：． 原方程没有实数根． （2）解：原方程可化为． ． 原方程有两个不相等的实数根． （3）原方程可化为． ． 原方程有两个相等的实数根． 【变式1-3】用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个不相等的实数根 (3)有两个相等的实数根 (4)没有实数根 【分析】（1）（2）先求出的值，再根据根的判别式得出答案即可； （3）（4）整理后求出的值，再根据根的判别式得出答案即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2），，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （3）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程有两个相等的实数根． （4）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程没有实数根． 【题型2 公式法解一元二次方程】 【例2】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，再利用求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； （2）方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解； （3）先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解； （4）先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （2）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， 其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （4）解：先将方程整理为一般形式：，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，． 【变式2-1】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． （1）直接利用公式法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可； （3）、（4）直接利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 则， 即，； （2）解：整理，得：， ∴，，，， 则， 即，； （3）解：∵， ∴， 则， 即，； （4）解：∵， ∴， 则， ∴，． 【变式2-2】用公式法解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)该方程在实数范围内无解 (3) (4) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值与0作比较，判断出方程根的情况，当判别式大于等于0时，代入求根公式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）解：， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 【变式2-3】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 【题型3 求根公式的理解】 【例3】用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 【变式3-1】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式3-2】以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 【题型4 根据判别式求字母的取值范围】 【例4】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 【变式4-1】已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-2】已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：______（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，当时，找出．①当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将代入中，得出，由此得出②不正确；③将代入中，得出，由此得出③正确；④结合①可知当时，方程有一个实数根，从而得出④不正确，结合上面所述即可得出结论． 【详解】解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式4-3】关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型5 由求根公式求字母的值】 【例5】关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围． 【答案】(1)方程总有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和性质．结合二次函数的单调性，求解参数的取值范围是解题关键 （1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）先求出方程的根，再结合“根不小于3”的条件，确定参数的范围． 【详解】（1）解： ， 方程总有两个实数根． （2）解： ， ，， 方程有一个根不小于3， ， ． 答：k的取值范围为． 【变式5-1】为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 【变式5-2】关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 【题型6 一元二次方程根的判别式的实际应用】 【例6】已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入一元二次方程，得出，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【变式6-2】已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 【变式6-3】已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及等腰三角形的性质、三角形三边关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）要证明无论为何值方程总有实数根，需要考虑方程的判别式．对于一元二次方程，当判别式非负时，方程有实数根，所以通过计算判别式并判断其取值范围来证明． （2）已知等腰三角形的边长，、为方程的两个根，需要根据等腰三角形的性质，分情况讨论哪两边相等，再结合方程根与系数的关系求解的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴其判别式 ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴无论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 分三种情况讨论： 情况一：若为腰，，． ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，这种情况舍去； 情况二：若为底，，则． 此时三边为，，，满足三角形三边关系； 综上，． 模块三 课后作业 1．一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】根据判别式与的大小关系即可判断根的情况． 判别式的判断规则为：时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 将方程对应系数代入计算判别式即可得到结果． 【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数，一次项系数，常数项， ∴ ， ∵ ，即， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 2．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 3．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】由方程的解结合线段的和差可以得到答案． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 线段的长是的根． 4．一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】利用一元二次方程求根公式得到较小的根的表达式，再通过估算无理数的大小，确定较小根所在区间； 【详解】解：将原方程两边同乘，整理得 ，，， 判别式， 由求根公式得 ， ， 较小的实数根为， 又，，且， ，即， 不等式同减得； 因此较小的实数根在2和3之间． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 6．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 7．设关于x的一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中的一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①，；②，；③，；④，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：根的判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，则方程无实数根． 由题意可知，，的值应满足，即，据此对四组条件逐一分析判断即可得出答案． 【详解】解：若要使这个方程有两个不相等的实数根，则，即：， 在①中，，方程有两个相等的实数根，不合题意； 在②中，，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 此时方程为：， ， ∴，； 在③中，，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 此时方程为：， ， ∴，； 在④中，，方程没有实数根，不合题意． 8．已知、、是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，由根的情况求得判别式为0，从而求得a、b、c的关系是解题的关键．由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，整理可求得a、b、c的关系，则可判断三角形的形状． 【详解】解：这个三角形是等腰三角形．理由： ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ∴，即；或即 ∴这个三角形是等腰三角形． 9．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 10．定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 公式法解一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 公式法解一元二次方程 用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).你有什么发现？ 【知识点1 一元二次方程根的判别式】 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【知识点2 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式， 这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型1 不解方程判断一元二次方程根的情况】 【例1】不解方程，请你判别下列方程根的情况： (1)； (2) 【变式1-1】不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】不解方程，判断下列关于的一元二次方程根的情况： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 公式法解一元二次方程】 【例2】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】用公式法解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 求根公式的理解】 【例3】用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据判别式求字母的取值范围】 【例4】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【变式4-1】已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【变式4-2】已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：______（只填序号） 【变式4-3】关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【题型5 由求根公式求字母的值】 【例5】关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围． 【变式5-1】为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【变式5-2】关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【题型6 一元二次方程根的判别式的实际应用】 【例6】已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 【变式6-2】已知：关于x的方程 (1)求证：无论 取何值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式6-3】已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 模块三 课后作业 1．一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一个实数根 2．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 4．一元二次方程的较小的实数根应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 6．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 7．设关于x的一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中的一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①，；②，；③，；④，． 8．已知、、是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状． 9．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 10．定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $