第04讲 反比例函数与一次函数的综合运用（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材苏科版

第04讲 反比例函数与一次函数的综合运用（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+10个题型+课后作业】 模块二 反比例函数与一次函数的综合运用 小明去郊外骑行，全程路程固定为 20 千米。 速度与时间：他骑车的平均速度为 （千米/时），骑完全程所需的时间为 t（小时）。因为路程固定，所以 ，这是反比例函数关系。 路程与时间：同时，他实际骑行的路程 s（千米）随着时间（小时）均匀增加，假设他保持匀速，即 s = ，这是一次函数关系。 当速度 发生变化时，反比例函数图象与一次函数图象会产生怎样的关联？我们该如何通过图象找到它们的交点并解决问题呢？ 【题型1 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数所在的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断直线的走向、与坐标轴的交点与图形中直线的走向是否符合． 【详解】解：反比例函数在一、三象限， ， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故A选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故B选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故C选项错误； 反比例函数在一、三象限， ， 一次函数中随的增大而增大， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故D选项正确． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 【变式1-3】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解： A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象相符，故B符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故C不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：B． 【题型2 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例2】如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图像，则关于x的方程kx+b=的解为（　　） A．xl=1，x2=2 B．xl=-2， x2=-1 C．xl=1，x2=-2 D．xl=2，x2=-1 【答案】C 【详解】试题分析：由图可知，两函数图象的交点坐标为（1，2），（﹣2，﹣1），即可得关于x的方程kx+b=的解为xl=1，x2=﹣2．故选C． 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象． 【变式2-1】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为-1．根据图象信息可得关于的方程的解为（    ） A．或1 B．或3 C．或1 D．或1 【答案】A 【分析】首先将点M的坐标（1，3）代入反比例函数求出m，然后将点N的纵坐标代入反比例函数求出点N的横坐标即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵点M的坐标为（1，3）， ∴代入得：m=3， 即 ， 当y=-1时，x=-3， 即N（-3，-1）， ∵由图象可知：反比例函数的图象与一次函数y=kx-b的图象交点M，N，且M的坐标为（1，3），N的坐标是（-3，-1）， ∴关于x的方程的解为x=1和-3， 故该方程的解为：1，-3． 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是代入点M的坐标求出反比例函数的表达式． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正比例函数与反比例函数如果有两个交点，那么这两个交点关于原点对称，据此可得答案． 【详解】解：∵一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是， ∴另一个交点的坐标是， 故选：D． 【变式2-3】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出，的值是解题关键． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象相交于点， ，， 解得， 关于的方程为， ， 解得，， 故选：D． 【题型3 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标与不等式解集之间的关系，先求出反比例函数解析式，进而求出点M的横坐标，然后结合图象进行判断即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， 把代入得， 解得， ∴不等式 的解集为或， 故选：A． 【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：点的坐标为， 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点， 关于的不等式 的解集为或， 故答案为：或． 【变式3-2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的下方、函数图象的上方， 不等式组的解是． 故答案为：． 【变式3-3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题．理解交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，继而可确定点的坐标，再将点、代入得到方程组，求解即可； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）根据图像直接写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 在上， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得：， ∴； （2）解：中，当时，； ∴直线和x轴交点是， ∴ ∴； （3）解：∵一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点， 不等式表示反比例函数的图像位于一次函数的下方， 则其解集为：或， 而不等式表示一次函数的图像位于轴的下方， 则其解集为：， ∴不等式组的解集为． 【题型4 结合反比例函数与一次函数的交点求代数式的值】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将点坐标代入到两个解析式，可以的到和，将代数式变形成，代入即可解决． 【详解】解：函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是将代数式，变形成，再运用整体思想进行代入，是解题的关键． 【变式4-1】已知点在直线上，也在双曲线上，则m2+n2的值为______． 【答案】6 【详解】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案． 详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上， ∴n+m=2， ∵点P（m，n）在双曲线y=-上， ∴mn=-1， ∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=6． 故答案为6． 点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间的关系是解题关键． 【变式4-2】设函数与的图象的交点坐标为，则的值为________． 【答案】 【分析】有两函数的交点为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解：把代入 ， 得 ， 把代入， 得， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出与的值是解本题的关键． 【变式4-3】直线y＝kx与双曲线y＝交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数的性质计算即可； 【详解】∵直线y＝kx与双曲线y＝交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点， ∴、两点关于原点对称， ∴，， 把A（x1，y1）代入双曲线得到， ∴， ∴则原式； 故答案是4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键． 【题型5 结合反比例函数与一次函数的交点比较大小】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小：_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，由正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，，从而结合正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称，故 ，，又，则，再由，可得，即进而函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大，又故可判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，， 又∵正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称， ∴，，， ， ， ， ， ∴函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大， 又 ， 故答案为：． 【变式5-1】（2024·湖北十堰·二模）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)结合图象直接比较：当时，根据自变量的取值范围比较和的大小； 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为： (2)当或时，；当时， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题： （1）由A坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点B坐标，待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据函数图象，结合交点坐标可直接比较和的大小 【详解】（1）解：（1）∵在函数为的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：由函数图象得：当或时，；当时， 【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过两点． (1)当时，求的取值范围． (2)设一次函数，当时，比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，一次函数和反比例函数交点问题，熟记相关结论是解题关键． （1）首先求出的函数表达式为，然后根据反比例函数的增减性求解即可； （2）首先判断出直线经过点，得到与函数图象的一个交点为，进而求解即可． 【详解】（1）反比例函数的图象经过点， ， 的函数表达式为． ， 图象位于第二、四象限， 在图象所在的每个象限内，随的增大而增大， 当时，． （2）由可知，直线经过点 与函数图象的一个交点为． 又 随的增大而减小， 当时，； 当时，； 当时，． 【变式5-3】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点． (1)求k，a，m，n的值； (2)反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)当或时，，当时， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数的图象和性质等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）利用借助已知点的坐标利用待定系数法解答即可； （2）根据的取值范围，利用反比例函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， 把代入得：， 把代入得： ， 解得， ． （2）由题意可知，，且反比例函数在每一象限上随增大而减小． ①当时，点在第一象限反比例函数图象上，故； ②当时，即，点在第三象限反比例函数图象上，故； ③当，且时，即，点分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故． 综上所述，当或时，，当时，． 【题型6 结合反比例函数与一次函数的图象求面积】 【例6】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，与直线和直线在第一象限内分别交于点，，连接．则的面积是____． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，与三角形的高相关的计算． 由已知可得点，的坐标，作轴于点，交于点，作轴于点，利用图形的面积公式，即可得的面积． 【详解】解：由可得， ∴， 由可得， ∴， 作轴于点，交于点，作轴于点， ∵点，在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 【变式6-1】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．若，则的面积_______． 【答案】 【分析】由反比例函数解析式可求得点A的坐标，则可求出正比例函数解析式，然后可得点C的坐标，进而可得的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴，解得：， ∴正比例函数解析式为， ∵，即点的纵坐标为， ∴， ∴ 即， 依题意，把代入得 ∴， ∴， ∴； 【变式6-2】如图，直线y＝x+与双曲线y＝在第一象限内的图象交于一点A（1，1），与x负半轴交于点B．点P（m，n）是该双曲线在第一象限内图象上的一点，且P点在A点的右侧，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，连结PB．则△ABC的面积___△PBD的面积（填“＜”、“＝”或“＞”）． 【答案】＞． 【分析】连接OA、OP，得到则S△AOC＝S△POD＝k，根据A,P在第一象限，判断出m＞1，n＜1，得到AC＝1＞PD，即可通过三角形面积公式得到解答 【详解】连接OA、OP，则S△AOC＝S△POD＝k， ∵A（1，1），点P（m，n）是该双曲线在第一象限内图象上的一点，且P点在A点的右侧， ∴m＞1， ∴n＜1， ∴AC＝1＞PD， ∵S△AOB＝OB•AC，S△POBOB•PD， ∴S△AOB＞S△POB， ∴S△AOB+S△AOC＞S△POB+S△POD，即S△ABC＞S△PBD， 故答案为＞． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于做辅助线 【变式6-3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 【题型7 结合反比例函数与一次函数的图象求k】 【例7】如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，由反比例k的几何意义可得，设，所以，再由已知可得，求得，再将点D代入即可求k的值． 【详解】解：由题意可求， ∵直线与交于点C， ∴， 设， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵D点在直线上， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-1】如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴，垂足分别为点，．当矩形是的面积2倍时，的值为（    ）    A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】求出点A和点B的坐标，分别求出矩形与的面积，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点， 令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 则的面积，而矩形的面积为， 则， 解得：（舍去）或1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形与的面积是解题的关键． 【变式7-2】如图，直线经过原点，与双曲线交于、两点，轴于点，且的面积是3，则的值是______． 【答案】 【分析】如图（见解析），设点的坐标为，从而可得点的坐标为，再根据的面积是3建立等式求解可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 轴，轴， ， 面积是3， ，即， 解得， 将点代入得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【变式7-3】如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线将这12个正方形分成面积相等的两部分，且与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第二象限的图象交于点C，若与的面积之比为，则k的值为 _____． 【答案】 【分析】设AB于第四层小正方形的上水平线交于D，过A铅直线与第四层小正方形上水平线交于E，D（m，4），根据AB平分小正方形面积，得出S△DAE=3，求出点D（），利用待定系数法AB解析式为，根据与的面积之比为，设C点横坐标为xC＜0，求出，根据点C在AB上，，求出点C（-3，）即可． 【详解】解：设AB于第四层小正方形的上水平线交于D，过A铅直线与第四层小正方形上水平线交于E，D（m，4）， 根据AB平分小正方形面积， ∴S△DAE=3， ∴， ∴， 解得， ∴点D（）， 设AB解析式为，代入坐标得： ， 解得， ∴AB解析式为， 又∵与的面积之比为，设C点横坐标为xC＜0， ∴， 即， ∴， ∵点C在AB上， ∴， ∴点C（-3，）， 点C在反比例函数图像上， ∴， 故答案为-16． 【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，反比例函数解析式，掌握图形与坐标，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，反比例函数解析式是解题关键． 【题型8 结合反比例函数与一次函数的图象求坐标】 【例8】（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点P的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式. 待定系数法求出反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，从而可得点．即，设点，则，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入，得． 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点，即． 设点， 则． 解得， ∵点在第一象限， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． 【详解】（1）解：因为点 在直线上， 所以， 解得， 故点坐标为， 将点A坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解： ∵点A坐标为， 又， 即， ， 故点纵坐标为3或， 将代入得，， 将代入得，， 所以点的坐标为或． 【变式8-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在中，，点坐标为． (1)求的值； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数以及全等三角形的判定与性质： （1）利用正比例函数确定的坐标，将坐标代入反比例函数即可得到； （2）作轴于，轴于，证明后可以求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ； （2）解：作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型9 反比例函数与一次函数的图象的实际应用】 【例9】为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 【变式9-3】某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______； （2）当水温为时，______； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 【题型10 反比例函数与一次函数关系式的实际应用】 【例10】（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 【变式10-1】（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【答案】(1) (2)最小成本2640元 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质， （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出不等式，求出，设生产这200件产品的成本为，根据题意表示出W，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， 解得， 所以； （2）解：由题意得，， 解得， 设生产这200件产品的成本为， 则 因为， 所以随的增大而减小； 所以当时，最小，最小值2640元． 【变式10-2】通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量与市场价格之间存在下列函数关系：，且该地区这种农产品的产量与市场价格成正比例关系：．现不计其他因素影响，若需求量y等于产量z时，则称市场处于平衡状态． (1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格； (2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值． 【答案】(1) (2)320000 【分析】本题主要考查了函数与方程的应用．熟练掌握函数与方程的关系，根据“需求量=生产数量”列出方程，是解题的关键． （1）平衡状态时，让得到x的方程，求出相应的x； （2）处于平衡状态时，市场价格为40元，代入“需求量=生产数量”，求出m值，即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 ， 经检验，，都是方程的解，不合题意，舍去， 答：当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格为； （2）由题意得方程的解为， ∴， 解得． 故m的值为320000． 【变式10-3】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表： 流程 变量 加热过程 水温下降过程 0 1 2 3 4 … 8 10 20 … 20 40 60 80 100 … 50 40 20 … (1)饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (3)已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间． 【答案】(1)一次函数模型， (2)反比例函数模型， (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用，得到一次函数和反比例函数模型是解答的关键． （1）先根据表格数据得到加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型，然后利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据表格数据得到下降过程中的水温与通电时间满足反比例函数模型，然后利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）求出水温是时的通电时间即可求解． 【详解】（1）解：∵每过1分钟，水温上升，所以加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型． 设一次函数表达式为， 过点， ，解得， ，； （2）解： 停止加热水温下降时，水温与通电时间满足反比例函数模型， 设反比例函数表达式为， 则， ； （3）解：在中，当时，由得， 在中，当时，， ∴， 从饮水机加热开始到可以饮用需要． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，理解题意，再进行分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、三、四象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，D选项不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、三、四象限， 故B、C选项都不符合题意； 故选：A． 2．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在直线上，先求出，再代入反比例解析式求即可. 【详解】解：∵反比例函数与直线交于点， ∴，即： ∴． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 4．已知一次函数（a为常数）的图象与反比例函数的图象在第三象限交于点，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将代入求出或，然后根据点在第三象限得到，然后代入求解． 【详解】解：将代入得， 解得或 ∵点在第三象限 ∴舍去 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得． ∴的解析式是． 5．（2026·浙江温州·模拟预测）一次函数（b为常数）与反比例函数交于A，B两点，其中点A的坐标为，点，分别在该一次函数与反比例函数上，若，则a的值可以为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先利用已知点A的坐标求出两个函数的解析式，再联立求出两个交点的横坐标，根据函数图象性质得到满足时a的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在一次函数上 ∴代入得， 解得 即一次函数解析式为 ∵点在反比例函数上 ∴代入得， 解得 即反比例函数解析式为 联立两个函数解析式得 消去整理得 因式分解得 解得两个交点的横坐标为， 根据反比例函数和一次函数的图象性质可得，当时，的取值范围是或 结合选项，只有满足，符合条件. 故选B． 6．（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】利用反比例函数的解析式求出点的坐标，利用反比例函数和正比例函数的性质，得出点关于原点对称，求出，即可求解． 【详解】解：将代入得， ， ∴， ∵反比例函数图象关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴， ∴． 8．（2026·江苏宿迁·一模）若反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，且，则的值等于 _________． 【答案】4 【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到与的关系，以及与的关系，再对已知等式通分变形，代入后即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，直线与一个反比例函数的图象在第一象限交于点A，点B和C都在x轴上，且是等腰直角三角形，，，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】过点作于点，先根据等腰三角形的判定与性质求出，然后利用正比例函数解析式求出，再由待定系数法求解反比例函数解析式． 【详解】解：过点作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴均为等腰直角三角形， ∴ 将代入，则 ∴ ∴ 设反比例函数的表达式为，则 ∴反比例函数的表达式为． 10．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 11．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，点P是线段上一点，连接，且，若双曲线过点P，则________． 【答案】 【分析】设 ，首先利用一次函数的性质求出的坐标，进而求出、的长，再根据列方程求的值，进而确定k的值． 【详解】解：设 ， 直线 分别与轴、轴交于、两点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ， 解得， ． 把代入，得 ． 12．（2026·浙江舟山·二模）如图，正方形的顶点A，B在坐标轴上，点A的坐标为，点B的坐标为．若经过点C的反比例函数与边交于点E，则点E的横坐标为_____． 【答案】 【分析】过点作轴于点，证明即可求解点坐标，然后求出点坐标，分别求出直线和反比例函数的表达式，再联立求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵正方形 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 同理可求 ∴将点代入得，， ∴反比例函数表达式为 设直线 则代入点，，可得 解得 ∴直线， 再与反比例函数表达式联立可得，， 整理得， 解得，（舍） ∴点E的横坐标为． 13．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 14．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或． 15．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 16．（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 17．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象回答，当 时，求x的取值范围； (3)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)点的坐标为或 【分析】（1）由B的坐标，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象即可得到不等式的解集； （3）先求出M，N的坐标，再分和，表示出四边形面积，计算即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）由图象得，当时，即时，x的取值范围为或； （3）解：设， 由得，当时，，当时，， ， 当时， ， ， ， ， 点的坐标为， 如下图， 当时，， ， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 18．（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 【答案】(1)80 (2)①图象见解析；② (3)66 【分析】（1）根据表格数据，可以得出加热的阶段，水温y与时间x呈一次函数关系，由表格可知，每分钟水温上升，16分钟的时候为，，故20分钟的时候刚好； （2）①根据表格数据描点，再通过加热阶段和降温阶段分别是一次函数关系和类反比例关系，画出图象即可； ②根据表格数据，确定函数解析式即可； （3）由表格可知，每16分钟一循环，找到第一个16分钟中水温为时对应的时间，再通过循环确定第9次即可． 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又， ∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①图象如下： ②由表格，可知， ∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设， 代入，得， ∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环， 在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次， 此时（分钟）． 19．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数表达式中即可求解； （2）求出平移后的一次函数表达式，联立反比例函数表达式，得到一元二次方程，根据求解即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，当为对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为：． 将点的坐标代入，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数向右平移个单位后的表达式为：， 联立， 则， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点， ， 解得或． 当时，，不经过第二象限，舍去． ∴． （3）解：当时，． 联立，解得或， ∴． 如图，点， 则直线的解析式为，， ． 设点， 则直线的解析式为，， ． ． ∴与直线垂直的直线为直线． 当为边时， 过点作的垂线，交直线于点， 由上可得直线的表达式为：， 将点代入，得 ，解得． ∴直线的表达式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 过点作的垂线，交直线于点， 同理可得，直线的表达式为：， 联立，解得， ∴点的坐标为：． 当为对角线时， 则， 设点， ， ， 解得或， ∴点的坐标为：或． 综上所述，点的坐标为：或或或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 反比例函数与一次函数的综合运用（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+10个题型+课后作业】 模块二 反比例函数与一次函数的综合运用 小明去郊外骑行，全程路程固定为 20 千米。 速度与时间：他骑车的平均速度为 （千米/时），骑完全程所需的时间为 t（小时）。因为路程固定，所以 ，这是反比例函数关系。 路程与时间：同时，他实际骑行的路程 s（千米）随着时间（小时）均匀增加，假设他保持匀速，即 s = ，这是一次函数关系。 当速度 发生变化时，反比例函数图象与一次函数图象会产生怎样的关联？我们该如何通过图象找到它们的交点并解决问题呢？ 【题型1 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型2 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例2】如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图像，则关于x的方程kx+b=的解为（　　） A．xl=1，x2=2 B．xl=-2， x2=-1 C．xl=1，x2=-2 D．xl=2，x2=-1 【变式2-1】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为-1．根据图象信息可得关于的方程的解为（    ） A．或1 B．或3 C．或1 D．或1 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【题型3 反比例函数与一次函数的图象综合判断】 【例3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为_______． 【变式3-2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 【变式3-3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式组的解集． 【题型4 结合反比例函数与一次函数的交点求代数式的值】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为_____． 【变式4-1】已知点在直线上，也在双曲线上，则m2+n2的值为______． 【变式4-2】设函数与的图象的交点坐标为，则的值为________． 【变式4-3】直线y＝kx与双曲线y＝交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为____． 【题型5 结合反比例函数与一次函数的交点比较大小】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小：_____________． 【变式5-1】（2024·湖北十堰·二模）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)结合图象直接比较：当时，根据自变量的取值范围比较和的大小； 【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过两点． (1)当时，求的取值范围． (2)设一次函数，当时，比较与的大小． 【变式5-3】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点． (1)求k，a，m，n的值； (2)反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小． 【题型6 结合反比例函数与一次函数的图象求面积】 【例6】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，与直线和直线在第一象限内分别交于点，，连接．则的面积是____． 【变式6-1】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．若，则的面积_______． 【变式6-2】如图，直线y＝x+与双曲线y＝在第一象限内的图象交于一点A（1，1），与x负半轴交于点B．点P（m，n）是该双曲线在第一象限内图象上的一点，且P点在A点的右侧，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，连结PB．则△ABC的面积___△PBD的面积（填“＜”、“＝”或“＞”）． 【变式6-3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【题型7 结合反比例函数与一次函数的图象求k】 【例7】如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式7-1】如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，轴，垂足分别为点，．当矩形是的面积2倍时，的值为（    ）    A． B．1 C．2 D．4 【变式7-2】如图，直线经过原点，与双曲线交于、两点，轴于点，且的面积是3，则的值是______． 【变式7-3】如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线将这12个正方形分成面积相等的两部分，且与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第二象限的图象交于点C，若与的面积之比为，则k的值为 _____． 【题型8 结合反比例函数与一次函数的图象求坐标】 【例8】（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点P的坐标为____________________ ． 【变式8-1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【变式8-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在中，，点坐标为． (1)求的值； (2)求点的坐标． 【题型9 反比例函数与一次函数的图象的实际应用】 【例9】为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【变式9-2】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【变式9-3】某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______； （2）当水温为时，______； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______． 【题型10 反比例函数与一次函数关系式的实际应用】 【例10】（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【变式10-1】（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【变式10-2】通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量与市场价格之间存在下列函数关系：，且该地区这种农产品的产量与市场价格成正比例关系：．现不计其他因素影响，若需求量y等于产量z时，则称市场处于平衡状态． (1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格； (2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值． 【变式10-3】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表： 流程 变量 加热过程 水温下降过程 0 1 2 3 4 … 8 10 20 … 20 40 60 80 100 … 50 40 20 … (1)饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (3)已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 4．已知一次函数（a为常数）的图象与反比例函数的图象在第三象限交于点，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江温州·模拟预测）一次函数（b为常数）与反比例函数交于A，B两点，其中点A的坐标为，点，分别在该一次函数与反比例函数上，若，则a的值可以为（   ） A． B． C． D．1 6．（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 8．（2026·江苏宿迁·一模）若反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，且，则的值等于 _________． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，直线与一个反比例函数的图象在第一象限交于点A，点B和C都在x轴上，且是等腰直角三角形，，，则该反比例函数的表达式为________． 10．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 11．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，点P是线段上一点，连接，且，若双曲线过点P，则________． 12．（2026·浙江舟山·二模）如图，正方形的顶点A，B在坐标轴上，点A的坐标为，点B的坐标为．若经过点C的反比例函数与边交于点E，则点E的横坐标为_____． 13．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 14．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 15．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 16．（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 17．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象回答，当 时，求x的取值范围； (3)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 18．（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 19．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $