专题05 期末真题百练通关（118题22大常考题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末22大常考题型，118道真题覆盖几何与函数核心模块，以题载知，梯度推进，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|58题|含多边形计算、四边形性质判定、证明及动点折叠压轴题|从基础概念（内角和、性质辨析）到综合应用（证明推理、动态问题），构建“概念-计算-证明-探究”逻辑链| |函数综合|42题|涵盖一次函数基础、实际应用、几何综合及反比例函数全题型|遵循“基础概念-图象性质-综合应用-参数探究”递进，强化模型意识与运算能力| |坐标与几何|18题|包括点位置判断、坐标变换、距离计算及坐标系存在性问题|融合几何图形与坐标运算，体现数形结合思想，培养空间观念|

专题05 期末真题百练通关（118题22大常考题型） 题型1 多边形（填空必考） 题型12 几何与坐标结合题（中档题） 题型2 四边形性质辨析（选择必考） 题型13 坐标系中的存在性问题（压轴） 题型3 四边形判定定理应用（选择/填空必考） 题型14 一次函数基础概念题（选择/填空） 题型4 四边形边长、角度等计算（填空必考） 题型15 一次函数图象交点与不等式（高频考点） 题型5 四边形面积、周长计算（解答基础题） 题型16 一次函数实际应用大题（期末必考解答题） 题型6 四边形证明（期末核心大题） 题型17 一次函数几何综合（函数+坐标系+几何图形） 题型7 线段/角相等、线段平行证明（期末大题） 题型18 反比例函数基础题型（选择/填空主力） 题型8 动点 / 折叠题型（压轴小题 / 大题） 题型19 反比例函数与一次函数交点与大小比较 题型9 点的位置判断（选择 / 填空） 题型20反比例图象综合计算 题型10 坐标变换（选择 / 填空） 题型21 反比例取值范围、参数范围题 题型11 距离计算（选择 / 填空） 题型22 反比例压轴综合题 题型1 多边形（填空必考）（共3小题） 1．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 3．（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 题型2 四边形性质辨析（选择必考）（共4小题） 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）符号“”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论∶①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“”表示的推出过程正确的是（   ） A．①⇒②⇒③ B．①③② C． D．③①② 5．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．等腰梯形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等． 6．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列图形中，一定是中心对称但不一定是轴对称图形的是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形 题型3 四边形判定定理应用（选择/填空必考）（共7小题） 8．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 9．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 10．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·上海崇明·期末）下列命题，其中是假命题的是（　　） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 12．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 13．（24-25八年级下·上海松江·期末）已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 题型4 四边形边长、角度等计算（填空必考）（共9小题） 15．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 16．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则________ ． 17．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点、分别是边、的中点，点、在对角线上．如果四边形是矩形，那么的长等于_____． 18．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 19．（24-25八年级下·上海·期末）已知如图，直角梯形中，，，，，点P在上移动，则当取最小值时，中边上的高为___________ ． 20．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是_____． 21．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 22．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 23．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 题型5 四边形面积、周长计算（解答基础题）（共3小题） 24．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在直角梯形中，，．求．    25．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 26．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 题型6 四边形证明（期末核心大题）（共6小题） 27．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 28．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 29．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 30．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 31．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 32．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足为，延长至，使，连接、，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：四边形是矩形． 题型7 线段/角相等、线段平行证明（期末大题）（共4小题） 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 34．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 35．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 36．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 题型8 动点 / 折叠题型（压轴小题 / 大题）（共8小题） 37．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 38．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 39．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点落在点处，与矩形的重叠部分是，如果，那么长为_____． 40．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将沿折叠得到．联结并延长交于 (1)当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 41．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知：在中，，过点A作射线与平行（如图所示），点P从点A出发沿着射线方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线方向作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)如果点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，，当垂直平分时，求的值． 42．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，联结． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 43．（25-26八年级下·上海虹口·期中）综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 44．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 题型9 点的位置判断（选择 / 填空）（共5小题） 45．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 46．（25-26八年级下·上海宝山·期中）若点在x轴上，则_______． 47．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）若点在y轴上，则______． 48．（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 49．（25-26八年级下·上海·期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 题型10 坐标变换（选择 / 填空）（共4小题） 50．（25-26八年级下·上海崇明·期中）将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为…这样依次得到点．经过这样的变换后得到的点的坐标为，则初始点的坐标为（   ） A． B． C． D． 52．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知点与点关于x轴对称，则点在第______象限． 53．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________． 题型11 距离计算（选择 / 填空）（共3小题） 54．（25-26八年级下·上海闵行·期中）在直角坐标平面内，点的坐标是，则点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C． D． 55．（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系内有两点、，则线段_______． 56．（25-26八年级下·上海·期中）已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 题型12 几何与坐标结合题（中档题）（共3小题） 57．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 58．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 59．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 题型13 坐标系中的存在性问题（压轴）（共3小题） 60．（25-26八年级下·上海·期中）如图，平面直角坐标系中有三点、、，平移线段得到线段，点A的对应点为点C，连接． (1)点D的坐标为 ． (2)若在x轴上存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求点M的坐标． 61．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 题型14 一次函数基础概念题（选择/填空）（共10小题） 63．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 64．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 65．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 67．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知，那么___________． 68．（25-26八年级下·上海静安·期末）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 69．（24-25八年级下·上海宝山·期末）将直线向上平移5个单位后所得直线解析式为________． 70．（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． 71．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第______象限． 72．（24-25八年级下·上海静安·期末）如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果________．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 题型15 一次函数图象交点与不等式（高频考点）（共6小题） 73．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 74．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知一次函数，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 75．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知直线（）经过点，那么不等式的解集是______． 76．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________． 77．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 78．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则___________ 题型16 一次函数实际应用大题（期末必考解答题）（共5小题） 79．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的关系如图所示． (1)填空：_________； (2)求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 80．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 81．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 82．（24-25八年级下·上海虹口·期末）根据以下素材，完成任务： 制定订餐方案 素材一 某店家有两种午餐套餐，套餐价格如下表所示： 套餐类别 套 套 套餐单价 元 元 素材二 某学校八年级组织活动需要订购午餐，已知1班人数比2班多5人，如果1班全部选套，2班全部选套，那么这两个班级都花费1400元． 素材三 “六一”儿童节，店家搞促销，套餐满30份及以上打9折． 问题解决 任务一 求的值和1班的人数． 任务二 “六一”促销期间，设1班有人选择套餐，全班订餐总费用为元，当该班选择套餐人数不少于30人时，求与的函数关系式． 任务三 求“六一”促销期间1班订餐的最低总费用． 83．（24-25八年级下·上海静安·期末）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， (1)请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 (2)游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 题型17 一次函数几何综合（函数 + 坐标系 + 几何图形）（共4小题） 84．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 85．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点P的坐标为． (1)当直线l经过点P时，求点P的坐标； (2)过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，垂足为点M．当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值． 86．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 87．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型18 反比例函数基础题型（选择/填空主力）（共7小题） 88．（25-26八年级下·上海静安·期末）下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 89．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 90．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 91．（24-25八年级上·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 92．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 93．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 _____． 94．（24-25八年级上·上海·期末）反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为_____________． 题型19 反比例函数与一次函数交点与大小比较（共4小题） 95．（23-24八年级上·上海·期末）函数与图象没有交点，则b的取值范围是________． 96．（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 97．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 98．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么_________． 题型20 反比例图象综合计算（共4小题） 99．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 100．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 101．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 102．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 (1)求函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 题型21 反比例取值范围、参数范围题（共3小题） 103．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 104．（23-24八年级上·上海·期末）已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是 (1)求点A的坐标和这个一次函数解析式； (2)求出另一个交点的坐标，并根据函数图象直接写出时的范围． 105．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 题型22 反比例压轴综合题（共4小题） 106．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 107．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 108．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 109．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 1．在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，真命题的个数为（     ） ①对角线相等的四边形是矩形     ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形     ④对角线互相垂直相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 5．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，试判断的形状． 6．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 7．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 8．如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期末真题百练通关（118题22大常考题型） 题型1 多边形（填空必考） 题型12 几何与坐标结合题（中档题） 题型2 四边形性质辨析（选择必考） 题型13 坐标系中的存在性问题（压轴） 题型3 四边形判定定理应用（选择/填空必考） 题型14 一次函数基础概念题（选择/填空） 题型4 四边形边长、角度等计算（填空必考） 题型15 一次函数图象交点与不等式（高频考点） 题型5 四边形面积、周长计算（解答基础题） 题型16 一次函数实际应用大题（期末必考解答题） 题型6 四边形证明（期末核心大题） 题型17 一次函数几何综合（函数+坐标系+几何图形） 题型7 线段/角相等、线段平行证明（期末大题） 题型18 反比例函数基础题型（选择/填空主力） 题型8 动点 / 折叠题型（压轴小题 / 大题） 题型19 反比例函数与一次函数交点与大小比较 题型9 点的位置判断（选择 / 填空） 题型20反比例图象综合计算 题型10 坐标变换（选择 / 填空） 题型21 反比例取值范围、参数范围题 题型11 距离计算（选择 / 填空） 题型22 反比例压轴综合题 题型1 多边形（填空必考）（共3小题） 1．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 【答案】54 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 【答案】 【详解】设多边形边数为n， ∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故答案为：900． 3．（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 题型2 四边形性质辨析（选择必考）（共4小题） 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）符号“”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论∶①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“”表示的推出过程正确的是（   ） A．①⇒②⇒③ B．①③② C． D．③①② 【答案】C 【详解】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形； 菱形的对角线互相垂直， 而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形； 正方形拥有菱形的一切性质， 故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②； 即 故选：C． 5．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．等腰梯形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等． 【答案】D 【详解】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、菱形的对角线互相垂直且平分，不是相等，故该选项是错误的； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等．故该选项是正确的； 故选：D． 6．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 7．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列图形中，一定是中心对称但不一定是轴对称图形的是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】解：A：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故A错误； B；矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B错误； C：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故D正确 故选：D 题型3 四边形判定定理应用（选择/填空必考）（共7小题） 8．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 9．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，，但无法证明另一组对边平行或相等，可能存在等腰梯形的情况，故排除； 选项B中，，仅说明被平分，但未给出被平分的条件，无法确定四边形为平行四边形； 选项C中，且，但这两个角并非对角，无法通过边角关系直接判定为平行四边形； 选项D中，（即被O平分）；由可得（内错角相等），结合，，可证，从而，此时对角线均被O平分，满足对角线互相平分的判定条件，故四边形为平行四边形． 故选：D． 10．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ； ； A、当，则一组对边平行，另一组对边相等，此时无法判断是平行四边形；故选项不符合题意； B、， ； ， ； , 四边形一定是平行四边形； 故选项B符合题意； C、当时，则可得四边形一定是平行四边形； 但当时，四边形不可能是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则， 而，则，这与假设矛盾， 故四边形不可能是平行四边形； 故选项不符合题意； D、若， ， ； ； 由于无法知晓与或是否垂直，故无法判断与是否平行， 故选项不符合题意； 故选：B． 11．（24-25八年级下·上海崇明·期末）下列命题，其中是假命题的是（　　） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解:A．对角线相等的菱形是正方形．菱形对角线互相垂直，若对角线相等，则满足正方形的条件（既是菱形又是矩形），故A为真命题． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形判定定理，对角线垂直平分的四边形四边相等，故B为真命题． C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若有一个直角，则此平行四边形为矩形，故C为真命题． D．一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．例如，存在满足这两个条件但另一组对边不平行的四边形（如构造反例），故D为假命题． 故选：D． 12．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 【答案】D 【详解】解：A：若，四边形可能是矩形（平行四边形对角线相等），不一定是等腰梯形，故A错误； B：若，可能通过全等三角形证明边相等，但若四边形为矩形时也满足条件，故B错误； C：若且，可构造等腰梯形满足条件（如对角线垂直且，但非正方形），故C错误； D：若，说明对角线被平分，结合，证明全等，并得到，四边形为平行四边形（对角线互相平分），结合，平行四边形对角线相等则为矩形，故D正确； 故选：D． 13．（24-25八年级下·上海松江·期末）已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，矩形对角线互相平分，必然成立，无法判定正方形，故不符合题意； B、，矩形对角线相等且平分，故，此条件恒成立，无法判定正方形，故不符合题意； C、，说明对角线与垂直，矩形对角线若垂直则为正方形，符合判定条件，故符合题意； D、，矩形对角线本相等，此条件恒成立，无法判定正方形，故不符合题意； 故选：C． 14．（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【详解】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 题型4 四边形边长、角度等计算（填空必考）（共9小题） 15．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 16．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则________ ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点、分别是边、的中点，点、在对角线上．如果四边形是矩形，那么的长等于_____． 【答案】 【详解】解：连接，，，设交于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【答案】2 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·上海·期末）已知如图，直角梯形中，，，，，点P在上移动，则当取最小值时，中边上的高为___________ ． 【答案】 【详解】解：过点D作于E， ，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 延长到，使得，连接交于P，此时最小， ， ， ， ， ， 在中，由面积公式可得中边上的高． 故答案为：． 20．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵点E、F分别是边、边的中点，，， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，且与互相平分， 同理可得：四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵四边形为菱形，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，把绕点顺时针旋转使得与重合，得到，连接．连接，则， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 根据旋转， ， ∴， ，，在一条直线上， ， 在与中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ∵在正方形中，， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 题型5 四边形面积、周长计算（解答基础题）（共3小题） 24．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在直角梯形中，，．求．    【答案】 【详解】解：过点A作于E，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴， ∴． 25．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵E是的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵E是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 【详解】（1）解：菱形即为所作； （2）解：∵， ∴菱形的面积为， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的高为， 故答案为：，． 题型6 四边形证明（期末核心大题）（共6小题） 27．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 28．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 29．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 30．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是的中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足为，延长至，使，连接、，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵在梯形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵在梯形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 题型7 线段/角相等、线段平行证明（期末大题）（共4小题） 33．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 【详解】证明：连接，作于， 在正方形中， ，， ， 四边形是正方形． 由， 在中， ， 在正方形中， ． 34．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：矩形， ∴，． ∴， ∵沿直线翻折 ． ． ， ∴． ∵， ∴， ∴． ． ． 在中，． 在中，． 又， ， ． ． （2）证明：如图： 沿直线翻折， ． ， ， ， ，， ， ∴． ． 又． ． ， ，． 又， ． ， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形是矩形． 35．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，                         ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 36．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 题型8 动点 / 折叠题型（压轴小题 / 大题）（共8小题） 37．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 【答案】或6 【详解】解：矩形中，，，， ， 由折叠性质可得，，， ，， 分两种情况：①当时，如图， 则，所以点B、、D三点共线， ∴ ∴， 设，， 中，， 即， 解得， ． ②当时 ， 则， ∴四边形是正方形， ∴． 综上，线段的长为3或6． 38．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 【答案】或． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点M，延长交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E恰好在的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则， 由折叠的性质得：， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴或， 故答案为：或． 39．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点落在点处，与矩形的重叠部分是，如果，那么长为_____． 【答案】4或 【详解】解：如图，时，交与点F， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质知：； ， ，， ； 如图：时，交与点F， ，，， ； ， ， ， ， ， 故答案为：4或． 40．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将沿折叠得到．联结并延长交于 (1)当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵正方形的边长为6， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， 即． （2）解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴， 在中，，即， 整理得：， ∵点是边长为6的正方形的边上的一点， ∴， 综上，关于的函数解析式为，函数的定义域为． 41．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知：在中，，过点A作射线与平行（如图所示），点P从点A出发沿着射线方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线方向作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)如果点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，，当垂直平分时，求的值． 【答案】(1)3秒 (2) 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 当点Q在上时，此时，四边形是平行四边形， 故， ， 解得（秒）； （2）解：根据题意，得点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，设运动时间为t秒，故，，设垂直平分时，交点为G，如图所示，连接，根据题意，得，， 故，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 故． 42．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，联结． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 43．（25-26八年级下·上海虹口·期中）综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， 由折叠可知：是的垂直平分线， ∴，； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线； （3）证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵点E为的中点， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 44．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型9 点的位置判断（选择 / 填空）（共5小题） 45．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的坐标为， ∴横坐标，纵坐标， 四个象限的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， ∴点符合第二象限点的坐标特征，点在第二象限． 46．（25-26八年级下·上海宝山·期中）若点在x轴上，则_______． 【答案】 【详解】解： 轴上的点的纵坐标为，点在轴上． 解得 ． 47．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）若点在y轴上，则______． 【答案】1 【详解】解：∵点在y轴上 ∴点A的横坐标为0，即 解得． 48．（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 【答案】 【详解】∵点在第二象限， , ∴解得：． 49．（25-26八年级下·上海·期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴. 题型10 坐标变换（选择 / 填空）（共4小题） 50．（25-26八年级下·上海崇明·期中）将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将向右平移3个单位长度后得到点B， ∴ 点的坐标为，即. 51．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为…这样依次得到点．经过这样的变换后得到的点的坐标为，则初始点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点的伴随点为 ，设， ∴按定义依次计算得： ， ， ， ， ∴点的坐标每4个为一个周期循环， ∵，刚好整除， ∴， ∵的坐标为， ∴可得方程组：， 解得， ∴的坐标为． 52．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知点与点关于x轴对称，则点在第______象限． 【答案】三 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴点的坐标为． ∴点在第三象限． 53．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ∴， ∴． 题型11 距离计算（选择 / 填空）（共3小题） 54．（25-26八年级下·上海闵行·期中）在直角坐标平面内，点的坐标是，则点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点的坐标为，直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为． 55．（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系内有两点、，则线段_______． 【答案】 【详解】解：∵、， ∴． 56．（25-26八年级下·上海·期中）已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【详解】解：，，， 可得， 即， 因此是等腰三角形． 题型12 几何与坐标结合题（中档题）（共3小题） 57．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 58．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 59．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：延长至点， ∵菱形， ∴， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴． 题型13 坐标系中的存在性问题（压轴）（共3小题） 60．（25-26八年级下·上海·期中）如图，平面直角坐标系中有三点、、，平移线段得到线段，点A的对应点为点C，连接． (1)点D的坐标为 ． (2)若在x轴上存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）解：∵点、、，平移线段得到线段 ∴点向右平移了2个单位，向上平移了3个单位， ∴点向右平移2个单位，向上平移了3个单位后得到点，即； （2）解：∵， ∴ 设， 则当时，即，则， 解得， ∴或； 当时，即，则， 解得， ∴ 综上：点的坐标为或或． 61．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)存在，点E坐标为或 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 62．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为． （2）解：，关于点对称， ，，点的坐标为， 设点的坐标为， 与关于点对称， ，， 解得，， 点的坐标为． （3）解：如图，当， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 点的横坐标为； 如图，当， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 点的横坐标为； 如图，当为对角线， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 设点的横坐标为， ， 解得，即点的横坐标为， 综上，点的横坐标为，，． 题型14 一次函数基础概念题（选择/填空）（共10小题） 63．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； B．不是整式，故该选项错误，不符合题意； C．a的指数是2，不属于正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D．是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 64．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不符合一次函数定义，排除； B、中的次数为，不符合一次函数定义，排除； C、中，，，满足一次函数定义，是一次函数； D、未规定，若则不是一次函数，不符合要求，排除． 65．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 故选：C． 66．（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 【答案】C 【详解】由图象可得，甲车的平均速度为，故A正确； 乙车的平均速度为，故B正确； 根据题意得， 解得， ∴在甲车出发2.5小时后两车相遇，故C错误； 由图象可得，乙比甲车先到达地，故D正确； 故选：C． 67．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知，那么___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 68．（25-26八年级下·上海静安·期末）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 【答案】 【详解】解：，满足，因此选用解析式， 将代入，． 69．（24-25八年级下·上海宝山·期末）将直线向上平移5个单位后所得直线解析式为________． 【答案】 【详解】解：由题意，直线向上平移5个单位， 结合“上加下减，左加右减”的平移规律，可得平移后的直线解析式为， 故答案为：． 70．（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． 【答案】第四象限 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，即 ， 解得， 对于一次函数 ， ∵， ∴ ，且， 根据一次函数性质， 当一次项系数大于，常数项大于时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． 71．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第______象限． 【答案】二、四 【详解】解：正比例函数的值随值的增大而减小， ， 该函数图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四 72．（24-25八年级下·上海静安·期末）如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果________．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 【答案】 【详解】解：， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：． 题型15 一次函数图象交点与不等式（高频考点）（共6小题） 73．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 74．（24-25八年级下·上海长宁·期末）已知一次函数，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时， 解得 故选：B． 75．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知直线（）经过点，那么不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：∵直线（）， ∴随的增大而增大， ∵直线（）经过点， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 76．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________． 【答案】 【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 77．（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 78．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则___________ 【答案】2或 【详解】如图所示， ∵直线与直线具有“和谐关系” ∴， ∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴当时， ∴ ∴ 联立直线与直线得 解得 ∴点A的横坐标为 ∵这两条直线与轴围成的三角形面积为 ∴ ∴，即 代入得， 解得或 故答案为：2或． 题型16 一次函数实际应用大题（期末必考解答题）（共5小题） 79．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的关系如图所示． (1)填空：_________； (2)求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设， 将代入得：，解得 80．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【答案】(1)270千米 (2) (3)2.1小时或2.7小时 【详解】（1）解：由图象可得， 货车的速度为（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）解：设线段对应的函数表达式是， ∵点，点， ∴， 解得， 即线段对应的函数表达式是； （3）解：当时，两车之间的距离为：， ∵， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得或， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 81．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 【答案】(1)①②不一致，160 (2)该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为 【详解】（1）解：①假设函数解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴函数解析式为； ②不一致，理由如下： 当函数值为0时， ， 解得， ， ， ， 所以，液体A的实际流速是否与设定流速不一致， 假设液体A的实际流速为，设定流速为，， 将代入上式得，， 解得， ∴ 当时，代入得， ， ， 所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升/小时； （2）解：假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为， 根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 所以，该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为． 82．（24-25八年级下·上海虹口·期末）根据以下素材，完成任务： 制定订餐方案 素材一 某店家有两种午餐套餐，套餐价格如下表所示： 套餐类别 套 套 套餐单价 元 元 素材二 某学校八年级组织活动需要订购午餐，已知1班人数比2班多5人，如果1班全部选套，2班全部选套，那么这两个班级都花费1400元． 素材三 “六一”儿童节，店家搞促销，套餐满30份及以上打9折． 问题解决 任务一 求的值和1班的人数． 任务二 “六一”促销期间，设1班有人选择套餐，全班订餐总费用为元，当该班选择套餐人数不少于30人时，求与的函数关系式． 任务三 求“六一”促销期间1班订餐的最低总费用． 【答案】任务一：a的值为35，1班的人数是40人； 任务二：； 任务三：“六一”促销期间1班订餐的最低总费用为1260元． 【详解】解：任务一：设1班的人数为x人，则2班的人数为人， ∵1班全部选A套，2班全部选B套，这两个班级都花费1400元， ∴， 由②得：③， 把①代入③整理得：④， 把④代入①得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴a的值为35，1班的人数是40人； 任务二：根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； 任务三：在中，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最小值， ∴“六一”促销期间1班订餐的最低总费用为1260元． 83．（24-25八年级下·上海静安·期末）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， (1)请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 (2)游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 【答案】(1)，， (2)当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租 【详解】（1）解∶ 时 设， 把，代入，得， 解得， ∴； 当时，； 当时， 设设， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：非高峰时段地铁出行：分钟分钟 高峰时段7~10时，当地铁出行的时间与出租车的时间相等时， 则， 解得， 综上，当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租． 题型17 一次函数几何综合（函数 + 坐标系 + 几何图形）（共4小题） 84．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：与关于原点对称， ， 过点， ， ， ， ∵点C的坐标为，直线轴， 当时，， ， ， ． （2）解：过点作轴，垂足为，则是在边上的高，， ∴， ， ， ∴在轴上存在两个点满足条件， 即：或． 85．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点P的坐标为． (1)当直线l经过点P时，求点P的坐标； (2)过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，垂足为点M．当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值． 【答案】(1)P的坐标为 (2)或6 【详解】（1）解：将点将代入解析式得：， 解得：k， ∴直线l的表达式为：； 将点代入解析式得：， 解得：， ∴P的坐标为； （2）解：如图： ∵轴， ∴， ∴ ∵点Q在直线l上， ∴将代入， 则 解得：， ∴ 当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时， 则， ∴ 解得：或． 86．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，在，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：直线，点在直线上，点的横坐标为， ，即， ， 当时，则，解得，即， 四边形是正方形， ， , 设直线的表达式为， 将、代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：在，理由如下： 由（1）知，直线的表达式为， 当点在射线上运动时，设点的横坐标为， ， 则， 四边形是正方形， ，则, 将代入，得， 即此时，在（1）中的直线上； （3）解：如图所示： 由（2）知，， 根据题意，分两种情况： 当时， 直线， 当时，，即， 设直线，将代入得， 直线， 当时，则，解得， ， 如果四边形是等腰梯形，则， ，即， 解得或， 当时，、， 、， 四边形是平行四边形（舍去）； 当时，、， 、， 四边形是等腰梯形，此时； 当时，则点与点重合， 如果四边形是等腰梯形，则， 过点作轴，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ； 综上，点的坐标为或． 87．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点坐标为 (2)点 (3)或或或 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． ∴， ∴； 令则， 解得， ∴点坐标为 （2）解：依题意，设点坐标为, 的面积为6, , ∴， ∴， 即或， 或， 点是线段上的点， , 点； （3）解：存在，过程如下： 在（2）条件下，点是直线上的点， ∴设 ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 整理得 ∴ 即点的坐标为 ∵四边形是菱形 ∴ 即， ∴， ∴， 整理得， ， ∴点的坐标为； ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴（舍去） ∴ 此时； ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴， 当时，则，， 即， 当时，则， 即； 综上：或或或 题型18 反比例函数基础题型（选择/填空主力）（共7小题） 88．（25-26八年级下·上海静安·期末）下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【答案】D 【详解】解：A、根据题意，得，所以圆的面积与半径的关系是二次函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，所以矩形的长与宽的关系是反比例函数关系，故本选项正确． 89．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为， 选项A：，为一次函数，不符合； 选项B：，为正比例函数，不符合； 选项C：，为y与成反比，不符合； 选项D：，符合形式，其中； 故选：D． 90．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 91．（24-25八年级上·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴，则， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 92．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 93．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 _____． 【答案】4 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数都经过点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 94．（24-25八年级上·上海·期末）反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为_____________． 【答案】 【详解】解：设点P的坐标为（，）， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为：． 题型19 反比例函数与一次函数交点与大小比较（共4小题） 95．（23-24八年级上·上海·期末）函数与图象没有交点，则b的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：的图象是过原点且在第一、三象限的一条直线，要使与它无交点，则的图象只能在第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 96．（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：反比例函数中，，在时，y随x增大而减小． ∵点的横坐标满足， ∴． 故答案为：． 97．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵函数， ∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 98．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么_________． 【答案】5 【详解】解：对于一次函数， 当时，则， 解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：5． 题型20 反比例图象综合计算（共4小题） 99．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】 【详解】解：将代入得， ∴点A坐标为． 将代入得， ∴反比例函数解析式为． 100．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 101．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 102．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 (1)求函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，则， ∵， ∴； 当时，设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 题型21 反比例取值范围、参数范围题（共3小题） 103．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)该一次函数的解析式为； 【详解】（1）解：所求的点在这个一次函数的图象上且位于轴上方， ， 解得， 即所有点的横坐标的取值范围是； （2）解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 104．（23-24八年级上·上海·期末）已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是 (1)求点A的坐标和这个一次函数解析式； (2)求出另一个交点的坐标，并根据函数图象直接写出时的范围． 【答案】(1)，； (2)，或． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数 的图象上， 点的坐标为， 代入一次函数得 ∴一次函数的解析式为：． （2）解：由题意得， 解得 ∴另一交点的坐标为：， ∴由图象可知：的取值范围为或． 105．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 题型22 反比例压轴综合题（共4小题） 106．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【答案】(1) (2) (3)直线l的表达式为或 【详解】（1）解：，，， ； ； 设直线解析式为， 把两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线解析式为； （2）解：， ； 由于M、N两点在双曲线上， 当时，；当时，； 即； 直线向下平移m个单位后的解析式为， 点M、N在直线上， ， 解得：， 所以m的取值范围为； （3）解：设直线l解析式为，其中n为正数， 设点P的坐标为， 由勾股定理得：，； 为等边三角形， ， ， 由，整理得：， 把它代入中，整理得：， 解得：， 则， 所以直线l的表达式为或． 107．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 【答案】(1)①这两个函数的特征数为4；② (2) 【详解】（1）解：①， ， ， 则， 解得：（负值舍去），， 这两个函数的特征数为4； ②由①可知反比例函数解析式为，正比例函数解析式为， 设，则， ， ， 整理得， （负值舍去）， ； （2）解：如图，设落点为，过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ，， 点绕点顺时针旋转落在处， ，， ， ， ，， ， 点在上， ， ， 点和点均在上， ，， 将代入得，（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 108．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （3）解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 109．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 1．在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ∴，， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 2．下列命题中，真命题的个数为（     ） ①对角线相等的四边形是矩形     ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形     ④对角线互相垂直相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形，故①是假命题； ②根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故②是真命题； ③根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③是真命题； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直相等的四边形不是正方形，故④是假命题； ∴真命题的个数为2个． 3．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 5．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，试判断的形状． 【答案】是等腰直角三角形 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是等腰直角三角形． 6．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵、分别是边、中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵点是边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 7．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 8．如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点A的纵坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是长方形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $