第1章 集合（思维导图+知识清单+五大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以思维导图+知识清单为基础，聚焦五大易错点，通过典例与跟踪训练系统提炼集合问题解题方法，强化概念生成与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |五大易错点|5典例+20跟踪训练|元素互异性验证、空集分类讨论、端点值取舍、系数为0分类、新定义转化|从集合概念→关系→运算→应用，构建“概念-运算-易错”三层逻辑链，培养抽象能力与推理意识|

第1章 集合（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 1.1 集合的概念与表示 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 子集、全集、补集 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 1．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 2．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【知识点7 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 1.3 交集、并集 【知识点1 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点2 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 集合的运算性质】 1．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【知识点5 区间】 1．区间的定义 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2．区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3．特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?忽略空集的情况就容易导致错误. 【注】：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误；另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围的时，要注意端点值能不能取到. 【注】：一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示. 【典例3】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪训练3.3】（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【跟踪训练3.4】（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 【易错点4 忽略最高项系数为0的情况】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合. (1)若，写出的所有子集； (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； (3)若，求． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【跟踪训练4.3】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（2025高一上·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【跟踪训练5.1】（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【跟踪训练5.2】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有 .设集合，且，且集合B是集合U的子集. (1)求集合U； (2)求实数m的取值范围. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 1.1 集合的概念与表示 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 子集、全集、补集 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 1．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 2．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【知识点7 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 1.3 交集、并集 【知识点1 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点2 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 集合的运算性质】 1．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点4 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【知识点5 区间】 1．区间的定义 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2．区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3．特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解题思路】分和讨论即可. 【解答过程】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【解答过程】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【解答过程】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得或，再分析求解集合A即可得解. 【解答过程】集合，如果， 则或，即或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，集合，符合. 综上所述，则a的取值集合为. 故选：D. 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?忽略空集的情况就容易导致错误. 【注】：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 【跟踪训练2.2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【解题思路】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【解答过程】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误；另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围的时，要注意端点值能不能取到. 【注】：一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示. 【典例3】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【解答过程】由B为A的子集， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，. 故选：C. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【解答过程】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练3.3】（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【解答过程】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 【跟踪训练3.4】（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【解答过程】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【易错点4 忽略最高项系数为0的情况】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合. (1)若，写出的所有子集； (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【解答过程】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； (3)若，求． 【答案】(1) (2)若，元素为；若，元素为 (3) 【解题思路】（1）分析可知方程无实根，且不合题意，结合判别式运算求解； （2）分析可知方程有且仅有一个实根，分和两种情况讨论即可； （3）分析可知，代入求，即可得集合，进而可得并集. 【解答过程】（1）因为集合，且是空集， 可知方程无实根，显然不合题意， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为集合，且中只有一个元素， 可知方程有且仅有一个实根， 若，则，符合题意； 若，则，解得，此时； 综上所述：若，元素为；若，元素为. （3）因为，则， 可得，解得， 则，， 可得，符合题意， 所以. 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【解答过程】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 【跟踪训练4.3】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)时，；时，. (2)且. 【解题思路】（1）考虑和且两种情况. （2）有且只有四个子集，则方程有两个根，即且. 【解答过程】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故时，；时，. （2）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即且， 即解得且. 综上且. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（2025高一上·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【解答过程】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B. 【跟踪训练5.1】（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【解答过程】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D. 【跟踪训练5.2】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【解答过程】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有 .设集合，且，且集合B是集合U的子集. (1)求集合U； (2)求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2) 【解题思路】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U. (2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围. 【解答过程】（1）因为对 任 意，有 . 且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合. 对于方程，. 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【解答过程】（1）因为，，且是“等差集”，所以至少含有三个元素， 因为，， 根据“等差集”的定义可知或或. （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然， 则存在、、，使得成立，整理得， 易知，所以，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $