第一章 集合与常用逻辑用语（思维导图+知识清单+七大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以思维导图、知识清单及七大易错点为核心，构建集合与常用逻辑用语完整知识链，聚焦概念生成-关系推导-运算应用逻辑，通过典例与跟踪训练强化易错点突破，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合概念、关系、运算、逻辑用语|知识点解析+7易错点（1典例+4跟踪训练）|元素特性应用、子集空集处理、交并补运算技巧、条件判定（定义/集合法）、量词否定方法、易错点规避|概念（元素-集合）→关系（子集-相等）→运算（交并补）→逻辑用语（命题-条件-量词），形成递进式知识链|

第一章 集合与常用逻辑用语（思维导图+知识清单+七大易错点总结） 【人教A版】 1.1 集合的概念 【知识点1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 集合间的基本关系 【知识点1 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点2 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识点3 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 1.3 集合的基本运算 【知识点1 并集、交集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点2 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 1.4 充分条件与必要条件 【知识点1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识点2 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【知识点3 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 2．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 1.5 全称量词与存在量词 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点3 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解题思路】分和讨论即可. 【解答过程】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【解答过程】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【解答过程】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得或，再分析求解集合A即可得解. 【解答过程】集合，如果， 则或，即或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，集合，符合. 综上所述，则a的取值集合为. 故选：D. 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?忽略空集的情况就容易导致错误. 【注】：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 【跟踪训练2.2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【解题思路】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【解答过程】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误；另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围的时，要注意端点值能不能取到. 【注】：一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示. 【典例3】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【解答过程】由B为A的子集， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，. 故选：C. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【解答过程】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练3.3】（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【解答过程】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 【跟踪训练3.4】（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【解答过程】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【易错点4 忽略最高项系数为0的情况】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合. (1)若，写出的所有子集； (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【解答过程】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； (3)若，求． 【答案】(1) (2)若，元素为；若，元素为 (3) 【解题思路】（1）分析可知方程无实根，且不合题意，结合判别式运算求解； （2）分析可知方程有且仅有一个实根，分和两种情况讨论即可； （3）分析可知，代入求，即可得集合，进而可得并集. 【解答过程】（1）因为集合，且是空集， 可知方程无实根，显然不合题意， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为集合，且中只有一个元素， 可知方程有且仅有一个实根， 若，则，符合题意； 若，则，解得，此时； 综上所述：若，元素为；若，元素为. （3）因为，则， 可得，解得， 则，， 可得，符合题意， 所以. 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【解答过程】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 【跟踪训练4.3】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)时，；时，. (2)且. 【解题思路】（1）考虑和且两种情况. （2）有且只有四个子集，则方程有两个根，即且. 【解答过程】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故时，；时，. （2）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即且， 即解得且. 综上且. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（2025高一上·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【解答过程】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B. 【跟踪训练5.1】（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【解答过程】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D. 【跟踪训练5.2】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【解答过程】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有 .设集合，且，且集合B是集合U的子集. (1)求集合U； (2)求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2) 【解题思路】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U. (2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围. 【解答过程】（1）因为对 任 意，有 . 且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合. 对于方程，. 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【解答过程】（1）因为，，且是“等差集”，所以至少含有三个元素， 因为，， 根据“等差集”的定义可知或或. （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然， 则存在、、，使得成立，整理得， 易知，所以，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【易错点6 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【注】：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 【典例6】（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【解答过程】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 【跟踪训练6.1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【解答过程】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D. 【跟踪训练6.2】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【解答过程】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 【易错点7 命题的否定出错】 易错点分析：没有掌握对全称量词命题、存在量词命题否定的步骤，对命题进行否定需要两个关键步骤：①改变量词；②否定结论；这二者缺一不可，不然会导致错误. 【注】：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【典例7】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解答过程】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项. 【解题思路】命题：“，”为存在量词命题， 故其否定为：，， 故选：B. 【跟踪训练7.1】（25-26高一上·湖南·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到答案. 【解答过程】命题“”的否定是“”， 故选：B. 【跟踪训练7.2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）命题“，使得”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【解答过程】命题“，使得”的否定是“，使得”. 故选：C. 【跟踪训练7.3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．, B． C．, D．, 【答案】B 【解题思路】根据特称命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【解答过程】命题“，”的否定为“”. 故选：B. 【跟踪训练7.4】（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【解答过程】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（思维导图+知识清单+七大易错点总结） 【人教A版】 1.1 集合的概念 【知识点1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 1.2 集合间的基本关系 【知识点1 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识点2 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识点3 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 1.3 集合的基本运算 【知识点1 并集、交集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点2 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 1.4 充分条件与必要条件 【知识点1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识点2 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【知识点3 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 2．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 1.5 全称量词与存在量词 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点3 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略互异性】 易错点分析：集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【典例1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【易错点2 忽略空集的情况】 易错点分析：当A∩B=∅时，你是否注意到“特殊”情况：A=∅或B=∅；同样当A⊆B时，你是否忘记A=∅的情形?忽略空集的情况就容易导致错误. 【注】：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【典例2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【易错点3 忽略集合中端点值的取舍】 易错点分析：对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴来分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，要注意验证端点值，做到准确无误；另一方面，利用集合间的关系、集合的基本运算求解参数的取值范围的时，要注意端点值能不能取到. 【注】：一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示. 【典例3】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪训练3.3】（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【跟踪训练3.4】（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围. 【易错点4 忽略最高项系数为0的情况】 易错点分析：对于最高项的系数是未知数的一元二次方程或不等式，最高项的系数是否为0将直接影响该方程或不等式的求解方式，进而影响结果，因此必须要进行分类讨论. 【典例4】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合. (1)若，写出的所有子集； (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； (3)若，求． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【跟踪训练4.3】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【易错点5 对集合新定义理解有误】 易错点分析：对于以集合知识为背景的新定义、创新型试题，因为对题干信息的新定义或背景的理解不全面、不深刻，不能很好的将题目信息转化为数学信息，造成解题失误或思路受阻. 【典例5】（2025高一上·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【跟踪训练5.1】（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【跟踪训练5.2】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有 .设集合，且，且集合B是集合U的子集. (1)求集合U； (2)求实数m的取值范围. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【易错点6 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【注】：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 【典例6】（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.2】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【易错点7 命题的否定出错】 易错点分析：没有掌握对全称量词命题、存在量词命题否定的步骤，对命题进行否定需要两个关键步骤：①改变量词；②否定结论；这二者缺一不可，不然会导致错误. 【注】：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【典例7】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练7.1】（25-26高一上·湖南·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练7.2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）命题“，使得”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【跟踪训练7.3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．, B． C．, D．, 【跟踪训练7.4】（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $