第06课 有趣的算式（导学案）-2026年新四年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第06课 有趣的算式 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）巩固计算器使用：能熟练使用计算器进行较大数目的四则运算，验证猜想。 （2）发现规律：能通过观察算式和计算结果，发现并总结简单的数学规律（如“宝塔数”规律、“缺8数”规律、个位是5的两位数平方规律等）。 （3）应用规律：能利用发现的规律直接写出类似算式的得数，提高计算速度和准确性。2、重难点。 重点： 探索规律的方法： 掌握通过计算前几个算式，观察结果特征，从而推导出后续算式结果的方法。 难点： 准确描述规律： 学生往往能看出规律，但很难用准确、简洁的数学语言描述出来。 模块二 预习引导 一、“宝塔数”与回文数规律（1的自乘）： 1、算式示例： 1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=123454321 2、核心规律： 积是一个回文数（从左往右读和从右往左读都一样）。 积的数字是从1开始递增，增加到与因数位数相同的数字，然后再递减回到1。例如因数是4个1，积就中间是4，即1234321。 拓展应用：题目要求继续写出两个这样的式子，即111111×111111=12345654321 等。 二、“缺8数”与9的自乘规律： 1、算式示例： 99×99=9801 999×999=998001 9999×9999=99980001 2、核心规律： 积的结构固定为四部分：9...80...1。 积中 9的个数 = 因数中9的个数 - 1。 积中 0的个数 = 因数中9的个数 - 1。 中间永远是 8，末尾永远是 1。 直接写积： 根据规律，可以直接写出99999×99999=9999800001 等，无需计算器。 三、个位是5的两位数平方规律： 1、算式示例： 15×15=225→1×(1+1)=2 ，后面接25。 25×25=625→2×(2+1)=6 ，后面接25。 35×35=1225→3×(3+1)=12 ，后面接25。 2、核心规律（头同尾合十的特例）： 积的末两位永远是 25。 积的前几位数字 = 十位数字 × (十位数字 + 1)。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．先观察下面各算式，找出规律，再填数。 37037037×3＝111111111 37037037×6＝222222222 37037037×9＝333333333 37037037×（    ）＝444444444 A．11 B．12 C．15 【答案】B 【分析】由所给算式得出：第一个因数不变，第二个因数扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的几倍；同时，积扩大到原来的几倍，第二个因数就扩大到原来的几倍；据此解答即可。 【详解】据分析可知： 37037037×3＝111111111 37037037×6＝222222222 37037037×9＝333333333 37037037×12＝444444444 故答案为：B 2．根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（    ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 【答案】D 【分析】第一个算式1个6和1个7相乘等于42，第二个算式2个6和67相乘等于4422，第三个算式3个6和667相乘等于444222，第四个算式应该是4个6和6667相乘等于44442222，据此选择即可。 【详解】可以推出下一个算式是6666×6667＝44442222。 故答案为：D 3．已知算式1234×10001＝12341234，2345×10001＝23452345，3456×10001＝34563456，…，按照这样的规律，下面算式不正确的是（    ）。 A．4567×10001＝45674567 B．8765×10001＝87658765 C．5491×10001＝54915491 D．3210×10001＝32013201 【答案】D 【分析】根据题目给出的算式，可以找出规律，一个四位数乘10001，乘积是第一个因数数字的重复，重复次数是两次；据此解答即可。 【详解】A．4567×10001＝45674567算式正确； B．8765×10001＝87658765算式正确； C．5491×10001＝54915491算式正确； D．3210×10001＝32103210，所以原题算式错误。 故答案为：D 4．已知123456789×9＝1111111101，123456789×18＝2222222202，那么，123456789×（    ）＝8888888808。 A．2 B．8 C．32 D．72 【答案】D 【分析】根据积的变化规律，因数不变，另一个因数乘或除以几，积就乘或除以几，据此选择即可。 【详解】123456789×9＝1111111101； 123456789×（9×2）＝1111111101×2，123456789×18＝2222222202； 123456789×（9×8）＝1111111101×8，123456789×72＝8888888808。 123456789×72＝8888888808。 故答案为：D 5．利用计算器来探索规律，计算出前三道，最后一道直接写出得数。（    ） A．9；1089；10889；1110889 B．9；1089；110889；11108889 C．9；1089；110889；1111088889 【答案】C 【详解】通过计算器计算，观察发现，得数是由1、0、8、9这4个数字组成，位数是两个相乘数的位数之和，0和9都只有一个，乘数是几位数，得数中就有（几位数－1）个1和8，因此按此规律，11111×99999＝1111088889。 6．一组算式的排列如下：；；；；…则第六个算式应该是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】有给出的算式可以推断：第几个算式，小括号内的被减数就是几位数且每位都是3；减数为3乘第几个算式；除数不变；商位数比第几个算式少1，且前一个算式的差的每位商均为1。 【详解】第六个算式：（333333－3×6）÷27＝（333333－18）÷27；故A、C错误；第五个算式的商为：1111＋123＝1234；第六个算式的商为：11111＋1234＝12345；故D错误；第六个算式为：（333333－18）÷27＝12345； 故选：B 【点睛】也可用计算器直接计算求出算式（333333－18）÷27的商，确定答案。 7．小红用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积。 7×9＝63    77×99＝7623    777×999＝776223 照此规律，第7个算式的积是（    ）。 A．777777762222222 B．7777776222222 C．77777762222223 D．7777762222223 【答案】C 【分析】观察小红算出的3个算式可知，随着一个因数中7的个数和另一个因数中9的个数增加，积中的7和2的个数也跟着增加，据此解答。 【详解】①7×9＝63，积中有0个7和0个2； ②77×99＝7623，与第1个算式比，一个因数多了1个7，另1个因数多了1个9，积多了1个7和1个2 ； ③777×999＝776223，与第1个算式比，一个因数多了2个7，另1个因数多了2个9，积多了2个7和2个2 ； ④7777×9999＝77762223，与第1个算式比，一个因数多了3个7，另1个因数多了3个9，积多了3个7和3个2 ； 可知规律是：乘积中的7和2的个数比因数中7或9的个数少1个； 第7个算式的积与第一个算式比，一个因数多了6个7，另1个因数多了6个9，积多了6个7和6个2 ，即：7777777×9999999＝77777762222223； 故答案为：C 【点睛】此题考查用计算器探索规律，关键能够观察因数变化对积的影响。 二、填空题 8．探索“数字山”。（填一填） 1＝1 1＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) … “数字山”接下来两层的得数是( )和( )。 【答案】 4 9 16 25 36 49 【分析】根据题意，，可以写成； ，可以写成； ，可以写成； ，可以写成； 由此可以推出结果就是最中间的数乘最中间的数，据此解答。 【详解】由分析可知： 9．有趣的“12345679”，它里面可没有数字“8”呀。找规律，填一填。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333    12345679×54＝________ 12345679×36＝________    12345679×63＝________ 12345679×45＝________    12345679×72＝________ 【答案】 666666666 444444444 777777777 555555555 888888888 【分析】观察前面的算式可得规律：12345679乘9的几倍，积就是9个几组成的数。 【详解】，所以。 ，所以。 ，所以。 ，所以。 ，所以。 10．观察下面的算式和得数，根据其中的规律写出下一个等式。 1×9＋1×2＝11 12×18＋2×3＝222 123×27＋3×4＝3333 1234×36＋4×5＝44444 ( ) 【答案】12345×45＋5×6＝555555 【分析】通过观察可知，加号前面的第一个因数是分别是1、12、123、1234……，第二个因数分别是9的1倍、2倍、3倍……，加号后面的两个因数从1开始，分别是相邻的两个自然数，加号后面的第一个因数是几，所得结果的数字就是几，加号后面的第二个因数是几，所得结果的就有几位。据此解答即可。 【详解】1×9＋1×2＝11 12×18＋2×3＝222 123×27＋3×4＝3333 1234×36＋4×5＝44444 12345×45＋5×6＝555555 11．找规律，填一填。 1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 ( )×8＋5＝( ) 【答案】 12345 98765 【分析】观察算式可知，第一个因数最高位上是1，后面数位上的数都比它前一数位上的数多1，第二个因数是8，再加上第一个因数个位上的数，算式结果的位数与第一个因数的位数相同，最高位上是9，后面数位上的数比它前一数位上的数少1，据此即可解答。 【详解】1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 12345×8＋5＝98765 12．观察下面算式的规律，可知555555×9＝( )。 222222×9＝1999998 333333×9＝2999997 444444×9＝3999996 【答案】4999995 【分析】观察这组算式可知，9和由6个数字几组成的数相乘，乘积中间5位数都是9，第一位和第七位相加是9，且乘积第一位数字是这个数字减1。据此解答即可。 【详解】555555×9中555555由6个5组成的数； 5－1＝4，乘积第一位数字是4； 9－4＝5，乘积第七位数字是5； 则这个数是4999995，即知555555×9＝4999995。 13．细心观察前三个算式的乘数与得数，发现规律，再根据规律填空。 2×2－1×1＝3    3×3－2×2＝5    4×4－3×3＝7 5×5－4×4＝( )     ( )×( )－5×5＝( ) 10×10－( )×( )＝( ) ( )×( )－( )×( )＝45 【答案】 9 6 6 11 9 9 19 23 23 22 22 【分析】观察可得规律是，连续的两个自然数的平方差（较大数的平方减去较小数的平方）等于两个连续自然数的和。 【详解】 14．先用计算器计算下面各题，再继续写出两个这样的算式和结果。 9×9－1＝( )    98×9－2＝( )    987×9－3＝( ) 9876×9－4＝( )    98765×9－5＝( ) ________________    ________________ 【答案】 80 880 8880 88880 888880 987654×9－6＝8888880 9876543×9－7＝88888880 【分析】首先通过计算器计算出；；；； 通过观察算式的规律发现，从9开始乘起，每次增加一个连续的自然数，与另一个因数9相乘，再依次减去1、2、3、4⋯⋯，减数是几，得数中就有几个连续的8，得数的末位数是0，据此解答即可。 【详解】由分析可得： ；；； ；； 三、计算题 15．先用计算器算出前四道算式的结果，再根据规律直接写出后面算式的结果。 12×8＋2＝    123×8＋3＝ 1234×8＋4＝    12345×8＋5＝ 123456×8＋6＝    1234567×8＋7＝ 12345678×8＋8＝    123456789×8＋9＝ 【答案】98；987； 9876；98765； 987654；9876543； 98765432；987654321 16．找出第一排各题结果包含的规律，再按规律写出第二排各题的结果。 11×14＝154    11×51＝561    11×36＝3961    11×253＝2783 11×27＝    11×54＝    11×72＝    11×123＝ 【答案】297；594；792；1353 【分析】观察可知，含有11的乘法，往往把另一个因数依次排开，先写上这个数首尾两数字，中间再添上相邻两数之和（满10进1），就是某个数乘11的积，据此简算即可。 【详解】；；； 四、解答题 17．奇怪的142857。 计算并观察下面算式得数的特点，你能直接写出宝盒上算式的得数并找到密码吗？ _______ _______ _______ _______ ___________ _______ 算一算 _______ 【答案】能；见详解 【分析】分别计算出（）、（）、（）以及（）的结果，＝142857，＝285714，＝428571，＝571428；观察发现142857与自然数相乘的积都是由1、4、2、8、5、7这几个数字轮回组成的，先用自然数乘142857的个位数7确定出积的个位数字是几，几的后边的数字就轮回到积的最高位，以此类推；根据此规律，（142857×5）个位上的数是5，5后面的7就轮回到最高位上，由此得出它们的积是714285；同理求出（142857×6）的积，（142857×6）个位上的数是2，2后面的8就轮回到最高位上，由此得出它们的积是857142；再计算出（）的结果即可：999999，据此解答。 【详解】答：能直接写出宝盒上算式的得数并找到密码。 如表： 142857 285714 428571 571428 714285 857142 算一算 999999 18．寻找神秘的四位数。 在0~9十个数字中，任意选择四个数字，组成最大的数和最小的数，如选2，9，8，4这四个数字，组成最大的数是9842，最小的数是2489。 然后两数相减，并把得数的四个数字重新组成一个最大的数和最小的数，再次相减…… 在这样不断重复的过程中，你能找到一个神秘的四位数吗？ 将神秘的四位数填在下面的钥匙上，去开启智慧城堡的大门吧！ 【答案】6174；图见详解 【分析】先根据题目要求，用所给的四个数字2、9、8、4，按照这样的操作继续计算，会发现得到一组被减数、减数、差都是由相同数字组成的算式。然后再任选一组进行验证，例如3、6、2、1，分别组成最大的四位数和最小的四位数，再分别相减，然后将结果再分别组成一个最大的数和最小的数，再分别相减……找出相同的这个四位数，如果两次结果一样，就是神秘的四位数；据此解答。 【详解】选2、9、8、4： 9842－2489＝7353，7533－3357＝4176，7641－1467＝6174。 选3、6、2、1： 6321－1236＝5085，8550－558＝7992，9972－2799＝7173，7731－1377＝6354， 6543－3456＝3087，8730－378＝8352，8532－2358＝6174，7641－1467＝6174。 两次算出的最后一个算式的被减数、减数、差都是由1、4、6、7组成的，且结果都是6174。 答：这个神秘的四位数是6174。 如图： 19．用计算器验算下面等式是否成立。 12×462＝264×21 42×132＝231×24 96×253＝352×69 93×286＝682×39 像上面这样的等式叫回文式。你还能写出两位数与三位相乘的回文式吗？ 回文式： 【答案】见详解 【分析】观察算式可知，等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，而这种式子又叫做回文式。据此即可写出算式，然后用计算器验算即可。 【详解】12×693＝396×21 13×682＝286×31 84×132＝231×48 82×154＝451×28 【点睛】正确理解回文式算式的特点是解决本题的关键。 20．在0~9中任取3个不同的数字，组成最大的数和最小的数并求出它们的差，再将差中的3个数字组成最大的数和最小的数并求差……重复以上过程，你发现了什么规律？试一试！ 【答案】选取1，2，3： 321－123＝198，981－189＝792，972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，… 规律：无论选取什么数字，最后都会得到495。 【分析】通过三个不同的数字（0除外）， 组成最大三位数和最小三位数，求出它们的差，再根据差中的三个数字再组成最大三位数和最小三位数，再求差，如此反复，直到差是一个固定值为止，然后得出结论即可解答。 【详解】选取1，2，3； 321－123＝198； 981－189＝792； 972－279＝693； 963－369＝594； 954－459＝495； 规律：无论选取什么数字，最后都会得到495。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课 有趣的算式 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）巩固计算器使用：能熟练使用计算器进行较大数目的四则运算，验证猜想。 （2）发现规律：能通过观察算式和计算结果，发现并总结简单的数学规律（如“宝塔数”规律、“缺8数”规律、个位是5的两位数平方规律等）。 （3）应用规律：能利用发现的规律直接写出类似算式的得数，提高计算速度和准确性。2、重难点。 重点： 探索规律的方法： 掌握通过计算前几个算式，观察结果特征，从而推导出后续算式结果的方法。 难点： 准确描述规律： 学生往往能看出规律，但很难用准确、简洁的数学语言描述出来。 模块二 预习引导 一、“宝塔数”与回文数规律（1的自乘）： 1、算式示例： 1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=123454321 2、核心规律： 积是一个回文数（从左往右读和从右往左读都一样）。 积的数字是从1开始递增，增加到与因数位数相同的数字，然后再递减回到1。例如因数是4个1，积就中间是4，即1234321。 拓展应用：题目要求继续写出两个这样的式子，即111111×111111=12345654321 等。 二、“缺8数”与9的自乘规律： 1、算式示例： 99×99=9801 999×999=998001 9999×9999=99980001 2、核心规律： 积的结构固定为四部分：9...80...1。 积中 9的个数 = 因数中9的个数 - 1。 积中 0的个数 = 因数中9的个数 - 1。 中间永远是 8，末尾永远是 1。 直接写积： 根据规律，可以直接写出99999×99999=9999800001 等，无需计算器。 三、个位是5的两位数平方规律： 1、算式示例： 15×15=225→1×(1+1)=2 ，后面接25。 25×25=625→2×(2+1)=6 ，后面接25。 35×35=1225→3×(3+1)=12 ，后面接25。 2、核心规律（头同尾合十的特例）： 积的末两位永远是 25。 积的前几位数字 = 十位数字 × (十位数字 + 1)。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．先观察下面各算式，找出规律，再填数。 37037037×3＝111111111 37037037×6＝222222222 37037037×9＝333333333 37037037×（    ）＝444444444 A．11 B．12 C．15 2．根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（    ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 3．已知算式1234×10001＝12341234，2345×10001＝23452345，3456×10001＝34563456，…，按照这样的规律，下面算式不正确的是（    ）。 A．4567×10001＝45674567 B．8765×10001＝87658765 C．5491×10001＝54915491 D．3210×10001＝32013201 4．已知123456789×9＝1111111101，123456789×18＝2222222202，那么，123456789×（    ）＝8888888808。 A．2 B．8 C．32 D．72 5．利用计算器来探索规律，计算出前三道，最后一道直接写出得数。（    ） A．9；1089；10889；1110889 B．9；1089；110889；11108889 C．9；1089；110889；1111088889 6．一组算式的排列如下：；；；；…则第六个算式应该是（    ）。 A． B． C． D． 7．小红用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积。 7×9＝63    77×99＝7623    777×999＝776223 照此规律，第7个算式的积是（    ）。 A．777777762222222 B．7777776222222 C．77777762222223 D．7777762222223 二、填空题 8．探索“数字山”。（填一填） 1＝1 1＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) … “数字山”接下来两层的得数是( )和( )。 9．有趣的“12345679”，它里面可没有数字“8”呀。找规律，填一填。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333    12345679×54＝________ 12345679×36＝________    12345679×63＝________ 12345679×45＝________    12345679×72＝________ 10．观察下面的算式和得数，根据其中的规律写出下一个等式。 1×9＋1×2＝11 12×18＋2×3＝222 123×27＋3×4＝3333 1234×36＋4×5＝44444 ( ) 11．找规律，填一填。 1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 ( )×8＋5＝( ) 12．观察下面算式的规律，可知555555×9＝( )。 222222×9＝1999998 333333×9＝2999997 444444×9＝3999996 13．细心观察前三个算式的乘数与得数，发现规律，再根据规律填空。 2×2－1×1＝3    3×3－2×2＝5    4×4－3×3＝7 5×5－4×4＝( )     ( )×( )－5×5＝( ) 10×10－( )×( )＝( ) ( )×( )－( )×( )＝45 14．先用计算器计算下面各题，再继续写出两个这样的算式和结果。 9×9－1＝( )    98×9－2＝( )    987×9－3＝( ) 9876×9－4＝( )    98765×9－5＝( ) ________________    ________________ 三、计算题 15．先用计算器算出前四道算式的结果，再根据规律直接写出后面算式的结果。 12×8＋2＝    123×8＋3＝ 1234×8＋4＝    12345×8＋5＝ 123456×8＋6＝    1234567×8＋7＝ 12345678×8＋8＝    123456789×8＋9＝ 16．找出第一排各题结果包含的规律，再按规律写出第二排各题的结果。 11×14＝154    11×51＝561    11×36＝3961    11×253＝2783 11×27＝    11×54＝    11×72＝    11×123＝ 四、解答题 17．奇怪的142857。 计算并观察下面算式得数的特点，你能直接写出宝盒上算式的得数并找到密码吗？ _______ _______ _______ _______ ___________ _______ 算一算 _______ 18．寻找神秘的四位数。 在0~9十个数字中，任意选择四个数字，组成最大的数和最小的数，如选2，9，8，4这四个数字，组成最大的数是9842，最小的数是2489。 然后两数相减，并把得数的四个数字重新组成一个最大的数和最小的数，再次相减…… 在这样不断重复的过程中，你能找到一个神秘的四位数吗？ 将神秘的四位数填在下面的钥匙上，去开启智慧城堡的大门吧！ 19．用计算器验算下面等式是否成立。 12×462＝264×21 42×132＝231×24 96×253＝352×69 93×286＝682×39 像上面这样的等式叫回文式。你还能写出两位数与三位相乘的回文式吗？ 回文式： 20．在0~9中任取3个不同的数字，组成最大的数和最小的数并求出它们的差，再将差中的3个数字组成最大的数和最小的数并求差……重复以上过程，你发现了什么规律？试一试！ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $