10.3分式的加减自主达标测试题2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式加减运算，融合实际应用与新定义题型，通过沙漠治理、加油方式比较等情境培养运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|分式加减法则、化简|结合图形推理（第6题）考查运算逻辑| |填空题|8/24|分式化简、新定义|以“友好分式组”（第16题）强化概念理解| |解答题|10/72|实际应用、新定义、规律探究|沙漠治理（20题）体现数学建模，“平衡分式”（21题）培养创新思维，加油方式比较（25题）发展数据分析能力|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《10.3分式的加减》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 3．计算的结果等于（　　） A．3 B． C． D． 4．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 7．已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 8．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．计算的结果是______． 10．已知，则 ______ ．（填“”，“”，“”） 11．计算的结果是_________． 12．已知公式（），则表示的公式是______． 13．已知，则________． 14．计算的结果是_________． 15．小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是______． 16．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（6分）计算： (1)． (2)． 19．（6分）已知，，为常数，求的值． 20．（6分）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 21．（8分）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 22．（8分）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 23．（10分）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 24．（10分）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 25．（10分）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解答此题的关键． 根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查同分母的分式加法，根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的运算法则是解题的关键．根据法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 6．C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选C． 7．C 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ， ∴的值，以，，，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了分式的混合运算，由已知条件可得，然后求出和的差，根据差的正负即可比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先把分母整理成平方差、完全平方公式的形式，再通分进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了分式的加减，根据已知可得，进而得出． 【详解】解：． 移项得：． ∴． ∴． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减运算，将转化为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据分式的加减运算法则，先通分，再加减． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果． 【详解】解：抄错时，有， 则， 所以． 由于抄写的M比原来大， 故正确的M为．代入原式， 正确结果为． 故答案为：． 16．②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减的运算法则． （1）先通分，再进行同分母的分式加法运算； （2）先通分，再进行同分母的分式减法运算； （3）先通分，再进行同分母的分式减法运算； （4）先通分，再进行同分母的分式加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19． 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 20． 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 21．(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 22．(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减法，分式的规律性问题，弄清题中的拆项法是解题的关键． （）根据给出的式子，写出用x表示的一般规律即可； （）利用找出的一般规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 24．(1)， (2)或或或或 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，约分，因式分解，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义将变形为即可求解；根据新定义将变形为，然后再因式分解求解； （2）将变形为，再约分、分离常数得到，然后讨论为的因数求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， ∵为整数，且分式的值为整数， ∴为整数， ∴或或 ∴或或或或或（舍，此时分母为0）， ∴满足条件的整数x的值为或或或或． 25．(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 学科网（北京）股份有限公司 $