小专题02：命题中含参问题—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 小专题02：命题中含参问题 目录 模块一：专题解决 模块二：题型讲解举一反三 题型1：根据条件求参 题型2：根据充分不必要条件求参数 题型3：根据必要不充分条件求参数 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 模块四：过关检测 模块一 专题讲解 一、相关知识 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．充要条件的定义 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 3．充分条件、必要条件的四种类型 关系式 结论 ，且 p是q的充分不必要条件 ，且 p是q的必要不充分条件 ，且 p是q的充要条件 ，且 p是q的既不充分也不必要条件 名师点拨 从集合角度看充分条件、必要条件 记法 p：，q： 关系 且 图示 或 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3．全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题. ②符号表示：通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，. （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，成立”可用符号简记为，. （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.） 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 5．判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个元素，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素，使成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 二、解题步骤 1．利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 【注意事项】 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 【典例讲解1】若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：阅读题目，找出题干中的条件与结论并分析 由题意可知，该题目的条件为，结论即为 第二步：判断条件p是否可以得出结论q ∵是的充分不必要条件 ∴条件可以推出结论 第三步：判断结论q是否可以得出条件p ∵是的充分不必要条件 ∴结论不能推出条件 第四步：根据已得结论对所求t的取值范围求解 ∴但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 【典例分析2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【套用解题步骤】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题的否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“，”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 模块二 题型讲解举一反三 题型1：根据条件求参 【例1】已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由充分条件列不等式组求参数范围. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 【变式1】若“”是“”的充分条件，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则，所以m的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题的必要性可判断集合间关系，分别讨论集合和，列出不等式，解不等式即可. 【详解】由是的必要条件， 得， 当时，，解得，此时成立， 当时，由，得，解得， 综上所述，， 故答案为：. 【变式3】若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为： 题型2：充分不必要条件求参数 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 【变式3】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 题型3：根据必要不充分条件求参数 【例3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合， （1）写出的所有子集； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得再由子集的概念逐个列举即可； （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意， 所以的子集有：. （2）由题意可得：, 故， 解得：. 【变式1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 【变式3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合. （1）若“（A是非空集合） ”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得； （2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得，且， A是非空集合，由，得，解得， 此时满足，因此， 所以实数a的取值范围是； （2）∵． ①当时，即， ∴，此时满足题意； ②当时．则或， 解得或． 综上所述，实数a的取值范围是． 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 【例4】（24-25高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数 . 【答案】 【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解. 【详解】因为对任意，等式成立， 所以， 则，解得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【详解】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得，利用单调性可求在的最小值. 【详解】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称量词命题的真假结合判别式求解，即得答案. 【详解】由题意知命题“存在，使”是真命题， 即有实数解， 故， 即实数的取值范围是， 故选：B 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对，和分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】若，则对有，不满足条件； 若，则对任意有，满足条件； 若，则对有，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 模块三 知识检测 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】参变分离，求最值即可. 【详解】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 6．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解. 【详解】记，， 因为p是q的充分条件，所以. 当时，，即，符合题意； 当时，，由可得，所以，即. 综上所述，实数的k的取值范围是． 故答案为：． 7．已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 8．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分与计算即可得. 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 9．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可； （2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围. （3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围. 【详解】（1）当时，由得，， （2），. 又.实数的取值范围. （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是. 10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【详解】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 11．（24-25高一上·广东潮州·期末）设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； 【详解】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 12．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得集合，进而可得； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 又 则； （2）由“”是“”的必要不充分条件， 可知， 所以或， 解得或， 综上所述， 即. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 14．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知集合，，且． (1)当时，求实数的取值范围； (2)设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据区间定义以及和列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围； （2）根据条件先判断出⫋，然后列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，解得； 因为，所以， 所以，解得； 综上，的取值范围是. （2）由（1）可知，当时，此时， 又因为是的必要不充分条件，所以⫋， 所以，解得， 综上，的取值范围是. 15．（24-25高一上·河南·期中）已知集合，非空集合. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的结果列式求解即可. （2）利用必要不充分条件的定义，借助集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）由，解得，则， 由，得，解得， 由，得或，解得或，因此或， 所以的取值范围为. （2）由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，而， 则，解得， 检验当和时均符合题意， 所以的取值范围为. 16．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 小专题02：命题中含参问题 目录 模块一：专题解决 模块二：题型讲解举一反三 题型1：根据条件求参 题型2：根据充分不必要条件求参数 题型3：根据必要不充分条件求参数 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 模块四：过关检测 模块一 专题讲解 一、相关知识 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．充要条件的定义 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 3．充分条件、必要条件的四种类型 关系式 结论 ，且 p是q的充分不必要条件 ，且 p是q的必要不充分条件 ，且 p是q的充要条件 ，且 p是q的既不充分也不必要条件 名师点拨 从集合角度看充分条件、必要条件 记法 p：，q： 关系 且 图示 或 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3．全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题. ②符号表示：通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，. （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，成立”可用符号简记为，. （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.） 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 5．判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个元素，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素，使成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 二、解题步骤 1．利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 【注意事项】 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 【典例讲解1】若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：阅读题目，找出题干中的条件与结论并分析 由题意可知，该题目的条件为，结论即为 第二步：判断条件p是否可以得出结论q ∵是的充分不必要条件 ∴条件可以推出结论 第三步：判断结论q是否可以得出条件p ∵是的充分不必要条件 ∴结论不能推出条件 第四步：根据已得结论对所求t的取值范围求解 ∴但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 【典例分析2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【套用解题步骤】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题的否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“，”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 模块二 题型讲解举一反三 题型1：根据条件求参 【例1】已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式1】若“”是“”的充分条件，则m的取值范围是 ． 【变式2】已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式3】若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 题型2：充分不必要条件求参数 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型3：根据必要不充分条件求参数 【例3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合， （1）写出的所有子集； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合. （1）若“（A是非空集合） ”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. （2）若，求实数a的取值范围. 题型4：根据全称量词命题的真假求参数 【例4】（24-25高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数 . 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【变式3】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 题型5：根据存在量词命题的真假求参数 【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【变式3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 模块三 知识检测 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 6．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ． 7．已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 8．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 9．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·广东潮州·期末）设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 12．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 14．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知集合，，且． (1)当时，求实数的取值范围； (2)设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·河南·期中）已知集合，非空集合. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围. 16．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 专题讲解 一、相关知识 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p通过推理可以得出 q．这时，我们就说，由 p可以推出 q，记 作 p q ，并且说，p是 q的充分条件，q是 p的必要条件． 如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p不能推出结论 q，记作 p q ．此时，我们就说 p不是 q的 充分条件，q不是 p的必要条件． 2．充要条件的定义 如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p q ，又有 q p ，就记作 p q ．此 时，p既是 q的充分条件，也是 q的必要条件，我们说 p是 q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如 果 p是 q的充要条件，那么 q也是 p的充要条件． 3．充分条件、必要条件的四种类型 关系式 结论 p q ，且 q p p是 q的充分不必要条件 p q ，且 q p p是 q的必要不充分条件 p q ，且 q p p是 q的充要条件 p q ，且 q p p是 q的既不充分也不必要条件 名师点拨 从集合角度看充分条件、必要条件 记 法 p：   A x p x ，q：   B x q x 关 系 A B B A A B A B且 B A 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 图 示 或 结 论 p是 q的充分不必要条 件 p是 q的必要不充分条 件 p，q互为充要条件 p是 q的既不充分也不必要条 件 3．全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题. ②符号表示：通常，将含有变量 x的语句用  p x ，  q x ，  r x ，…表示，变量 x的取值范围用 M表示.那 么，全称量词命题“对 M中任意一个 x，  p x 成立”可用符号简记为 x M  ，  p x . （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在 M中的元素 x，  p x 成立”可用符号简记为 x M  ，  p x . （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某 些”“有的”等.） 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 5．判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M中的每个元素 x，证明  p x 成立；但要判定全 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 称量词命题是假命题，只要能找出集合 M中的一个元素 0x ，使得  0p x 不成立即可（这就是通常所说的“举 出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M中，找到一个元素 0x ，使  0p x 成立即可.如果 在集合 M中，使  p x 成立的元素 x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 二、解题步骤 1．利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于 参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“ ,x M a y   (或a y )”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数 y的最大值（或最小值)，即 maxa y (或 mina y ). ②对于存在量词命题“ ,x M a y   （或 a y ）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求 函数 y的最小值（或最大值），即 mina y (或 maxa y ). 【注意事项】 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现 “恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参 数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存在量词命 题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 【典例讲解 1】若 x t 是 3x  的充分不必要条件，则 t的取值范围是（ ） A．  ,3 B．  ,3 C． 3, D．  3, 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：阅读题目，找出题干中的条件与结论并分析 由题意可知，该题目的条件为，结论即为 3x  第二步：判断条件 p是否可以得出结论 q 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - ∵ x t 是 3x  的充分不必要条件 ∴条件 x t 可以推出结论 3x  第三步：判断结论 q是否可以得出条件 p ∵ x t 是 3x  的充分不必要条件 ∴结论 3x  不能推出条件 x t 第四步：根据已得结论对所求 t的取值范围求解 ∴ ( , ) ( ,3)t   但 ( , ) ( ,3)t   ， 故得 3t  ，即 t的取值范围是 ( 3), . 故选：B. 【典例分析 2】若命题“ x R， 2 4 0x x a   ”为假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A.  , 4 B.  , 4 C.  , 4  D. 4,  【答案】A 【套用解题步骤】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题的否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意 x R ， 2 4 0x x a   均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“ x R， 2 4 0x x a   ”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程 2 4 0x x a   有实数根，则  24 4 0a     ，解得 4a  ， 即实数 a的取值范围是  , 4 . 故选：A. 模块二 题型讲解举一反三 题型 1：根据条件求参 【例 1】已知命题 : 3 1x m   或 x m  ，命题 : 2x  或 4x  ，若 是  的充分条件，则实数m的取值范 围是 . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 1】若“ x m ”是“ 4x  ”的充分条件，则 m的取值范围是 ． 【变式 2】已知集合  2 5A x x    ，  1 2 1B x m x m     ，若 x A 是 x B 的必要条件，则实数m的 取值范围是 . 【变式 3】若命题 p： 1x  为命题 q： 2 1x m  ，mR的充要条件，则m的值是 ． 题型 2：充分不必要条件求参数 【例 2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知 : 3p x   或 2, :x q x a  ，且 q是 p的充分不必要条件，则实 数 a的取值范围（ ） A． 2a  B． 3a   C． 2a  D． 2a  【变式 1】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题 p： 3 1x   ，q： x a .若 q的一个充分不必要条件 是 p，则 a的取值范围是（ ） A． ( 3, )  B．[ 3, )  C． (1, ) D．[1, ) 【变式 2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知 p： 2 5x   ，  : 2 2 2 0q m x m m     ，若 p的充分 不必要条件是 q，则实数m的取值范围为（ ） A． 3m  B．0 3m  C． 2m≥ D．0 2m  【变式 3】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合  2 1 5A x x    ∣ ，集合   1 2 1B x m x m m     R∣ ． （1）若 3m  ，求  R A Bð ； （2）设命题 :p x A ；命题 :q x B ，若命题 p是命题 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 题型 3：根据必要不充分条件求参数 【例 3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合 { 2 2}A x a x a    ∣ ， 71 2 B x x        ∣ （1）写出 *BN 的所有子集； （2）若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合  2 5A x x    ，  1 2 1B x m x m     .若“ x B ” 是“ x A ”的充分不必要条件，则 m的取值范围是（ ） A． 3|m m  B． | 2 3m m  C． D． | 2 3m m  【变式 2】（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在 Rx ，使得 2 2 1 0mx x   ”为假命题的一个充分 不必要条件是（ ） A． 2m   B． 1m   C． 2m  D． 3m  【变式 3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合    1 2 1, , 1 3A x a x a a B x x         R . （1）若“ x A （A是非空集合） ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围. （2）若 A B   ，求实数 a的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 题型 4：根据全称量词命题的真假求参数 【例 4】（24-25高一上·上海·期中）对任意 xR ，等式 2 (1 ) 1m x mx   成立，则实数m  . 【变式 1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题 2: R, 1 0p x x a     ，若 p为真命题，则 a的取值范 围是（ ） A． ( ,1) B． ( ,1] C． (1, ) D． [1, ) 【变式 2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“  1,2x   ，2 1x k  ”为真命题，则实数 k的最大 值为 【变式 3】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合  3A x a x a    ，集合 { 1B x x   或 5}x  ，全集 RU  . （1）若 A B   ，求实数 a的取值范围； （2）若命题“ x A  ， x B ”是真命题，求实数 a的取值范围. 题型 5：根据存在量词命题的真假求参数 【例 5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合  2 2 1A x m x m      3 5B x x    . （1）若 A B ，求实数m的取值范围； （2）命题 p：“ x A  ，使得 x B ”是真命题，求实数m的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 【变式 1】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）若命题“存在 0x R ，使 2 2 0x x m   ”是真命题，则实 数m的取值范围是（ ） A． 1m m   B． 1m m   C． 1 1m m  ∣ D．{ 1}m m   【变式 2】（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“ Rx  ， 2 2 0x x a   ”为真命题，则实数 a的取值范围 为 . 【变式 3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知命题“ x R， 2 1 0ax ax   ”是真命题，则实数 a的取值 范围是 . 模块三 知识检测 1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知  1 2A x x    ，  2 0B x x a   ，若 x B 是 x A 的必要不充 分条件，则实数 a的取值范围是（ ） A． 4a a  B． 4a a  C． 2a a  D． 2a a  2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于 x的一元二次方程 2 0x x m   有实数解的一个必要不充分条 件的是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - A． 1 2 m  B． 1 4 m  C． 1 2 m   D． 1 4 m  3．（24-25高一上·广东广州·期末）若“  1,4x  ，使得 2 1 0x a   ”是假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A．  , 9  B．  , 3  C．  9,  D．  3,  4．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“ x R ， 2 2 0x x m   ”是真命题，则实数 m的取值范围是（ ） A． 1m m  B． 1m m  C． 1m m  D． 1m m  5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题  : 1,2 , 1p x ax   成立，若 p为真命题，则 a的取值范围 为 . 6．已知条件 : 2 1 2p k x ≤ ≤ ， : 5 3q x   ，p是 q的充分条件，则实数 k的取值范围是 ． 7．已知集合  { 2 1 1}, 1 2A x a x a B x x        ∣ ∣ . (1)若 1a   ，求 A B ； (2)若“ x B ”是“ x A ”成立的必要条件，求实数 a的取值范围. 8．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合  2 1 5A x x     ，集合   1 2 1B x m x m m     R . (1)若 4m  ，求  A BRð ； (2)若集合 A成立的充分不必要条件是集合 B，求实数 m的取值范围. 9．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合 { 2 4}, { 0}A x x B x x m      ∣ ∣ . (1)若 3m  ，求 A B ； (2)若 A B   ，求实数m的取值范围； (3)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合  1 2A x x   ∣ ，集合    { 3 0}B x x x m   ∣ . (1)若1 B 且0 B ，求实数m的取值范围； (2)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 11．（24-25高一上·广东潮州·期末）设集合  2 2 0A x x x    ，    3 0, 0B x x a x a a   ，命题 :p x A ， 命题 :q x B . (1)当 1a  时，求集合 A与集合 B的并集； (2)若 p是 q的必要不充分条件，求正实数 a的取值范围. 12．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知集合 11 2 A x x        ，集合  2 1 1B x a x a     ， Ra . (1)当 1a   时，求 A B ； (2)若“ x B ”是“ x A ”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合 { |A x x a  或 2}x a  ，  | 3B x x  . (1)若“ x A ”是“ x B ”成立的必要条件，求 a的取值范围； (2)若“ x A ”是“ x B ”成立的必要不充分条件，求 a的取值范围； (3)若“ x A Rð ”是“ x B ”成立的充分条件，求 a的取值范围； (4)若“ x A Rð ”是“ x B ”成立的充分不必要条件，求 a的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 14．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知集合  4,2 9A m  ，  2 2 3 3B x m x m     ，且12 B ． (1)当16 A 时，求实数m的取值范围； (2)设 p： t A ； q： t B ，若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 15．（24-25高一上·河南·期中）已知集合  5 2 3 13A x x     ，非空集合  1 2 3B x m x m     . (1)若 A B   ，求m的取值范围； (2)设 :p x A ， :q x B ，若 p是 q的必要不充分条件，求 m的取值范围. 16．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）    | 2 5 | 1 2 1A x x B xm x m        已知集合 ， (1)是否存在 m的值，使得 x B 是 x A 的充要条件，若存在求出 m的值；若不存在，请说明理由． (2)若 x B 是 x A 的充分条件，求 m的取值范围 (3)若 A B = ，求 m的取值范围 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合 { 1 3}, { 1 1, 0}A x x B x m x m m       ∣ ∣ ，命题 :p x A ， 命题 :q x B (1)若 p是 q的充要条件，求正实数m的取值范围； (2)若 p是 q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.