2024-2025学年苏教版新高一数学暑假预习检测（一）--《第一章 集合》原卷+解析卷

2024-2025学年苏教版新高一数学暑假预习检测（一）--《第一章 集合》 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,则a=(　　) A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2 2.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中只有一个元素,则a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.0或1 D.-1 3.给定集合A,B,定义A*B={x|x=m-n,m∈A,n∈B},若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合A*B中所有元素之和为(　　) A.15 B.14 C.27 D.-14 4、已知集合, 则 ( ) A. B. C. D. 5、已知集合，且，则B可以是( ) A. B. C. D. 6、已知集合，，则中元素的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7.已知全集U,对于集合M、N,若M⊆N,则下列集合的运算结果一定是空集的是(　　) A.M∩∁UN B.(∁UM)∩N C.∁UM∩∁UN D.M∩N 8.已知集合A={x|x=3k+1,k∈N},B={y|y=4k-1,k∈N},若集合C={1,2,3,4,5,6,7,8},则(A∪B)∩C=(　　) A.{7} B.{2,4,7} C.{1,3,7} D.{1,3,4,7} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 10．设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 11．已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知集合，，若，且，则实数m所取到的值为________或________. 13、已知a为实常数，集合，集合，且，则实数a的取值范围为________. 14.若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,则m的取值范围为　　　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 16.（15分）已知集合满足：若，则. ⑴若，则中必有另外两个元素，求出这两个元素； ⑵求证：若，则； ⑶集合能否为单元集，若能，求出集合，若不能，请说明理由。 17.（15分）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 19．（17分）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版新高一数学暑假预习检测（一）--《第一章 集合》 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,则a=(　　) A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2 【答案】C　 【解析】若1-a=4,则a=-3,∴a2-a+2=14,∴A={2,4,14};若a2-a+2=4,则a=2或a=-1, 当a=2时,1-a=-1,∴A={2,-1,4},当a=-1时,不满足集合中元素的互异性.综上,a=-3或a=2. 2.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中只有一个元素,则a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.0或1 D.-1 【答案】C　 【解析】当a=0时,A=,满足题意;当a≠0时,令Δ=4-4a=0,解得a=1.综上,a=0或a=1.故选C. 3.给定集合A,B,定义A*B={x|x=m-n,m∈A,n∈B},若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合A*B中所有元素之和为(　　) A.15 B.14 C.27 D.-14 【答案】A　 【解析】由题意可知,m=4,5,6,n=1,2,3.当m=4,n=1,2,3时,m-n=3,2,1;当m=5,n=1,2,时,m-n=4,3,2; 当m=6,n=1,2,3时,m-n=5,4,3.所以A*B={1,2,3,4,5},所以集合A*B中所有元素之和为15. 4、已知集合, 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意,集合B 内元素为小于 3 的整数, 则. 故选C. 5、已知集合，且，则B可以是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查集合间的运算.，因为，依次检验，C选项符合题意. 6、已知集合，，则中元素的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】集合，，中元素的个数为4 故选：C. 7.已知全集U,对于集合M、N,若M⊆N,则下列集合的运算结果一定是空集的是(　　) A.M∩∁UN B.(∁UM)∩N C.∁UM∩∁UN D.M∩N 【答案】A　 【解析】根据题意作出Venn图,如图所示: M∩∁UN=⌀,(∁UM)∩N≠⌀,∁UM∩∁UN≠⌀,M∩N=M≠⌀.故选A. 8.已知集合A={x|x=3k+1,k∈N},B={y|y=4k-1,k∈N},若集合C={1,2,3,4,5,6,7,8},则(A∪B)∩C=(　　) A.{7} B.{2,4,7} C.{1,3,7} D.{1,3,4,7} 【答案】D　 【解析】对于集合A,当k=0时,x=1,当k=1时,x=4,当k=2时,x=7.所以A∩C={1,4,7}. 对于集合B,当k=0时,x=-1,当k=1时,x=3,当k=2时,x=7.所以B∩C={3,7},所以(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)={1,3,4,7}.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为⫋，故或或，ABC正确，D错误. 故选：ABC 10．设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【解析】因为，且，当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或，综上，或或.故选：ABD 11．已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】ACD 【解析】由，当时满足题设，若，当，则， 当，则，显然不可能有且，综上，或或. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知集合，，若，且，则实数m所取到的值为________或________. 【答案】1，2 【解析】本题考查集合的交集关系求实数的取值.，，或，即或，故实数或2. 13、已知a为实常数，集合，集合，且，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】由题意，，，故答案为： 14.若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,则m的取值范围为　　　　　　.  【答案】{m|m≤3} 【解析】当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀,满足B⊆A,若B≠⌀,且B⊆A,则 解得2≤m≤3. 综上所述,m的取值范围是{m|m≤3}. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 解：（1）时，解得符合题意；时令解得，此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素.由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意.即解得且.综上. 16.（15分）已知集合满足：若，则. ⑴若，则中必有另外两个元素，求出这两个元素； ⑵求证：若，则； ⑶集合能否为单元集，若能，求出集合，若不能，请说明理由。 解：⑴因为，所以，所以所以，所以集合中另外两个元素为. ⑵由题意知，由，得即 ⑶集合不可能为单元集.假设集合可以为单元集，则有，即 因为，所以此方程无实数解，所以，所以集合不可能为单元集. 17.（15分）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解：（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得．由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若，则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 18．（17分）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 解：（1）因为，所以，所以将代入，整理得，解得：或，当时，，所以； 当时，，所以；经检验，或都满足条件． （2）因为由可得：当时，，解得或；当时，是方程的两个相等的根，所以，所以，所以无解．当时，是方程的两个相等的根，所以，所以，所以无解．当时，是方程的两个不相等的根，所以，所以，所以无解．综上：或． 19．（17分）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 解：（1）由于，而，因此不是数域；由于，而，因此不是数域；中，都有零元：0和单位元：1；关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，，显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1；②设，则，因为都为有理数，则也都为有理数，因此；又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数，于是；当时，令， 显然都是有理数，则，于是，因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的；③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，所以集合A是一个数域. 学科网（北京）股份有限公司 $$