小专题01：集合中含参问题—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 专题讲解 一、相关知识 1．已知集合间的关系求参数①若集合中的元素是一一列举的，可转化为解方程（组）求解，并注意集合中 元素的互异性； ②若集合利用不等式的解集表示，可借助数轴来求解，用数轴表示两个集合（分清实心点与空心点），确 定两个集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式（组），最后求解． ③已知 A B ，在未指明集合 A非空时，应分 A   和 A  两种情况来讨论． 2．已知集合的运算结果求参数 ①若已知两个集合的运算结果，一般将集合中的运算结果转化为两个集合之间的关系（例如，在集合的并 集、交集运算中，常将 A B A 和 A B B 转化为B A 来考虑．） 二、解题步骤 第一步：求集合最简形式——对题目给出集合化至最简形式，并观察参数 第二步：用适合的图像表示——通过绘制数轴，Venn图等方式分析题目有关参数的条件 第三步：列式或方程求解——根据已知条件的分析，列出关于参数的方程(组）或不等式(组) 第四步：解出参数范围——对已设出方程（组）或不等式（组）进行计算，得到参数范围 【注意】 ① 分类讨论需做到不重不漏，要将所求得的参数带入集合进行检验； ② 考虑解集是否可能为空集，二次项系数是否为 0； ③ 检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，集合是否满足元素的互异性； ④ 不等式的等号能否取到；含参集合是否为空集； ⑤ 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；千万不要忘记考虑空集。 【典例讲解】已知集合 {2,0, 1}, { 1}M N x x a    ∣ .若M N 的真子集个数是 3，则实数 a的取值范围 是 . 【答案】 1 0a   【套用解题步骤】 第一步：对题目所给集合进行化简，并转化为最简形式 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - ∴  { 1} 1 1N x x a x a x a       ∣ ∣ 第二步：分析题目所给参数条件，并转化为数轴表示 ∵M N 的真子集个数是 3 ∴共有 2个元素，分  1,0M N   和  0,2M N  两种情况. 即 或 两种情况 第三步：分析数轴及题目已知条件，设出不等式组 若  1,0M N   ，则有 1 1 0 1 2 a a        ①， 1 0a   ； 若  0,2M N  ，则有 1 1 0 1 2 a a        ②，无解. 第四步：计算已列出不等式组，解出参数范围 ∵由①可得， 1 0a   ； 由②可得，无解 ∴ 1 0a   综上所述，实数 a的取值范围是 1 0a   . 故答案为： 1 0a   . 模块二 题型讲解举一反三 题型 1：根据元素与集合的关系求参数 【例 1】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若  23 3, 2 1, 1a a a     ，则 a的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式 1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若  21 ,x x ，则 x （ ） A．1 B． 1 C．0或 1 D．0或 1或 1 【变式 2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若 22 {1,3, }a a  ， a的值为 . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 【变式 3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合 { }21, 2, 4mM m+= + ，且5 M ，则m的值 为 . 题型 2：根据集合中元素的个数求参数 【例 2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合  2R 2 1 0A x ax x     中只有一个元素，则a  . 【变式 1】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合  2| 2 2 0A x ax x    中只有一个元素，则 a （ ） A．0 B．1 C． 10 2 或 D．0 1或 【变式 2】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合 2{ | 2 0, R}A x x x m m     中有且只有一个元素， 则m值的集合是（ ） A．{ }1 B．{0} C．{4} D．{1} 【变式 3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合  2 4 1 0,A x ax x a    R∣ 只有一个元素，则 a的取 值集合为 . 题型 3：根据集合的相等关系求参数 【例 3】已知集合  2,9A  ，  2 ,2B m ．若 A B ，则实数 m的值为（ ） A．3 B．2 C． 2 D． 3 【变式 1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合  1, ,A a b ，  2 , ,B a a ab ，若 A B ，则 2025 2025a b （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 【变式 2】（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）设 ,a bR ，集合    1, , 1,A a B b    ，若 A B ，则a b  （ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - A． 2 B． 1 C．0 D．2 【变式 3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合  20, 4,A a ，  0,4,3 2B a  ，若 A B ，则 a的值 是（ ） A．1或 2 B． 1 或 0 C．1 D． 1 题型 4：根据集合间的包含关系求参数 【例 4】已知集合 { |1 2}A x x   ， { |1 }B x x m   ，若 B A ，则实数m的取值范围是（ ） A． (2, ) B． (1, 2] C． ( , 2] D．[2, ) 【变式 1】已知集合    21,4,2 3 , 1,M x N x   ，若 N M ，则实数 x组成的集合为（ ） A． 3 B． 2,2 C． 2,3,2 D． 2,3,1,2 【变式 2】(多选)已知集合  1,1M   ，  1N x mx  ，且 N M ，则实数m的值可以为（ ） A． 2 B． 1 C．0 D．1 【变式 3】已知集合 { 3 2}A x x   ∣ ， { 2 1B x k x  ∣ 2 1}k  ，且 B A ，求实数 k的取值范围． 题型 5：根据集合运算的结果求参数 【例 5】（2025·湖南长沙·一模）已知集合    2 21,0, 2, , 3A m B x x    Z∣ ，若  1,0,1A B   ，则m （ ） A．1 B． 1 C． 1 D．0 【例 6】（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合  2 2 0A x x x   ∣ ，集合  1,B a ．若  2,1,2A B   ， 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 则实数 a的值为（ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 【变式 1】6．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合    1 ,A B x x a  ∣ ，若 A B B ，则实数 a 的取值范围是 . 【变式 2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合    4 5 2| 1 1|, ,A x x B x m x m         若 A B A ， 则实数m的取值范围是 . 【变式 3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集U  R ，集合  3 1 7A x x   ，  | 2 3B x a x a    ． （1）当 1a  时，求 A B ，  U AB ð ； （2）若 A B B ，求实数 a的取值范围． 模块三 知识检测 1．已知集合  2 4A x x    ，  2 5B x x    ，若 a A ，且 a B ，则 a的取值范围是（ ） A． 2 4x x   B． 4 5x x  C． 4 5x x  D． 4 5x x  2．（24-25高二下·河北·期末）已知集合  2 10A x x    ，非空集合  1 1B y m y m     ，若 B A ， 则实数m的取值范围为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - A． 3m  B． 3m  C．0 3m  D．0 3m  3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合  0,1,2A  ，  0,1,2B a ，若 A B ，则 a （ ） A． 1 或 2 B． 1 或 1 C． 1 D．1 4．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合 { 1 3}, [ ,3 ]M x x N m m    ∣ .若M N  ，则 m的取 值范围是（ ） A． 11, 3     B．  0,3 C． 1, [0,3] 3       D．[ 1,3] 5．（24-25 高一上·广东河源·阶段练习）已知集合  2 2 2 0A x mx x    中有且仅有1个元素，则实数m的 取值为 ． 6．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合  20, , 5 4A m m m   ，且 4 A ，则实数 m的值为 ． 7．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）若 1 11, , 0, ,ba b a a            ，则b a  ． 8．已知mR，集合  3 1A x m x m    中的元素恰有 2个整数，则m的取值范围是 . 9．已知集合  2 12 0|A x x ax b    和  2 0|B x x ax b    ，满足    2A B R ð ，    4A B R ð ，则实 数a  ． 10．已知集合A中的元素 x满足 2 3 1 0ax x   ， Ra . (1)若1 A ，求实数 a的值； (2)若A为单元素集合，求实数 a的值； (3)若A为双元素集合，求实数 a的取值范围. 11．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合  2 1 0, ,A x ax bx a b     R R . (1)当 2a  时，A中只有一个元素，求b的值； (2)当 2b  时，A中至多有一个元素，求 a的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合  2 2 0,A x x x a x    R∣ ，集合  2 3 2 0B x x x   ∣ ，若 A B ，求实数 a的取值范围． 13．已知    2 5 , 1 2 1M x x N x a x a        ． (1)若M N ，求实数 a的取值范围； (2)若M N ，求实数 a的取值范围． 14．已知集合  9,13A  ，  1,2 1B m m   ． (1)若 A B ，求实数m的取值范围； (2)若A ⫋ B，求实数m的取值范围． 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知 2 21 { 2, ( 1) , 3 3}a a a a     ，求实数 a的值； （2）已知 2{2, , } {2 ,2, }a b a b ，求实数 a，b的值. 16．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合 { | 4 3 2 11}A x x     ，  3B x x   或 1}x  ， 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - { | 2 4 }C x a x a    . (1)求  A BR ð ； (2)若 R ( )C A B  ð ，求实数 a的取值范围. 17．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集  2N 10U x x   ，集合  A x U x  是奇数 ，  2,3B  ． (1)求 A B ； (2)若集合 A B C U  ，    1A B C   ，求C． 18．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）已知集合 { 3 0}, { 1 1 }A x x B x m x m        ∣ ∣ . (1)若  A B R ð ，求实数m的取值范围； (2)若集合 A B 中仅有一个整数元素，求 A B . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 19．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合  2 7A x x    ，  3 2B x a x a    . (1)若  4 7A B x x    ，求 a的值； (2)若 R RA B ð ，求实数 a的取值范围. 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合  1 2 3A x a x a     ，  7 4B x x    . (1)若 2a  ，求 A B ； (2)若  RA B A ð ，求实数 a的取值范围. 暑假优学 人教A版 必修第一册 小专题01：集合中含参问题 目录 模块一：专题解决 模块二：题型讲解举一反三 题型1：根据元素与集合的关系求参数 题型2：根据集合中元素的个数求参数 题型3：根据集合的相等关系求参数 题型4：根据集合间的包含关系求参数 题型5：根据集合运算的结果求参数 模块四：过关检测 模块一 专题讲解 一、相关知识 1．已知集合间的关系求参数①若集合中的元素是一一列举的，可转化为解方程（组）求解，并注意集合中元素的互异性； ②若集合利用不等式的解集表示，可借助数轴来求解，用数轴表示两个集合（分清实心点与空心点），确定两个集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式（组），最后求解． ③已知，在未指明集合A非空时，应分和两种情况来讨论． 2．已知集合的运算结果求参数 ①若已知两个集合的运算结果，一般将集合中的运算结果转化为两个集合之间的关系（例如，在集合的并集、交集运算中，常将和转化为来考虑．） 二、解题步骤 第一步：求集合最简形式——对题目给出集合化至最简形式，并观察参数 第二步：用适合的图像表示——通过绘制数轴，Venn图等方式分析题目有关参数的条件 第三步：列式或方程求解——根据已知条件的分析，列出关于参数的方程(组）或不等式(组) 第四步：解出参数范围——对已设出方程（组）或不等式（组）进行计算，得到参数范围 【注意】 ① 分类讨论需做到不重不漏，要将所求得的参数带入集合进行检验； ② 考虑解集是否可能为空集，二次项系数是否为0； ③ 检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，集合是否满足元素的互异性； ④ 不等式的等号能否取到；含参集合是否为空集； ⑤ 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；千万不要忘记考虑空集。 【典例讲解】已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【套用解题步骤】 第一步：对题目所给集合进行化简，并转化为最简形式 ∴ 第二步：分析题目所给参数条件，并转化为数轴表示 ∵的真子集个数是3 ∴共有2个元素，分和两种情况. 即 或两种情况 第三步：分析数轴及题目已知条件，设出不等式组 若，则有①，； 若，则有②，无解. 第四步：计算已列出不等式组，解出参数范围 ∵由①可得，； 由②可得，无解 ∴ 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 模块二 题型讲解举一反三 题型1：根据元素与集合的关系求参数 【例1】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 【变式1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】根据集合元素的确定性和互异性可求的值. 【详解】因为，故或，且， 故， 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 【变式3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 【答案】或 【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证. 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，符合题意. 当时，，符合题意， 当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合. 综上得或. 故答案为：或. 题型2：根据集合中元素的个数求参数 【例2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 【变式1】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 题型3：根据集合的相等关系求参数 【例3】已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 【变式2】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 题型4：根据集合间的包含关系求参数 【例4】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 【变式1】已知集合，若，则实数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集的定义以及集合中元素的互异性即可求得结果. 【详解】集合， 则当时，解得或，满足题意， 当时，解得或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 故实数组成的集合为． 故选：C． 【变式2】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 【变式3】已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 题型5：根据集合运算的结果求参数 【例5】（2025·湖南长沙·一模）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】先求得集合，再根据交集定义列式计算即可. 【详解】集合，因此. 故选：C. 【例6】（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 【变式1】6．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 模块三 知识检测 1．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，且，则，即. 2．（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 4．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列式运算得解. 【详解】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ． 【答案】或 【分析】根据条件，将问题转化成方程有1个实数根，即可求解. 【详解】由题意可知，有1个实数根，则或， 解得或 故答案为：或 6．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 7．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 9．已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 10．已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【分析】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 11．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】将集合化简，再由可得或或或，分别代入计算，即可求解. 【详解】集合， 因为，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 13．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 14．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 16．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 17．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合，由并集运算即可； （2）由条件分别判断0，1是否属于集合即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以． （2）由，又，得， 由，得， 所以． 18．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 19．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 小专题01：集合中含参问题 目录 模块一：专题解决 模块二：题型讲解举一反三 题型1：根据元素与集合的关系求参数 题型2：根据集合中元素的个数求参数 题型3：根据集合的相等关系求参数 题型4：根据集合间的包含关系求参数 题型5：根据集合运算的结果求参数 模块四：过关检测 模块一 专题讲解 一、相关知识 1．已知集合间的关系求参数①若集合中的元素是一一列举的，可转化为解方程（组）求解，并注意集合中元素的互异性； ②若集合利用不等式的解集表示，可借助数轴来求解，用数轴表示两个集合（分清实心点与空心点），确定两个集合之间的包含关系，从而列出关于参数的不等式（组），最后求解． ③已知，在未指明集合A非空时，应分和两种情况来讨论． 2．已知集合的运算结果求参数 ①若已知两个集合的运算结果，一般将集合中的运算结果转化为两个集合之间的关系（例如，在集合的并集、交集运算中，常将和转化为来考虑．） 二、解题步骤 第一步：求集合最简形式——对题目给出集合化至最简形式，并观察参数 第二步：用适合的图像表示——通过绘制数轴，Venn图等方式分析题目有关参数的条件 第三步：列式或方程求解——根据已知条件的分析，列出关于参数的方程(组）或不等式(组) 第四步：解出参数范围——对已设出方程（组）或不等式（组）进行计算，得到参数范围 【注意】 ① 分类讨论需做到不重不漏，要将所求得的参数带入集合进行检验； ② 考虑解集是否可能为空集，二次项系数是否为0； ③ 检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，集合是否满足元素的互异性； ④ 不等式的等号能否取到；含参集合是否为空集； ⑤ 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；千万不要忘记考虑空集。 【典例讲解】已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【套用解题步骤】 第一步：对题目所给集合进行化简，并转化为最简形式 ∴ 第二步：分析题目所给参数条件，并转化为数轴表示 ∵的真子集个数是3 ∴共有2个元素，分和两种情况. 即 或两种情况 第三步：分析数轴及题目已知条件，设出不等式组 若，则有①，； 若，则有②，无解. 第四步：计算已列出不等式组，解出参数范围 ∵由①可得，； 由②可得，无解 ∴ 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 模块二 题型讲解举一反三 题型1：根据元素与集合的关系求参数 【例1】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【变式3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 题型2：根据集合中元素的个数求参数 【例2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【变式1】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 题型3：根据集合的相等关系求参数 【例3】已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式1】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 题型4：根据集合间的包含关系求参数 【例4】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，若，则实数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，且，求实数的取值范围． 题型5：根据集合运算的结果求参数 【例5】（2025·湖南长沙·一模）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C． D．0 【例6】（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】6．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 模块三 知识检测 1．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 4．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ． 6．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 7．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）若，则 ． 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 9．已知集合和，满足，，则实数 ． 10．已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 13．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 14．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 16．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 18．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 19．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$