精品解析：浙江省杭州市育才中学2025-2026学年下学期九年级数学阶段学情自测试卷

2025−2026学年浙江省杭州市拱墅区育才中学九年级下学期周测数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 某天 ，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ） 城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州 气温 A. 哈尔滨 B. 广州 C. 武汉 D. 杭州 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，有理数的减法，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义，分别求得各地与北京的温差后选取最小的温差所对应的城市即可． 【详解】解：哈尔滨与北京的温差为， 广州与北京的温差为， 武汉与北京的温差为， 杭州与北京的温差为， 则与北京气温最接近的城市是杭州， 故选：D． 2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 故选：C． 3. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将用科学记数法应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示时，先确定的取值， ∵科学记数法要求 ， ∴， 原数的小数点向左移动位得到， 可得， ∴， 故选：D． 4. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中， 与 是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据 与 以原点为位似中心，相似比是2，再根据 上一点的坐标是，则在 中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标． 【详解】解：∵ 与 是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标是． 故选D． 6. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ） A. x2=102+（x-5-1）2 B. x2＝（x﹣5）2+102 C. x2＝102+（x+1-5）2 D. x2＝（x+1）2+102 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意做出简图如下，在中应用勾股定理即可． 【详解】根据题意做出简图如下： 其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5 中，由得， 故选C． 【点睛】本题考查了列方程解应用题，实质是考查了勾股定理的应用，做题过程中要注意做出简图是本题的关键． 7. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 8. 如图，是 的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点 为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， ∴无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是 的角平分线， ， ， ， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D． 9. 点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的解析式可知，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，再根据、、之间的大小关系判断、、的大小关系． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， A选项：若，当 、，则，故A选项错误； B选项：若，当 、，则，故B选项错误； C选项：若，当、，则，得到，故C选项错误； D选项：若，， ，，故D选项正确． 故选：D． 10. 如图1，在 中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边 向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积 （单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ） A. B. 时，为直角三角形 C. D. 时，面积最大 【答案】C 【解析】 【分析】观察图像可知，当时，点P与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8，故A选项错误；根据图像当 时，此时， ，过P点作于D点，根据面积公式求得 ，证明，列出比例式求得，进而可得 ，故C选项正确；当 时，可得 ，， ， ．由列出比例式求得，，则可得，．由勾股定理的逆定理可得不是直角三角形，故B选项错误；求出S与t的关系式为，则可得当时，，故D选项错误． 本题考查动点的函数图像，相似三角形的判定和性质，从函数图像中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：观察图像可知，当时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发， ∴， ∵， ∴， 故A选项错误； 由图像可知，当 时，此时，， 过P点作于D点，如图，则， ∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∴P点是的中点， ∴， ∴， 故C选项正确； 当 时，，， ， ， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴不是直角三角形， 故B选项错误； 由题意得 ，， ∵， ∴， 解得， ∴， 当时，， 故D选项错误． 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集即可． 【详解】解： 解①得 ． 解②得． ∴不等式组的解集为． 13. 如图， 是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与 的切线 所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设 与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设 与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数， 可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能， 只有123，321是“平稳数”， ∴恰好是“平稳数”的概率为． 故答案为：． 15. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． 观察可知把看成常数，从左往右数，的第三项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，把b看成常数， ∴从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第三项的系数为， 而中 ， 第三项的系数是10， 故答案为：10． 16. 如图，在平行四边形 中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形 的面积之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的面积，三角形的面积，同高不同底的三角形的面积之比，相似三角形的性质与判定． 先证明，可得，设的面积为，即可表示出各个三角形的面积，即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形 中，有 ， ∴， 由折叠，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即 ∴，则． 设的面积为，则，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 三、解答题（共10小题） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂，三角函数，二次根式，再计算绝对值，最后计算加减即可； （2）先计算括号里的加法，再计算除法，最后将 代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当 时，原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得：． 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘 ，得， 整理得， 解得， 检验：当时，，分式的分母为0，故是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 如图，在 中，，点O为中点，点D在边上，连接 ． （1）如图1，若， 于点E，求证： ； （2）如图2，已知．若点F在边上， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ； （2）1或3 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得 ，再证明，即可得出结论； （2）连接 ，过点O作 于点G， 于点H，由等腰直角三角形的性质得 ， 平分，，则 ，，，得 ，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接 ，过点O作 于点G， 于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ ， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 20. 某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知测试综合得分大于70分的学生劳动素养为优良． （1）补全频数分布直方图． （2）该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如下： （2）980人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能够读懂统计图，用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据各组频数之和等于样本容量即可求出 的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解： 的频数为； 【小问2详解】 （人）， 答：估计劳动素养为优良的人数为980人． 21. 跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】（1）①两；②7；③27 （2）48 【解析】 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【小问1详解】 解：① ，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 22. 如图，在矩形 中，点E在边上（不与点A，D重合），连接，． （1）若点E是边的中点．求证：． （2）设，，． ①求证：． ②若， ，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵矩形 ， ∴ ，， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） ①∵矩形 中，点在边上，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】本题考查矩形性质及应用，涉及全等三角形判定、锐角三角函数等知识，解题关键是用的代数式表示、、的长度． （1）根据矩形的性质，用证明即可证； （2）①根据三角函数定义，把、用线段比表示，化简即可得证； ②过作于 ， ，则，用的代数式表示、、的长度，即可得到的值，即的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过作于 ，如图， ∵， ∴， 设 ，则， 中，， ∵ ，， ∴，， 中，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， （1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案； （2）先求出对称前该抛物线经过点 ，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案； （3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当 时，当时，随的增大而减小，将 代入关系式，可得答案. 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点 ． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当 时，如图2，当时，随的增大而减小， 当 时，，则成立， 即 恒成立． 所以或 时，始终成立． 24. 如图，已知是 的直径，是 上一点，过作直线与的延长线交于 点，过点A作 于点，连结、，且 ． （1）求证：直线是 的切线； （2）若，，求与 的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结 ．当四边形 面积最大时，求的长度． 【答案】（1） 解：连接 ， 则， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵是 的直径， ∴， ∴ ， ∴直线是 的切线； （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ， 可得 ， ，由直径性质，得，可得，即得直线是 的切线； （2）证明 ，得，得，可得 ，证明 ，得, ，由,得； （3）过点E作 于点G，则 ，当四边形 面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得 ，∴ ，得，由，得,即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 解得 （舍去）或； 【小问3详解】 过点E作 于点G， 则 ， 当四边形 面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年浙江省杭州市拱墅区育才中学九年级下学期周测数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 某天 ，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ） 城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州 气温 A. 哈尔滨 B. 广州 C. 武汉 D. 杭州 2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中， ，则（ ） A. B. C. D. 3. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将用科学记数法应表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 如图，在平面直角坐标系中，与 是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 6. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ） A. x2=102+（x-5-1）2 B. x2＝（x﹣5）2+102 C. x2＝102+（x+1-5）2 D. x2＝（x+1）2+102 7. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 8. 如图， 是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边 相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与 相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图1，在中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边 向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积 （单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ） A. B. 时，为直角三角形 C. D. 时，面积最大 二、填空题（共6小题） 11. 因式分解：________． 12. 不等式组的解集为________． 13. 如图，是地球的示意图，其中 表示赤道， ，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线 所成的锐角）的大小为_______°． 14. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______． 15. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 16. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形的面积之比为___________． 三、解答题（共10小题） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中， ，点O为中点，点D在边 上，连接 ． （1）如图1，若， 于点E，求证： ； （2）如图2，已知．若点F在边上， ，求的长． 20. 某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知测试综合得分大于70分的学生劳动素养为优良． （1）补全频数分布直方图． （2）该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数． 21. 跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 22. 如图，在矩形中，点E在边上（不与点A，D重合），连接，． （1）若点E是边的中点．求证：． （2）设，，． ①求证：． ②若， ，求k的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 24. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作 于点，连结、，且 ． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线 上方，连结 ．当四边形 面积最大时，求 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $