专题1.5 等式性质与不等式性质（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦等式性质、不等式性质及比较大小核心考点，按不等关系建立、性质梳理、比较方法归纳的逻辑架构组织知识点，通过考点系统梳理、方法技巧指导、高考真题训练等环节，帮助学生突破不等式变形与应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以6大典型题型（含例及变式）分层设计，结合近三年高考命题规律，通过作差作商法等方法指导培养学生数学思维，以实际问题转化为不等式表达训练数学语言，配套基础到综合分层练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题1.5 等式性质与不等式性质（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)等式性质 (2)比较两个数的大小 (3)理解不等式的性质，并能简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 等式性质与不等式性质 上海卷（春考）：第13题，4分 北京卷：第6题，4分 上海卷（春考）：第14题，4分 命题规律分析 1、等式性质与不等式性质 从近三年高考情况来看，不等式的性质较少单独考查，一般以选择题、填空题为主，主要考查由已知条件判断所给不等式是否正确、比较大小；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容。 考点1 等式性质与不等式性质 知识点1 不等关系 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点2 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 知识点3 比较大小 1．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例3】（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-1】（2026·四川绵阳·一模）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高一上·全国·专题练习）设，则下列选项中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】（25-26高一上·广东广州·期中）已知，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 作差法、作商法比较代数式的大小】 【例4】（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【变式4-3】（2026·四川·二模）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【题型5 利用不等式求目标式的取值范围】 【例5】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【题型6 不等式性质与常用逻辑用语交汇】 【例6】（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式6-1】（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 一、单选题 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 8．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·陕西·模拟预测）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2026·山东济南·一模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025高一上·全国·专题练习）已知实数a，b满足，，则a的取值范围为__________． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则与的大小是__________． 14．（2025高一上·全国·专题练习）已知实数满足，，则的取值范围为__________． 四、解答题 15．（2025高一上·全国·专题练习）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 16．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 17．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 18．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 19．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 等式性质与不等式性质（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)等式性质 (2)比较两个数的大小 (3)理解不等式的性质，并能简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 等式性质与不等式性质 上海卷（春考）：第13题，4分 北京卷：第6题，4分 上海卷（春考）：第14题，4分 命题规律分析 1、等式性质与不等式性质 从近三年高考情况来看，不等式的性质较少单独考查，一般以选择题、填空题为主，主要考查由已知条件判断所给不等式是否正确、比较大小；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容。 考点1 等式性质与不等式性质 知识点1 不等关系 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点2 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 知识点3 比较大小 1．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【解答过程】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（2026·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【解答过程】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（2026·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B. 【解答过程】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C、D，若，，，故C、D错误， 故选：B． 【变式1-3】（2026·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式2-1】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【解答过程】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意建立不等式模型即可. 【解答过程】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 【题型3 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例3】（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【解答过程】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C. 【变式3-1】（2026·四川绵阳·一模）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误. 【解答过程】当且，则，，A、B错， 由题设，则，且，C错，D对. 故选：D. 【变式3-2】（2025高一上·全国·专题练习）设，则下列选项中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·广东广州·期中）已知，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可. 【解答过程】已知，所以，所以，所以，A错误； 已知，所以，所以，B错误； 已知，所以，因为，所以，C错误； 已知，所以，因为，所以，D正确. 故选：D. 【题型4 作差法、作商法比较代数式的大小】 【例4】（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【解答过程】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A. 【变式4-1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式4-2】（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】用作差法计算比较的大小关系． 【解答过程】 ，故B正确． 故选：B． 【变式4-3】（2026·四川·二模）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【解题思路】用作差法进行求解，即可得解． 【解答过程】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 故选：D. 【题型5 利用不等式求目标式的取值范围】 【例5】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质求解． 【解答过程】因为， 又，， 所以的取值范围是． 故选：C． 【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果. 【解答过程】因为，得，， 所以． 故选：B． 【变式5-3】（2026·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A. 【题型6 不等式性质与常用逻辑用语交汇】 【例6】（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【解答过程】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-1】（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质，即可判断. 【解答过程】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-2】（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质，即可得出结果. 【解答过程】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-3】（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【解答过程】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 一、单选题 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质判断A、C、D，作差判断B. 【解答过程】因为，所以，因为，所以，A错误； ，因为，所以，则，，B错误； 因为，所以，C错误； 因为且，所以，则，即，所以，D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·河北唐山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【解答过程】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【解答过程】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 5．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案． 【解答过程】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：A. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【解答过程】因为，且，若，则，故A不正确； 若，则，故B不正确； 因为，且，所以，故C正确； 若，则，故D不正确. 故选：C. 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【解题思路】结合不等式的性质逐项分析即可. 【解答过程】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 8．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【解答过程】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以， 故选：B. 二、多选题 9．（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解题思路】对A，取可判断；对B、C，由不等式性质可判断；对D，取可判断. 【解答过程】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，若，则，由不等式的性质，故B正确； 对C，若，则，C正确； 对D，若，不妨取，则，D错误. 故选：BC. 10．（2026·陕西·模拟预测）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【解答过程】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 故选：BD. 11．（2026·山东济南·一模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】举反例判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【解答过程】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时，，不成立， 故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（2025高一上·全国·专题练习）已知实数a，b满足，，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】利用不等式的性质即可得范围. 【解答过程】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则与的大小是__________． 【答案】 【解题思路】利用作差法求解即可 【解答过程】， ，， ， 故答案为：. 14．（2025高一上·全国·专题练习）已知实数满足，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】先通过设为和的线性组合，再结合不等式的性质，求解取值范围即可. 【解答过程】设， 所以，解得，所以， 因为 ， 所以，， 相加得， 即. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一上·全国·专题练习）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【解题思路】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【解答过程】（1） 理由： ， 由于，且 所以，即， 因此 . （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 16．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【解答过程】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 17．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）作出不等式两边的差，利用完全平方数为非负数得证. （2）利用不等式的性质求出范围. 【解答过程】（1）由，得， 当且仅当时取等号，且满足题设， 所以. （2）由，得；由，得， 因此， 所以的取值范围是. 18．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 19．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $