考点11 分式的加减乘除运算（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点11 分式的加减乘除运算 考点一：分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 考点二：分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 考点三：分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 题型一：同分母分式加减法 分母不变，分子整体加减，减式要加括号，别漏符号。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加法或减法运算，熟练掌握分式加法或减法运算法则，是解题的关键． （1）根据同分母减法运算法则，进行计算即可； （2）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （3）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （4）根据同分母减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 4．（2026·全国·模拟预测）化简的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型二：异分母分式加减法 先通分再运算，分子整体相加减，减式必加括号，结果一定要化成最简分式。 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）计算等于______． 【答案】 【分析】先化为同分母分式的减法计算求解． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同分母分式的运算法则计算即可； （2）通分化为同分母分式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）阅读下列计算过程，并回答所提出的问题． (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____． (2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________． (3)正确答案是________________． 【答案】(1)A (2)不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母 (3) 【分析】本题考查了分式的加减． （1）解答异分母分式的加减运算，首先要将异分母转化为同分母，即通分，观察原题，A步是实现通分的步骤，但是在A中，很明显第二个分式的符号有误，因此从A步开始就出现了错误； （2）A步进行通分后，A到B步中，就转化成同分母分式的加减运算，分母不变，直接让分子相加即可；而题目给出的计算过程，直接丢掉了分式的分母，显然这种解法是错误的； （3）先对分式进行通分，再依据分式加减法则进行分子的加减运算，最后化简结果． 【详解】（1）解∶由于A步中，第二个分式的符号有误，因此从A步开始就出现了错误． 故答案为∶A； （2）解：从到不正确．分式的分母被直接丢掉，分式加减运算过程中不能去掉分母，应当保留分母．因此从到不正确． 故答案为∶ 不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母． （3）解： 故答案为：． 题型三：整式与分式相加减 9．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 10．（2025·江苏无锡·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通分，再进行分式的加减运算． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算．掌握分式加减运算法则是解题的关键．也考查了平方差公式． 11．（25-26八年级上·四川广安·期末）若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以． 题型四：已知分式恒等式，确定分子或分母 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 14．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 15．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）若，则__________． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 题型五：分式加减混合运算 先通分、有括号先算括号，分子整体加减带括号，步步化简，最后结果必须约成最简分式。 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（25-26八年级下·山西晋城·月考）下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：         （第1步）         （第2步）         （第3步）         （第4步）         （第5步）         （第6步） 任务： (1)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______． (2)以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第______步，错误的原因是______，并直接写出正确的结果：_______． (3)除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议． 【答案】(1)3；分式的基本性质 (2)6；去括号时，括号里的第二项没有乘3； (3)分式化简的结果要化成最简分式或整式等 【分析】此题考查的是分式的运算法则，正确的按照化简和运算法则进行运算是解决此题关键． （1）根据分式通分的步骤进行判断即可； （2）根据去括号法则解答，按照分式的化简步骤重新计,即可； （3）分式化简的结果要化成最简分式或整式等． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第3步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：3，分式的基本性质； （2）解：以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第6步，错误的原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3， 正确的解答过程如下： ； （3）解：答案不唯一，如：分式化简的结果要化成最简分式或整式等． 19．（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 20．（2025八年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算； （2）分式的公分母为，先通分，在进行计算； （3）直接进行通分，在进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键． 题型六：分式加减的实际应用 21．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 22．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 23．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 24．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 题型七：分式乘除混合运算 分式乘除混合运算易错：先除法变乘法，全员因式分解，交叉约分，只能约因式不能约单项，最后化最简。 25．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 27．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 28．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先约分、通分，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （3）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算； （4）先乘法，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型八：含乘方的分式乘除混合运算 29．（25-26八年级上·四川自贡·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 30．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 31．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 32．（25-26八年级上·四川南充·周测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型九：分式乘除的遮挡计算问题 分式乘除遮挡计算易错：先把遮挡部分当整体，先因式分解、交叉约分，再列等式反求遮挡式，千万别拆项单独算。 33．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______． 【答案】 【分析】代数式★为，计算即可． 本题考查了分式的除法，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 34．（24-25八年级下·山西晋城·月考）如图，老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中的一部分，则老师用手遮住的代数式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式加减乘除混合运算，解题的关键是利用加法与减法，乘法与除法是互为逆运算，把除法转化为乘法，减法转化为加法；根据题意和运算法则直接列式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 答：老师捂住的部分为． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示： (1)聪聪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据聪聪的猜测完成计算； (2)第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题 的标准答案是，请你通过计算说明墨滴遮住的内容是什么． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查分式的乘除法运算法则，包括分式除法变乘法以及对分式分子分母进行因式分解和约分。解题的关键在于熟练运用分式运算法则，在（1）中准确进行分式运算；在（2）中通过设未知数，利用已知答案构建等式并求解。 （1）已知猜测被墨滴遮住的内容为“”，需要根据分式的运算法则进行计算。先将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数，然后对分子分母进行因式分解，再约分得到结果。 （2）设被墨滴遮住的内容为，根据已知的标准答案列出等式。通过先计算等式左边的分式除法，再根据等式两边相等的性质，求出的表达式，进而得到，也就是被墨滴遮住的内容。 【详解】（1）解：原式 （2）解：设墨滴遮住的内容是，则 墨滴遮住的内容是． 36．（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）． (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据因式分解和分式的运算法则进行化简，代入计算即可，注意分式的分母和除数不为0； （2）根据题意可知，被墨水遮住的部分是，再根据分式的运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：被墨水遮住的部分是： ． 【点睛】注意第一问，选取a的值时，分式的分母和除数不为0． 题型十：分式的化简求值 分式化简求值易错点：先化简再代入，取值必使原分式分母不为 0，不能直接代原式硬算，也不能取让分母为 0 的数 37．（重庆市沙坪坝区2026年初中适应性监测数学试题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． ， 原式． 38．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 39．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先算括号内的减法，再算加法，化简得到最简结果，然后根据负整数指数幂的运算法则计算出的值，再将其代入求出结果． 【详解】解：原式， ， 原式． 40．（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 题型十一：分式最值 41．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 42．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 43．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料2即可求解； （2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解； （3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 44．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 题型十二：分式的规律计算问题 45．（25-26七年级下·全国·周测）观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知算式的序号与式子的对应关系，可直接推出第（5）式； （2）通过分析已知算式的分子、分母与序号的关系，总结出一般规律； （3）利用（2）中的规律对分式进行裂项，再通过化简求解方程． 【详解】（1）解：观察已知算式： ①，②，③，④ 可知第式为： 因此第（5）式为：． （2）解：由上述规律可得，一般规律为：． （3）解：∵ ， ∴，整理，得， 即，解得． 检验：当时，原方程中各分母均不为零，故是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了知识点分式的裂项规律与分式方程的求解，解题关键是观察算式总结出裂项规律，并利用裂项相消法化简方程，最后注意检验分式方程的解． 46．（25-26七年级上·四川成都·月考）观察下列等式：；；；将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______； (2)探究并计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，分式的计算，通过观察所给的式子探索出一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子直接写出即可； （2）利用探索的规律将所求式子化为…，再求值即可； （3）利用探索的规律将所求式子化为，再求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ． 47．（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 48．（25-26八年级下·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得 ，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求的值． 【答案】(1)，见解析． (2)． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据（1）的规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ∴． （2） ； 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 题型十三：分式的混合运算综合 49．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 【答案】(1) (2)当x取时，这个式子的值为正整数． 【分析】（1）仿照示例解答即可； （2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再利用分式的加减法与乘法运算运算法则化简可得，然后根据整数性质求出x符合条件的整数的值即可． 【详解】（1）解：解法一： 将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二： 在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． （2）解：， ， ， ， ， ， 要使为正整数，则整数的所有可能取值为，即整数的所有可能取值为， 经检验，当x取时，分式的分母均不为零， 故当x取时，这个式子的值为正整数． 50．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先分别计算整式乘法与分式除法部分，将整式乘法展开合并同类项，分式除法转化为乘法后约分，再将两部分通分合并得到最简分式；最后代入a的求值结果计算最终数值． 【详解】解：原式 ， 原式． 51．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）先化简，再求值． ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了分式的计算，掌握分式化简的方法再代入求值是解题的关键． 先根据代数式混合运算的法则将原式化简，再将x的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得原式． 52．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的性质以及分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和二次根式的性质化简，再运用分式的混合运算法则化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴ 则原式 ， 当时， 原式． 1．（2026·天津滨海新区·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 3．（2026·安徽淮南·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 4．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 5．（25-26八年级下·江苏·月考）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将分式除法化为乘法并化简，再根据“结果为整式”的条件，判断“□”中的式子必须是含有因式的整式，从而选出正确选项．需要注意因式的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式，这几个相乘的整式就叫做这个整式的因式． 【详解】解：设“□”中的式子为， ， 原式， 原式， 运算结果为整式， 需要为含有因式的整式． 故选：． 6．（2026·湖北咸宁·模拟预测）化简：_______． 【答案】 【分析】先利用分式的基本性质将原式化为同分母分式，再根据同分母分式的加法法则计算， 对分子因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解：． 7．（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 8．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）已知，则分式的值为___________ 【答案】 【分析】根据已知等式得到，将其代入所求分式，约分计算即可得到结果． 【详解】解：，则， 又，即， ∴． 9．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到化简结果，再进一步求出最小值即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为． ， ∵a为大于1的整数， ∴当时，取得最大值为， 此时取得最小值为， 即的最小值为． 10．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知是实数，并且，则代数式的值是____． 【答案】2020 【分析】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【详解】解：， ， ． ∴ ． 11．（2026·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】对代数式的分子进行化简，运用整式的运算规则展开并合并同类项。对代数式的分母进行因式分解，运用完全平方公式．将化简后的分子分母进行约分，再代入 的值计算． 【详解】， ∵， ∴， 代入化简结果： ． 12．（2026·湖南益阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【答案】(1)② (2)化简过程见解析，化简结果为，分式的值为． 【分析】（1）第②步计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：观察可知，第②步出现错误，错误原因是计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）解：原式 ， 当时，原式． 13．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【详解】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 14．（山西临汾市兴国实验学校等校2025—2026学年下学期期中质量监测试题（卷）八年级数学）学完分式运算后，老师出了一道题：化简. 小明的做法：原式． 小芳的做法：原式． (1)以上解题过程中______同学是正确的，_____同学是错误的．请写出错误的原因：________； (2)请化简：． 【答案】(1)小芳，小明，第2个分式中的分子未加括号 (2) 【分析】（1）理解题意，结合异分母分式相加的法则进行分析，即可作答． （2）先把化简得，再运用同分母分式相加的法则进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：以上解题过程中小芳同学是正确的，小明同学是错误的； 观察解题过程得出：错误的原因是第2个分式中的分子未加括号． （2）解：依题意， ． 15．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【详解】（1）解∶， ∴，； （2）解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； （3）解∶， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点11 分式的加减乘除运算 考点一：分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 考点二：分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 考点三：分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 题型一：同分母分式加减法 分母不变，分子整体加减，减式要加括号，别漏符号。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 4．（2026·全国·模拟预测）化简的结果是_______． 题型二：异分母分式加减法 先通分再运算，分子整体相加减，减式必加括号，结果一定要化成最简分式。 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）计算等于______． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）化简： (1)； (2)． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 8．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）阅读下列计算过程，并回答所提出的问题． (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____． (2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________． (3)正确答案是________________． 题型三：整式与分式相加减 9．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 10．（2025·江苏无锡·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·四川广安·期末）若，则的值为______． 12．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 题型四：已知分式恒等式，确定分子或分母 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 14．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）若，则__________． 16．（25-26七年级上·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值． 题型五：分式加减混合运算 先通分、有括号先算括号，分子整体加减带括号，步步化简，最后结果必须约成最简分式。 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 18．（25-26八年级下·山西晋城·月考）下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：         （第1步）         （第2步）         （第3步）         （第4步）         （第5步）         （第6步） 任务： (1)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______． (2)以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第______步，错误的原因是______，并直接写出正确的结果：_______． (3)除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议． 19．（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 题型六：分式加减的实际应用 21．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 22．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 23．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 24．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 题型七：分式乘除混合运算 分式乘除混合运算易错：先除法变乘法，全员因式分解，交叉约分，只能约因式不能约单项，最后化最简。 25．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 27．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 28．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八：含乘方的分式乘除混合运算 29．（25-26八年级上·四川自贡·期末）计算： 30．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 31．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 32．（25-26八年级上·四川南充·周测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型九：分式乘除的遮挡计算问题 分式乘除遮挡计算易错：先把遮挡部分当整体，先因式分解、交叉约分，再列等式反求遮挡式，千万别拆项单独算。 33．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______． 34．（24-25八年级下·山西晋城·月考）如图，老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中的一部分，则老师用手遮住的代数式是___________． 35．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示： (1)聪聪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据聪聪的猜测完成计算； (2)第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题 的标准答案是，请你通过计算说明墨滴遮住的内容是什么． 36．（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）． (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ． 题型十：分式的化简求值 分式化简求值易错点：先化简再代入，取值必使原分式分母不为 0，不能直接代原式硬算，也不能取让分母为 0 的数 37．（重庆市沙坪坝区2026年初中适应性监测数学试题）先化简，再求值：，其中． 38．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 39．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 40．（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 题型十一：分式最值 41．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 42．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 43．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 44．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 题型十二：分式的规律计算问题 45．（25-26七年级下·全国·周测）观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 46．（25-26七年级上·四川成都·月考）观察下列等式：；；；将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______； (2)探究并计算：； (3)探究并计算：． 47．（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 48．（25-26八年级下·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”． 例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得 ，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)将分式表示成部分分式； (2)按照（1）的规律，求的值． 题型十三：分式的混合运算综合 49．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 50．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：，其中． 51．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）先化简，再求值． ，其中， 52．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中． 1．（2026·天津滨海新区·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 3．（2026·安徽淮南·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏·月考）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北咸宁·模拟预测）化简：_______． 7．（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 8．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）已知，则分式的值为___________ 9．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 10．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知是实数，并且，则代数式的值是____． 11．（2026·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 12．（2026·湖南益阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 13．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 14．（山西临汾市兴国实验学校等校2025—2026学年下学期期中质量监测试题（卷）八年级数学）学完分式运算后，老师出了一道题：化简. 小明的做法：原式． 小芳的做法：原式． (1)以上解题过程中______同学是正确的，_____同学是错误的．请写出错误的原因：________； (2)请化简：． 15．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $