2026年杭州中考考前小练（第五天）

**基本信息** 聚焦锐角三角函数应用，以实际场景与几何图形为载体，系统覆盖定义理解、模型构建及综合计算，强化数学眼光与思维的应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数定义|第2、12题|直接考查边角关系|从定义出发，建立正弦、余弦、正切与直角三角形边角的对应| |实际应用|第3、5、6、11题|结合梯子、跷跷板等场景|将实际问题抽象为直角三角形模型，培养模型意识| |几何图形计算|第13、16、17题|正六边形、方格纸等背景|综合图形性质与三角函数，发展几何直观与推理能力| |基础运算|第18题|简单三角值计算|巩固特殊角三角函数值，提升运算能力|

2026年杭州中考考前小练（第五天） 1.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A＝87°，∠B＝51°，AB＝60，则点A到BC的距离（　　） A．60sin51° B．60cos51° C． D．60tan51° 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【分析】过点A作AD⊥BC，构造Rt△ADB，则AD的长度就是点A到BC的距离，利用求出AD的长即可． 【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADB＝90°， ∵∠B＝51°，AB＝60， ∴， ∴AD＝60sin51°． 故选：A． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， ∵sinB，tanB ∴b＝c•sinB，b＝a•tanB， 因此选项A不符合题意；选项B符合题意；选项C不符合题意；选项D不符合题意； 故选：B． 3.图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD＝90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（　　） A．acosθ+bsinθ B．asinθ+bsinθ C．acosθ+bcosθ D．asinθ+bcosθ 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【分析】过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC，交直线DE于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出CF，计算即可． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC，交直线DE于H， 在Rt△DCH中，∠D＝θ，CD＝b， 则CH＝CD•sinD＝bsinθ， ∵∠D＝θ， ∴∠DCH＝90°﹣θ， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACF＝θ， ∴CF＝AC•cos∠ACF＝acosθ， ∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ， 故选：A． 4.如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　） A．a•sinα B．a•cosα C．2a•sinα D．2a•cosα 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【分析】根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可得到结论． 【解答】解：作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝a， ∴CDBC， ∵∠ACB＝α，cos∠ACD， ∴cosα， ∴BC＝2acosα， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【分析】根据线段中点的定义可得OAAB＝120cm，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵O为AB的中点，AB＝240cm， ∴OAAB＝120（cm）， 在Rt△AOH中，∠BAH＝α， ∴OH＝OA•sinα＝120•sinα（cm）， 故选：A． 6.如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，则树高度AB为（　　）米． A．20tanα B． C．20sinα D． 【分析】根据题意可得：∠ABC＝90°，∠ACB＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米， ∴∠ACB＝α， 在Rt△ABC中，AB＝BC•tanα＝20tanα（米）， 故选：A． 7.如图，在中，， ，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数值的定义，可直接求出AB的值． 【详解】解：在中，，， ， 又， AB=6． 故选择：C． 8.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 9.如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，设∠A＝α，则（　　） A．BD＝AB•sin2α B．BD＝AB•sinα•tanα C．AD＝AB•cosα•sinα D．AD＝AB•cosα•tanα 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【分析】根据正弦，余弦及正切的定义，依次对所给选项进行判断即可． 【解答】解：由题知， ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线， ∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． 在不同的直角三角形中， 根据正弦、余弦及正切的定义可知， sinα； cosα； tanα； AB•sin2α＝AB， 由得，BC2＝AB•BD， 所以， 即BD＝ABsin2α． 故A选项符合题意． AB•sinα•tanα＝AB， 显然BC与CD一定不相等， 所以AB•sinα•tanα一定不等于BD． 故B选项不符合题意． AB•cosα•sinα＝ABCD， 显然AD与CD一定不相等， 所以AB•cosα•sinα一定不等于AD． 故C选项不符合题意． AB•cosα•tanα＝ABBC， 显然AD与BC不一定相等， 所以AB•cosα•tanα不一定等于AD． 故D选项不符合题意． 故选：A． 11.仰角为α，已知双眼离地面为1.6米，则旗杆AB的高度为（　　） A．（1.6+20sinα）米 B．（1.6）米 C．（1.6+20tanα）米 D．（1.6）米 【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角和邻边，要求出对边，直接用正切即可解答． 【解答】解：如图，BE＝20米，DE＝1.6米， 四边形DEBC为矩形，则BC＝DE＝1.6米，CD＝BE＝20米， 在Rt△ADC中， ∵tan∠ADC， ∴AC＝20tanα， ∴AB＝BC+AC＝（1.60+20tanα）米． 故选：C． 12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【专题】解直角三角形及其应用． 【分析】直接根据已知表示出三角形各边进而得出答案． 【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，cosB， ∴设BC＝3x，则AB＝5x， 故AC＝4x， 则tanA． 故选：C． 13.如图，三个正六边形如图摆放，则sin∠ACB＝　　 ． 【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】根据正六边形的性质构造直角三角形ACD，再根据正六边形的性质用正六边形的边长a，表示AD、CD，由勾股定理求出AC，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，由正六边形的性质可知，AD⊥CD，OB＝OC＝BD， 设正六边形的边长为a，则AG＝aa， ∴AD＝4a＝2a， 在Rt△ADC中，AD＝2a，CD＝3OB＝3a， ∴ACa， ∴sin∠ACB． 故答案为：． 14.如图，已知，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【详解】解：过作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ． 【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，得到CD＝DE，根据三角形面积公式得到CDx，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线， ∴∠CBP＝∠PBA， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP， ∵∠C＝90°，， ∴， ∴设BC＝3x，AC＝4x， ∴AB5x， 设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E， 16.图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　　 ． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【分析】连接BC，过点D作DF⊥CE，垂足为F，设正六边形的边长为a，则AB＝4a，然后在等腰△DEC中，利用等腰三角形的三线合一以及含30度角的直角三角形的性质求出EC的长，从而求出BC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图：连接CE并延长交AB的延长线于点G， 设正六边形的边长为a，则AB＝4a， 在△DEC中，DE＝DC＝a，∠EDC＝120°， ∴∠DCE＝∠DEC30°， 在Rt△CDF中，DFCDa，CFDFa， ∵DE＝DC，DF⊥CE， ∴CE＝2CFa， ∴CG＝2.5EC＝2.5a， 在Rt△AGC中，AG＝AB+BG＝4a+0.5a＝4.5a， ∴tan∠BAC， 故答案为：． 17.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 18.计算：cos60°﹣2sin245°30°﹣sin30°． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【解答】解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年杭州中考考前小练（第五天） 1.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A＝87°，∠B＝51°，AB＝60，则点A到BC的距离（　　） A．60sin51° B．60cos51° C． D．60tan51° 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 3.图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD＝90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（　　） A．acosθ+bsinθ B．asinθ+bsinθ C．acosθ+bcosθ D．asinθ+bcosθ 4.如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　） A．a•sinα B．a•cosα C．2a•sinα D．2a•cosα 5.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 6.如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，则树高度AB为（　　）米． A．20tanα B． C．20sinα D． 7.如图，在中，， ，，则长为（ ） A. B. C. D. 8.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 9.如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，设∠A＝α，则（　　） A．BD＝AB•sin2α B．BD＝AB•sinα•tanα C．AD＝AB•cosα•sinα D．AD＝AB•cosα•tanα 11.仰角为α，已知双眼离地面为1.6米，则旗杆AB的高度为（　　） A．（1.6+20sinα）米 B．（1.6）米 C．（1.6+20tanα）米 D．（1.6）米 12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 13.如图，三个正六边形如图摆放，则sin∠ACB＝　 　 ． 14.如图，已知，，，，则______． 15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为 ． 16.图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 ． 17.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 18.计算：cos60°﹣2sin245°30°﹣sin30°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $