专题1.6 等式性质与不等式性质（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦不等式性质的6大核心题型，通过分层训练构建从概念辨析到综合应用的逻辑体系，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|6题型（每题4题）|判断正误/表示关系/比较大小/求取值范围/逻辑交汇|从性质应用到方法迁移，形成"概念-技巧-综合"递进链条| |分层突破|3组（基础/培优/真题）|覆盖选择/填空/解答，融合生活情境与数学建模|通过梯度训练实现性质理解→灵活应用→高考适配的能力跃升|

专题1.6 等式性质与不等式性质（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1 【题型2 用不等式表示不等关系】 2 【题型3 由不等式的性质比较数（式）大小】 2 【题型4 作差法、作商法比较代数式的大小】 3 【题型5 利用不等式求目标式的取值范围】 3 【题型6 不等式性质与常用逻辑用语交汇】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用不等式表示不等关系】 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 8．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【题型3 由不等式的性质比较数（式）大小】 9．（2026·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【题型4 作差法、作商法比较代数式的大小】 13．（2026·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·广西钦州·阶段检测）已知，，设，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江西抚州·阶段检测）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 16．（2026·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【题型5 利用不等式求目标式的取值范围】 17．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 不等式性质与常用逻辑用语交汇】 21．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（2026·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 一、单选题 1．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 5．（2026·陕西商洛·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 7．（2026·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·全国·模拟预测）是的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 9．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知，，则的取值范围是___________. 10．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为___________． 11．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则代数式的取值范围为___________． 12．（2025·福建福州·模拟预测）已知，对于任意的，都有，则___________． 一、单选题 1．（2026·江西·模拟预测）已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·一模）《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 4．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 二、解答题 6．（25-26高一上·江苏·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 7．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 8．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 一、单选题 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 等式性质与不等式性质（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1 【题型2 用不等式表示不等关系】 3 【题型3 由不等式的性质比较数（式）大小】 4 【题型4 作差法、作商法比较代数式的大小】 6 【题型5 利用不等式求目标式的取值范围】 8 【题型6 不等式性质与常用逻辑用语交汇】 9 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【解答过程】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B. 2．（2026·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【解答过程】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 3．（2026·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【解答过程】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D. 4．（2026·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【解答过程】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C. 【题型2 用不等式表示不等关系】 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【解答过程】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解题思路】根据已知写出不等式即可. 【解答过程】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【解答过程】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 8．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【解答过程】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 【题型3 由不等式的性质比较数（式）大小】 9．（2026·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选：D. 10．（2026·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【解答过程】 ，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 11．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 12．（2026·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【解答过程】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 【题型4 作差法、作商法比较代数式的大小】 13．（2026·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【解答过程】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 14．（24-25高三上·广西钦州·阶段检测）已知，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差法判断的正负即可得出结果. 【解答过程】由题意可知， 当且仅当时，等号成立； 即. 故选：A. 15．（24-25高一下·江西抚州·阶段检测）若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【解答过程】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A. 16．（2026·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【答案】D 【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【解答过程】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D. 【题型5 利用不等式求目标式的取值范围】 17．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由不等式的性质即可解出答案. 【解答过程】根据题意可得，所以. 故选：A. 18．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用不等式的性质，即可求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 19．（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 20．（25-26高一上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【解答过程】设 ， 则，解得，所以； 又，， 所以 ， 所以. 故选：B. 【题型6 不等式性质与常用逻辑用语交汇】 21．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【解答过程】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 22．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【解答过程】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 23．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】依次分析充分性和必要性即可得解. 【解答过程】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 24．（2026·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】若，根据糖水不等式可得，即充分性成立； 若，则，即且，故，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 一、单选题 1．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，所以，故B错误； 对于C，取，则此时，故C错误； 对于D，若，此时，故D错误． 故选：A． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据不等式的性质分析判断即可. 【解答过程】因为， 对于选项AD：例如，符合， 但，，即，故AD错误； 对于选项B：例如，符合，但，故B错误； 对于选项C：因为，则， 可得，所以，故C正确； 故选：C. 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质及利用特例对各项进行判断，从而求解． 【解答过程】对于A项：因为：，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：若，则，所以C选项错误； 对于D项：由，得：， 所以得：，故D项正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可. 【解答过程】A．当时，，，因此不成立； B．取，此时，但因此不成立； C．若，且，则，即正确； D．若，，则，因此不成立． 故选：C． 5．（2026·陕西商洛·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解. 【解答过程】若  ，则，所以，充分性成立； 若，则，但不一定成立，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6．（2026·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【解答过程】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 7．（2026·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充要条件的概念即可求解. 【解答过程】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．（2026·全国·模拟预测）是的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质，分别判断充分性和必要性. 【解答过程】由不等式的性质可知， 时一定有成立， 而成立时，若就不能推出. 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 二、填空题 9．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知，，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】利用不等式的性质先求出，再得到即可求解. 【解答过程】因为，，所以； 所以，所以的取值范围是 故答案为：. 10．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】当取最小的正整数时，所求最大. 【解答过程】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为：. 11．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则代数式的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】依据不等式的性质得到答案. 【解答过程】因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，， 故答案为： . 12．（2025·福建福州·模拟预测）已知，对于任意的，都有，则___________． 【答案】2 【解题思路】根据绝对值不等式的性质以及已知条件，通过分析与任意正数的关系，得出的值，进而求出的值. 【解答过程】已知对于任意的，都有. 因为是一个确定的非负实数，而可以取任意大于的数. 假设，那么我们总可以找到一个正数，使得，这与已知条件“对于任意的，都有”矛盾. 所以只能等于，即. 根据绝对值的性质，若，则，所以由可得，解得. 故答案为：2. 一、单选题 1．（2026·江西·模拟预测）已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据充分不必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可. 【解答过程】由，可得，因为，的符号不确定，推不出，故不满足题意； 由，可得，反之当，时不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故满足题意； 因为，，所以，不满足题意. 故选：. 2．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【解答过程】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 3．（2025·浙江杭州·一模）《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【解题思路】根据题意列出不等式组，解出即可. 【解答过程】设牛、羊、猪分别为 头，则根据题意有，则， 则 ，则 ，则. 故选：B. 4．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解. 【解答过程】设，，， ， ∴，. ∴赋分是或. 故选：D. 二、解答题 6．（25-26高一上·江苏·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解题思路】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 7．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，利用不等式的同向可加性等性质即可求得； （2）利用不等式的性质先求的范围，再由不等式的同向皆正可乘性即可求得； （3）设，展开对照求出的值，再利用不等式的可乘性和可加性即可求得. 【解答过程】（1）因，又，， 则，即； （2）由可得，又， 则得，即； （3）设，由， 解得，即， 因，则， 又，则， 两式相加，可得，即. 8．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【解答过程】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以. 一、单选题 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【解答过程】对于A，取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D，取，则，此时，故D错误， 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断. 【解答过程】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【解答过程】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $